怎樣學好“整式乘法與因式分解”

潘建明

學習本章的內容不要被本章的標題所迷惑，本章的本質內容是整式的乘法和因式分解，面積只是幫助同學們理解本章公式和法則的背景知識，也就是說數形結合思想是學好本章的重要助手.

一、 教材解讀

本章的內容是在學習了整式加減的基礎上，進一步對整式乘法運算的研究，也是后繼學習整式、分式、方程等內容的基礎，非常重要，請同學們要全面掌握，為將來的學習打下基礎.

本章的6節內容分為3個部分，第1～3節的本質內容是整式的乘法，第4節乘法公式，第5、6節是因式分解.本章的知識結構關系如圖1：

從整體中去把握知識結構，才能使所學知識的記憶更加牢固、對知識的理解更加深刻，也便更好地將知識進行內化和加強知識之間的聯系.

二、 難點突破

1. 在整式乘法的學習過程中，同學們遇到的最大的難點是對相關運算法則的理解.

突破難點的方法是對字母含義的本質理解和對乘法分配律法則的靈活運用.在代數式ab中，字母a、b表示什么？它們可以表示數和式，這里的式是指整式即單項式或多項式.如果a、b都表示數，在小學階段就已經探究過了；如果其中一個是數，另一個是整式，在前面的去括號的學習中也探究過了；現在遇到的情境是，如果a、b都表示整式，可以將其乘積的形式歸納為3種類型：單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式.

單項式乘單項式的過程要分3個部分：積的系數等于各因式系數的積（有理數的乘法）；相同字母相乘（同底數冪的乘法）；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式丟掉.

單項式乘多項式可以直接運用乘法分配律；在多項式乘多項式的過程中，實質上是兩次運用乘法的分配律，如：

計算：（m+n）（a+b），若把（a+b）看成一個整體，（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b）=ma+mb+na+nb.

另一方面，可用數形結合思想，運用圖形的面積 “以形輔數”來幫助理解這三個法則，這是法則的背景知識.

在單項式乘多項式和多項式乘多項式的計算過程中，最容易犯的錯誤是乘法計算的過程中漏掉一些項，這一點同學們千萬要注意.

2. 在乘法公式的學習過程中，遇到的最大困難是對公式的本質理解和正確運用.

對完全平方公式和平方差公式的本質理解，可以從數和形兩個方面結合起來進行.從數的方面要理解公式的本質來源是多項式乘多項式法則；從形的角度，一是要分清適用公式的形式特征，二是要從數形結合思想，運用圖形的面積 “以形輔數” 來理解公式.

在完全平方公式運用中，很多同學會將公式寫成（a±b）2=a2+b2，少了±2ab.可以借助圖2來幫助理解，從整體考慮這個大正方形的面積為（a+b）2，從局部考慮這個大正方形的面積應為a2+b2+ab+ab，它們表示的是同一個正方形的面積，雖然形式不同，但它們要相等，因此有（a+b）2=a2+2ab+b2，可見不能少掉2ab！在平方差公式的學習中，教材中的圖不太利于同學們對教材意圖的理解，現在可看下面的圖3，它能更好地促進同學們對平方差公式認識的內化.圖3中的計算面積的意圖你能理解嗎？怎樣才能得到平方差公式呢？大家不妨動手試一試！

在因式分解的學習過程中，同學們常常對因式分解的綜合運用感到困難，怎樣在進行因式分解的過程中提高學習策略的運用水平呢？請關注圖4中的分解策略.

說明：在因式分解過程中首先想到的是提取公因式法，提取公因式后，再看括號里的是二項式還是三項式，若是二項式看能否再用平方差公式進行再分解，若是三項式看能否再用完全平方公式進行再分解，一定要分到不能分為止.

三、 學法指導

本章中的主要題型是計算和分解因式，計算又分為整式乘法運算和套用公式進行運算.在整式乘法運算中，要先確定運算順序，再運用相應的法則進行計算；若遇到冪（或積）的乘方要先進行運算，然后按運算順序進行，一定要細心.在套用公式進行運算中，一定先要判斷是否符合公式適用的要求，再正確運用公式計算.在分解因式的過程中一定要注意先提取公因式，再運用公式分解（要注意與乘法公式的聯系和區別），分到不能分為止.

例1 計算：（2x+3）（x2-x-1）.

【分析】多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.相乘時，必須做到不重不漏，所以要按一定的順序進行，通常是選擇多項式的第一項乘遍另一個多項式的每一項，依此類推，再把所得的積相加.

【解答】原式=2x3-2x2-2x+3x2-3x-3

=2x3+x2-5x-3.

【說明】（1） 計算時注意不能漏項.檢查的方法是：在未合并同類項之前，看積的項數是否等于原來兩個多項式項數的積.本題在未合并同類項之前，積的項數應是2×3=6，即6項；（2） 多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定積中各項的符號；（3） 最后結果中有同類項的要合并，并按某一字母的降冪或升冪排列.

例2 計算：（-3+2x+y）（-3-2x-y）.

【分析】在解題之前一定要仔細觀察，后一個多項式各項都是負號，可以變形為各項均為正號，另一方面，通常我們總是將多項式變形為字母在前、數字在后進行排列，因此我們可以將兩個多項式先進行變形再計算.

【解答】原式=-（2x+y-3）（2x+y+3）

=-[（2x+y）2-9]

=-[4x2+4xy+y2-9]

=-4x2-4xy-y2+9.

【說明】變形后可將2x+y看成一個整體，先用平方差公式計算，再用完全平方公式進行計算，去括號時要注意改變括號中所有項的符號.

例3 因式分解：-2m3+8m2-8m.

【分析】經觀察后發現，各項都含有公因式-2m，可先提取公因式（要一次性提完），提完后看能否可以用公式進行因式分解.

【解答】原式=-2m（m2-4m+4）

=-2m（m-2）2.

【說明】提完公因式后，括號里是三項式，再運用完全平方公式進行因式分解.