靈活運用數學思想化解疑難問題

諸建剛

數學思想是對數學知識的本質的認識，它寓于數學知識之中，但比數學知識本身更為重要、更為寶貴.我們的學習不單純是解題，而應把數學思想的積累、培養與數學知識的掌握融為一體，用我們高品質的數學素養去發現數學和運用數學. 這一章蘊涵著豐富的數學思想方法，下面具體談談.

例1 計算：2 0123-2 011×2 012×2 013.

【分析】直接計算顯然較繁，注意到原式中的各數的聯系，可恰當地利用字母代替數，把數的計算轉化為代數式的化簡，可使問題解決得更快更巧妙.

解：設2 012=a，則

原式=a3-（a-1）×a×（a+1）

=a3-a（a2-1）=a3-a3+a=2 012.

例2 已知M=2 012×2 013-1，N=2 0122-2 012×2 013+2 0132，試比較M、N的大小.

【分析】可設2 012=a，那么M=a（a+1）-1=a2+a-1，N=a2-a（a+1）+（a+1）2=a2+a+1，因為M-N=（a2+a-1）-（a2+a+1）=-2，所以M

【點評】本題先將數的計算轉化為代數式的化簡，再將比較兩數大小問題轉化為判斷這兩數差的符號問題，解題過程運用了兩次轉化.

例3 已知代數式x2+5x+1的值等于9，求代數式2x2+10x+7的值.

【分析】從已知條件可得x2+5x+1=9，從而得x2+5x=8，由同學們現在的知識還不能求出具體的x的值，所以應思考其他的解題方法.提部分公因式得2x2+10x=2（x2+5x），所以可將x2+5x作為一個整體代入2（x2+5x）中.

解：由已知，得x2+5x+1=9，所以x2+5x=8，所以2x2+10x+7=2（x2+5x）+7=2×8+7=23.

【點評】通常求代數式2x2+10x+7的值時，會將x的值代入計算求得，但本題以上解法把2x2+10x看作一個整體，直接求出這個整體的值，繞過“用x代入求2x2+10x的值”的細節，顯得靈活、巧妙、直接、“大氣”，體現了數學上的“整體思想”.

例4 分解因式：（m+n）2-6（m+n）+9.

【分析】本題分解因式時，如把括號展開整理后再分解顯然很麻煩，但若把（m+n）看成一個整體，則此多項式即為關于（m+n）的二次三項式，恰好能用完全平方公式分解.

解：原式=[（m+n）-3]2=（m+n-3）2.

【點評】運用整體思想可使解題思路清晰、步驟簡捷、解法簡便.

【說明】事實上，本章能突出體現“整體思想”之處還有很多，如平方差公式和完全平方公式的認識和運用.乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2中的字母都可以看作某個整體，這個整體可以是一個單項式、一個多項式，即可以將公式中的字母換元成單項式或多項式，因此圍繞整體換元，可對公式進行下列幾方面的變式運用：變化符號、變化字母 、變化系數、變化指數、變化項數等.

例5 已知a+b=4，ab=1，求代數式（a2+1）（b2+1）的值.

【分析】同學們還不具備“由已知條件求出a，b的值，再代入（a2+1）（b2+1）計算”的知識，即便將來掌握了，用此法解決本問題也較困難，可考慮將（a2+1）（b2+1）變形，用a+b和ab來表示，然后整體代入求值.

解：（a2+1）（b2+1）

=a2b2+a2+b2+1

=（ab）2+（a+b）2-2ab+1.

把a+b=4，ab=1整體代入，可得原式=12+42-2×1+1=16.

例6 知x3+x2+x+1=0，求x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

【分析】由x3+x2+x+1=0，因此我們要利用x3+x2+x+1這個整體，在所求代數式x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1中構造若干個這樣的整體，將0代入這些整體，從而計算出x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

解： x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1

=x2009（x3+x2+x+1）+x2005（x3+x2+x+1）+…+x（x3+x2+x+1）+1

=1.

【說明】我們在解決數學問題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理.換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化.

例7 若多項式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展開后不含x3項和x2項，試求m，n的值.

【分析】要使多項式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展開后不含x3項和x2項，必須使得展開合并后x3項和x2項的系數為0.

解：（x2+mx+n）（x2-3x+4）=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n）x+4n，因為展開后不含x3項和x2項，所以有m-3=0且n-3m+4=0，解得m=3，n=5.

【點評】本題先將等式左邊按照多項式乘多項式法則展開，然后利用“對應思想”， 比較等式兩邊次數相同項的系數，利用這些項系數為0，實現不含這些項，從而構造出方程求解.需要提醒的是，題目出現了3個字母，其中m，n應視作多項式的項的系數的一部分，而將x視作多項式的項的字母.

例8 若x2-px+16是完全平方式，則p=_______；若a2-8a+k是完全平方式，則k=_______.

【分析】由完全平方公式結構特點知，與p相關的乘積項可表示為±8x，與k相關的平方項可表示為16，利用“對應思想”得-px=±8x，k=16，通過方程得p=±8.

例9 如圖，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼一個長為a+3b、寬為a+b的大長方形，則需要C類卡片_______張.

【分析】由圖可知每類卡片中一張卡片的面積.由于三類卡片的面積表達式不同，因此可計算出長為（a+3b）、寬為（a+b）的大長方形的面積，然后根據結果中的代數式確定所需C類卡片的張數.

解：由圖可知，一張A類卡片的面積是a2，一張B類卡片的面積是b2，一張C類卡片的面積是ab，因為（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2，所以需要C類卡片4張.

【點評】本題用數形結合的思想解決問題，一方面利用整式乘法得出等式右邊為a2+4ab+3b2，另一方面結合圖形發現a2+4ab+3b2實際上是幾個長方形面積的和，利用拼圖前后面積相等得出結論.由于條件限制，本題解法只關注了數量關系，忽視了位置關系，即雖然面積數符合題目要求，但能否真的能拼成一個長方形呢？就需要同學們動手拼一拼了.

例10 計算（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=________.

【分析】遇到這樣的問題，一下難以入手， 我們可以先從簡單的情況入手，分別計算下列各式的值：

（a-1）（a+1）=______；

（a-1）（a2+a+1）=______；

（a-1）（a3+a2+a+1）=______；

……

由此我們可以得到（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=_______.

解：由特殊情況探索我們可以猜想得（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=a100-1.

【點評】解決本問題時，我們從特殊情況出發，從特殊情況發現結論從而猜想出一般結論，這是數學上常用的歸納法，屬于由特殊到一般的思想方法.限于初中生所掌握的知識，許多問題還不能最終證明結論的正確性，但這種由許多特殊情況歸納出一般結論的思想方法，是我們進行數學探索和發現的有力工具，能為我們的數學學習帶來無窮樂趣.

【說明】以上各例涉及了本章主要的數學思想方法， 同學們在學習中要不斷領悟和加深對它們的理解， 用我們睿智的眼光去發現許多問題背后深藏著的數學思想，用我們的自覺行為去應用它們，使我們的數學學習更有意義.