逆用不等式組解集巧解題

成文霞

不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.我們可以借助數軸確定一個不等式組的解集.不妨設a>b，則：（1） 不等式組x>a，x>b的解集為x>a；（2） 不等式組xb的解集為ba，x

一、 根據不等式組的解集，確定待定系數的取值范圍

例1 （2012湖北鄂州）若關于x的不等式■>■，■<0的解集為x<2，則a的取值范圍是_______.

【分析】先解這個不等式組，可得x<2，x<-a.再根據原不等式組的解集為x<2，并逆用“同小取小”可以確定-a>2或-a=2，即-a≥2，則a的取值范圍是a≤-2.

【解答】a≤-2.

【點評】本題根據所給不等式組的解集，逆用解集的意義，確定不等式組中兩不等式解集之間的關系，從而確定待定系數的取值范圍.

例2 （2012湖北隨州）若不等式x-b<0，x+a>0的解集為2

A. -2，3 B. 2，-3 C. 3，-2 D. -3，2

【分析】先解不等式組，得x-a.再根據原不等式組的解集為2

【解答】A.

【點評】本題既考查了同學們對不等式組解法的掌握，又考查了同學們是否會逆用不等式組的解集構造關于待定系數a、b的方程，通過解方程求得a、b的值.

二、 根據不等式組有解，確定待定系數的取值范圍

例3 （2012湖北襄陽）若不等式組1+x>a，2x-4≤0有解，則a的取值范圍是（ ）.

A. a≤3 B. a<3 C. a<2 D. a≤2

【分析】先解不等式組，得x>a-1，x≤2.再根據原不等式組有解，并逆用“大小小大取中間”可以確定a-1<2，則a的取值范圍是a<3.

【解答】B.

【點評】本題根據所給不等式組的解集，逆用解集的意義，確定不等式組中兩不等式解集之間的關系，從而確定待定系數的取值范圍.

三、 根據不等式組的解集，確定符合條件的不等式組

例4 已知a，b為實數，則解可以為-2

A. ax>1，bx>1. B. ax>1，bx<1. C. ax<1，bx>1. D. ax<1，bx<1.

【分析】由不等式組的解集是-2

當a=■或a=-■時，排除A、B；

當b=■或b=-■時，排除C；

只有當a=■，b=-■或a=-■，b=■時，選項D中不等式組的解集是-2

【解答】D.

【點評】本題能夠較好地訓練同學們的逆向思維，由不等式組的解集來確定符合條件的不等式組.解答這類問題的關鍵在于首先從解集確定未知數系數的取值或取值范圍，進而應用不等式的性質確定符合條件的不等式或不等式組.

四、 根據不等式組的特殊解，確定待定系數的取值范圍

例5 若關于x的不等式x-m<0，7-2x≤1的整數解共有4個，則m的取值范圍是（ ）.

A. 6

C. 6≤m≤7 D. 6

【分析】x-m<0， ①7-2x≤1.②解不等式①，得x

因此不等式組的解集是3≤x

由于這個不等式組的整數解有4個，則這些整數為3，4，5，6，所以m的取值在6與7之間，且不能為6，但可以為7，即6

【解答】D.

【點評】本題綜合考查了含有參數的一元一次不等式組問題，需要同學們先求得不等式組的解集，再根據不等式組的整數解靈活確定出參數的取值范圍.

五、 構造不等式組，確定待定系數的取值范圍

例6 （2011山東日照）若不等式2x<4的解都能使關于x的一次不等式（a-1）x

A. 1

【分析】由2x<4解得x<2.由于不等式2x<4的解都能使關于x的一次不等式（a-1）x1，且x<■.則有■≥2，解得：a≤7.綜合可知，1

【解答】A.

【點評】同學們應巧妙抓住兩個不等式解集之間的關系，從而確定這兩個不等式解集的不等關系，并應用不等式的性質構造關于待定系數的不等式組解決問題.