生活中的一元一次不等式

王長穎

一元一次不等式是刻畫現實世界中量與量之間不等關系的有效模型，現實生活中的許多實際問題可以建立一元一次不等式模型加以解答，現舉例說明如下.

一、 電梯中的載物問題

例1 有3人攜帶會議材料乘坐電梯，這3人的體重共210 kg，每捆材料重20 kg，電梯最大負荷為1 050 kg，那么該電梯在此3人乘坐的情況下最多還能搭載幾捆材料？

【分析】本題中的最大負荷為1 050 kg，實際上隱含著：3人的體重+攜帶會議材料≤1 050，因而可以設該電梯最多還能搭載x捆材料，進而建立關于x的不等式解決問題.

【解答】設該電梯最多還能搭載x捆材料，依題意，得：

20x+210≤1 050，解得x≤42.

所以，x的最大值為42.

答：該電梯最多還能搭載42捆材料.

【點評】乘坐電梯是日常生活中極其平常的事情，乘坐電梯搭載材料千萬不要超過最大負荷，否則就會出現超載無法關門的現象.

二、 體育活動中的買球問題

例2 同慶中學為豐富學生的校園生活，準備從軍躍體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買3個足球和2個籃球共需310元，購買2個足球和5個籃球共需500元.

（1） 求購買一個足球、一個籃球各需多少元？

（2） 根據同慶中學實際情況，需從軍躍體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個，要求購買足球和籃球的總費用不超過5 720元，這所中學最多可以購買多少個籃球？

【分析】第（1）題，隱含著兩個等量關系式：購買3個足球的費用+2個籃球的費用=310元，購買2個足球的費用+5個籃球的費用=500元，因此，可以建立方程組進行解答；第（2）題，隱含著一個不等關系式：購買足球和籃球的總費用≤5 720元.設購買a個籃球，即可列出不等式加以解決.

【解答】（1） 設購買一個足球需要x元，購買一個籃球需要y元.根據題意，得：

3x+2y=310，2x+5y=500. 解得：x=50，y=80.

所以，購買一個足球需要50元，購買一個籃球需要80元.

（2） 設購買a個籃球，則購買（96-a）個足球，根據題意，列不等式，得：

80a+50（96-a）≤5 720，解得：a≤30■.

因為a為整數，所以a最多是30，所以這所中學最多可以購買30個籃球.

【點評】踢足球和打籃球是同學們喜愛的體育活動.購買足球和籃球前，一定要做好經費預算，才能夠確保合理使用經費.

三、 商品購買方案問題

例3 某商店5月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案.方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的8折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的9.5折優惠.已知小敏5月1日前不是該商店的會員.

（1） 若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付多少元？

（2） 請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍內時，采用方案一更合算？

【分析】第（1）題，按方案二直接可以計算；第（2）題，隱含著不等式關系是：方案一的費用<方案二的費用.設購買商品的價格為x元，可得方案一的費用為（0.8x+168）元、方案二的費用為0.95x元，進而建立不等式，求出所購買商品的價格的范圍.

【解答】（1） 120×0.95=114（元），所以實際應支付114元；

（2） 設購買商品的價格為x元，由題意得：0.8x+168<0.95x，解得x>1 120，所以當購買商品的價格超過1 120元時，采用方案一更合算.

【點評】促銷優惠活動是商家經常采用的方法.不同的商家有不同的方案，既需要我們“貨比三家”，也需要我們對相同商品比較不同購買方案時價格大小關系，得到價廉物美的商品.

四、 食物中成分的問題

例4 2012年5月20日是第23個中國學生營養日，某校社會實踐小組在這天開展活動，調查快餐營養情況.他們從食品安全監督部門獲取了一份快餐的信息（如圖）.根據信息，解答下列問題.

（1） 求這份快餐中所含脂肪質量；

（2） 若碳水化合物占快餐總質量的40%，求這份快餐所含蛋白質的質量；

（3） 若這份快餐中蛋白質和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質量的最大值.

【分析】（1） 已知百分比和總量，則脂肪質量為400×5%；（2） 已知碳水化合物的百分比，則碳水化合物質量為400×40%=160，故蛋白質與礦物質的質量之和為400-20-160，又知蛋白質的質量是礦物質的質量的4倍，所以設礦物質的含量為x，則有x+4x=400-20-160；（3） 設所含礦物質的質量為y克，則所含碳水化合物的質量為（380-5y）克，根據兩者所占百分比的和不超過85%，可得4y+（380-5y）≤400×85%，從而y的取值范圍可求出.

【解答】（1） 400×5%=20，答：這份快餐中所含脂肪質量為20克；

（2） 設所含礦物質的質量為x克，由題意得：x+4x+20+400×40%=400，所以x=44，所以 4x=176.

答：所含蛋白質的質量為176克；

（3） 設所含礦物質的質量為y克，則所含碳水化合物的質量為（380-5y）克，所以4y+（380-5y）≤400×85%，y≥40，380-5y≤180，所以所含碳水化合物質量的最大值為180克.

【點評】本題設計新穎，以快餐中的營養成分信息為背景，考查了同學們從信息表中獲取相關數據的能力.同學們應學會建立不等式模型加以解答.

五、 商品銷售利潤問題

例5 某大型超市從生產基地購進一批水果，運輸過程中質量損失10%.假設不計超市其他費用，如果超市要想至少獲得20%的利潤，那么這種水果的售價在進價基礎上應至少提高（ ）.

A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%

【分析】設購進一批水果有a kg，進價為m元，這種水果的售價在進價基礎上提高原價的x倍，則有：■≥20%，解得x≥■，所以x的最小值為33.4%，即這種水果的售價在進價基礎上應至少提高33.4%.

【解答】B.

【點評】商家買賣商品過程中總是沒有賠本的，盡管在銷售過程中有損耗，往往通過提高售價來達到所要獲取的利潤率.

例6 某商場用36 000元購進甲、乙兩種商品，銷售完后共獲利6 000元.其中甲種商品每件進價120元，售價138元；乙種商品每件進價100元，售價120元.

（1） 該商場購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2） 商場第二次以原進價購進甲、乙兩種商品，購進乙種商品的件數不變，而購進甲種商品的件數是第一次的2倍，甲種商品按原售價出售，而乙種商品打折銷售.若兩種商品銷售完畢，要使第二次經營活動獲利不少于8 160元，乙種商品最低售價為每件多少元？

【分析】第（1）題，隱含著兩個相等關系式：購進甲種商品的費用+購進乙種商品的費用=36 000元，銷售甲種商品的獲利+銷售乙種商品的獲利=6 000元，因而可以列出方程組進行解答；第（2）題，第二次購進甲種商品的件數的利潤為2×200×（138-120）=7 200元，如果設最低售價為x元，則第二次購進乙種商品銷售后的利潤為120×（x-100）元，從而可以應用不等式進行解決問題.

【解答】（1） 設第一次購進甲、乙兩種商品件數分別為x、y件，依題意，得：

120x+100y=36 000，（138-120）x+（120-100）y=6 000.

所以x=200，y=120.

所以第一次購進甲、乙兩種商品件數分別為200、120件.

（2） 第二次購進甲種商品的件數是第一次的2倍，仍按原價銷售后的利潤為：2×200×（138-120）=7 200元，所以設乙種商品最低售價為x元，第二次購進乙種商品銷售后的利潤為120×（x-100）元，得：7 200+120×（x-100）≥8 160，解得x≥108，所以x有最小值為108元，所以乙種商品在第一次售價的基礎上最低售價為每件108元.

【點評】本題著重考查了同學們把實際問題轉化為數學問題的能力，要求應用二元一次方程組和一元一次不等式解決生活中銷售利潤問題.

六、 生活用水問題

例7 為了鼓勵市民節約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.如表是該市居民“一戶一表”生活用水計費價格表的部分信息：

（說明：① 每戶產生的污水量等于該戶自來水用水量；② 水費=自來水費用+污水處理費用）

已知小王家2012年4月份用水20噸，交水費66元；5月份用水25噸，交水費91元.

（1） 求a、b的值；

（2） 隨著夏天的到來，用水量將增加.為了節省開支，小王計劃把6月份的水費控制在不超過家庭月收入的2%.若小王家的月收入為9 200元，則小王家6月份最多能用水多少噸？

【分析】第（1）題，根據兩次付費，可得一個關于a、b的二元一次方程組，解方程即可；第（2）題，根據第（1）題的計算結果可以求得用水30噸時的費用，再確定6月份用水量是否超過30噸，并建立不等式解決問題.

【解答】（1） 由題意，得：17（a+0.8）+3（b+0.8）=66，17（a+0.8）+8（b+0.8）=91.解得a=2.2，b=4.2.

（2） 當用水量為30噸時，水費為：17×3+13×5=116元，9 200×2%=184元.

因為116<184，所以小王家6月份的用水量超過30噸.

設小王家6月份用水量為x噸，由題意，得：17×3+13×5+6.8（x-30）≤184，解得x≤40，所以，x的最大值為40.

答：小王家6月份最多能用水40噸.

【點評】“節約用水，人人有責”，使用不同水量，其每噸的交費也不相同.本題既滲透了節約用水的意識，也考查了從表格中獲取相關信息的能力.

七、 方案設計問題

例8 （2012·益陽）為響應市政府“創建國家森林城市”的號召，某小區計劃購進A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元.

（1） 若購進A、B兩種樹苗剛好用去1 220元，問購進A、B兩種樹苗各多少棵？

（2） 若購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用.

【分析】第（1）題，可用一元一次方程求解；第（2）題，由“購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量”建立不等式，再結合樹苗的棵數是整數求解.

【解答】（1） 設購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗（17-x）棵，根據題意得：

80x+60（17-x）=1 220，解得x=10，所以17-x=7.

答：購進A種樹苗10棵，B種樹苗7棵.

（2） 設購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗（17-x）棵，根據題意得：

17-x8■，購進A、B兩種樹苗所需費用為80x+60（17-x）=20x+1 020，則費用最省需x取最小整數9，此時17-x=8，這時所需費用為20×9+1 020=1 200（元）.

答：費用最省方案為：購進A種樹苗9棵，B種樹苗8棵. 這時所需費用為1 200元.

【點評】最優化或方案設計問題，常常要借助于不等式和不等式的相關性質進行解答.