“證明”學習提要

劉頓

一、 體會知識結構

二、 明確重點難點

重點：判斷命題的真假，能寫出一個命題的逆命題.

難點：通過對一些命題的分析進行推理與證明.

三、 理解知識要點

（一） 定義與命題

1. 對一些名稱或術語的含義加以描述，做出規定，就是給出它們的定義.

詳解：（1） 定義必須是嚴密的，要注意避免“一些”、“大概”、“可能”、“差不多”等含糊不清的詞語，正確的定義要能把被定義的事物或名詞與其他的事物或名詞嚴格地區別開來.（2） 定義有不同的方式：① 詞法定義：詞法定義是描述一個詞或者一個表達的意義，一般一個詞法定義提供一個與原詞相當的表達.如，兩個意思完全相反的詞是反義詞.② 情境定義：情境定義也稱上下文定義.有些詞無法清晰地定義，但可以通過為所有這個詞出現的句子提供一個解釋來為這個詞做一個定義.也就是說通過使用一個不出現這個詞的句子來解釋這個詞在這個句子里的意義.③ 內涵定義：內涵定義是將一個物件與其他物件之間不同的所有特征列舉出來.比如“所有小于20的質數的集合”是一個特定的集合的內涵定義.④ 外延定義：外延定義是描述一個概念或者詞的外延，即所有這個概念或者詞所包含的事務.（3） 給概念下定義的規則：① 應相等，即定義概念和定義概念的外延相等；② 不應循環；③ 一般不應是否定判斷；④ 應清楚確切.如，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角就是對頂角；對頂角相等.前者是對頂角的定義，而后者則是對頂角的性質.

2. 命題：判斷某一件事情的句子叫做命題.

詳解：（1） 命題并不是數學所獨有，凡是判斷某一件事情的正確或錯誤的語句都是命題，即命題的基本特征就是判斷.“判斷”就是肯定或否定某種事物的存在或指明它是否具有某種屬性的完整的句子，判別一個語句是不是命題，關鍵就是看語句中是否含有判斷的意思，即命題重在“判斷”，如“人是高等動物”，“對應角相等的兩個三角形一定全等”等屬于命題.反之，如果一個句子沒有對某一事物做出任何判斷，那么它就不是命題，如“你愛好什么運動？”等就不屬于命題范疇.（2） 命題的組成：命題的組成，即命題的結構包括題設與結論.每個命題的題設是已知事項，結論是由事項推斷出的事項.（3） 命題的形式：命題一般寫成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論，有些命題的條件、結論不太分明，可先寫成“如果……那么……”的形式，再找條件和結論.（4） 命題的分類：命題可分為真命題和假命題.正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題.如“直角都相等”和“相等的角都是直角”這兩個命題中，前者是正確的，是真命題，而后者則是錯誤的，是假命題.

（二） 證明

1. 一些數學名詞和正確的命題可以用來證實其他真命題的正確性，這些數學名詞和正確的命題都是屬于說理的依據.

詳解：我們已經掌握的真命題作為基本事實的有：（1） 同位角相等，兩直線平行.（2） 兩直線平行，同位角相等.

2. 用推理的方法證實真命題的過程叫做證明.經過證明的真命題稱為定理.

詳解：（1） 已經證明的定理就可以作為推理的依據.（2） 要完成一個命題的證明，可有下列3個步驟：① 根據題意，畫出圖形，為了證明敘述方便，還要在圖形上標出字母或符號；② 根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證；③ 經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.（3） 幾何問題的證明一般離不開幾何圖形，若題設條件沒有提供圖形，則應根據題意自己畫出圖形，這時一定要注意所畫出的幾何圖形應具有一般意義，具有代表性，而不能畫出某個具有特殊意義的幾何圖形，這樣不但容易出現誤解，還會導致錯誤的結論.

（三） 互逆命題

1. 在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題，即其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

詳解：每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設改成結論，并將結論改成題設，便可以得到原命題的逆命題.但原命題正確，它的逆命題未必正確.如，對于真命題“如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等”的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”，此命題就是一個假命題.

2. 要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例.

詳解：反例的列舉必須符合實際，做到說理有根有據；而要證明一個命題是真命題，則需要依據公理等推理證明.