分析錯誤原因 走出解題誤區

劉德廣

在《證明》這章的學習中，涉及命題的識別、判定以及寫出互逆命題等.初學這些問題，同學們往往會走入誤區，犯這樣或那樣的錯誤.本文列舉一些常見的錯誤，讓我們共同分析其中的錯誤原因，走出解題誤區.

一、 不能正確識別命題

例1 下列語句中，是命題的為（ ）.

A. π是無理數 B. 今天天氣好嗎

C. 連接A、B兩點 D. 取線段AB的中點

【錯誤解答】C或D.

【錯因剖析】判斷一件事情的句子叫做命題.選項C和選項D，僅僅表示作圖的過程，不能對某件事情作出判斷.由于有的同學誤以為是陳述一件事情的句子就是命題，因而出現解題錯誤.

【正確解答】A.

【方法歸納】數學命題往往都可以表示成“如果……，那么……”的形式.命題是陳述句，但不能是疑問句、感嘆句或祈使句，也不能是畫圖語句或猜測.

二、 不能識別命題的條件和結論

例2 命題“互為相反數的兩個數的和為0”的條件是_______，結論是_______.

【錯誤解答】互為相反數的兩個數 和為0

【錯因剖析】簡單地將命題分成兩部分，誤以為其中一部分就是條件，另一部分就是結論.

【正確解答】兩個數互為相反數 這兩個數和為0

【方法歸納】確定數學命題的條件和結論時，往往首先改寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”部分即為條件，“那么”部分即為結論.

三、 不能識別命題的真與假

例3 下列命題：（1） 兩點之間，線段最短；（2） 150°的補角是50°；（3） 垂直于同一條直線的兩條直線平行；（4） 過一點作已知直線的平行線有一條且只有一條.其中屬于真命題的有（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【錯誤解答】C或D.

【錯因剖析】如果條件成立，那么結論成立，這樣的命題叫做真命題；如果條件成立，不能保證結論成立，這樣的命題叫做假命題.命題（2），由于對于補角的概念不能正確理解，導致出現“條件正確，但結論不正確”；命題（3），忽視了另外一種情況——不在同一平面內的情形，因而“條件正確，但結論不正確”；命題（4），缺少前提條件“直線外一點”.

【正確解答】A.

【方法歸納】對于命題的真假判斷問題，解題時只要熟記有關定義、性質、判定定理等，就能很容易地作出判斷.

四、 不能正確構造一個命題的逆命題

例4 命題“兩負數的和是負數”的逆命題是_______.

【錯誤解答】負數是兩個負數的和

【錯因剖析】“兩個負數的和是負數”可以改寫成“如果兩個數是負數，那么這兩個數的和是負數”，因此，其逆命題為“如果兩個數的和是負數，那么這兩個數是負數”.有的同學在改寫命題時不對其加以整理，而只是將它機械地分成兩部分，因而導致出現錯誤.

【正確解答】如果兩個數的和是負數，那么這兩個數是負數或和為負數的兩數是負數.

【方法歸納】構造一個命題的逆命題時，往往先改寫成“如果……，那么……”的形式，再把其中的條件與結論互換位置，即可得到原命題的逆命題.

五、 不能確定命題的逆命題真與假

例5 下列命題中，逆命題正確的是（ ）.

A. 對頂角相等

B. 直角都相等

C. 內錯角相等，兩直線平行

D. 若x=2時，則a2b與a|x|b是同類項

【錯誤解答】D.

【錯因剖析】分別寫出各個選項的逆命題，“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”，“直角都相等”的逆命題是“相等的角都是直角”，“內錯角相等，兩直線平行”的逆命題是“兩直線平行，內錯角相等”，“ 若x=2時，則a2b與a|x|b是同類項”的逆命題是“若a2b與a|x|b是同類項，則x=2”，再判斷其真假性.顯然，“兩直線平行，內錯角相等”是正確的.有的同學往往由于不能正確把握原命題的結構，確定其條件與結論，再判定逆命題正確與否，導致出現錯誤.

【正確解答】C.

【方法歸納】解答這類問題時，往往先根據原命題的結構、確定其條件與結論，再構造其逆命題，最后判定所得逆命題正確與否.