探秘三角形中的不等關系

吳曉剛

我們已經學會用不等式的知識來解決許多生活中的問題，下面請同學們一起來用不等式的知識探索平面圖形——三角形中的不等關系.

首先我們想到的三角形中的不等關系就是“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，這個大家都知道，比如圖1的△ABC中，AB+AC>BC.其實，這個結論可以變一下形，根據不等式的性質可得AB>BC-AC，即BC-AC

那么，三角形中還有哪些不等關系呢？如圖2，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD必大于∠A與∠C.這是為什么呢？我們知道∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠ABC+∠CBD=180°，那么可以得到∠CBD=∠A+∠C，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，必然地就可以得到∠CBD>∠A，∠CBD>∠C，概括為“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角”.

我們再看圖1，這個三角形的三條邊都不相等，BC>AB>AC，三個角也不相等，∠A>∠C>∠B，它們之間有什么聯系嗎？那是當然的.如圖3，作∠BAC的平分線AD，將△ABC沿AD翻折，使△ADC翻折到△ADE，由于AB>AC，因此點C落在線段AB上的點E，于是∠C=∠AED.因為∠AED是△BED的外角，根據“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角”得∠AED>∠B，即∠C>∠B.也就是說：當AB>AC時，∠C>∠B，可以概括為“在一個三角形中，如果兩邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大”，簡記為“大邊對大角”.反之亦成立.

這樣，我們就得到了三角形中的3個具有不等關系的結論：

結論1 三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；

結論2 三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角；

結論3 在一個三角形中，如果兩邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大，簡記為“大邊對大角”.反之亦然.

下面我們再來探一探三角形中其他衍生的不等關系，我們可以運用不等式的性質和上面的3個結論進行說明.

一、 三角形內一點衍生的不等關系

例1 如圖4，D是△ABC內任一點，連接DA、DB、DC.

說明：（1） AB+AC>DB+DC；

（2） AB+BC+CA>DA+DB+DC；

（3） ∠BDC>∠BAC.

【解析】（1） 因DB、DC、AB、AC并不是同一個三角形中的線段，所以只有構造出可以溝通它們之間關系的圖形才能加以說明.延長BD交AC于P，在△ABP中，AB+AP>PD+BD①，在△PDC中，PD+PC>CD②，①+②得AB+AP+PD+PC>PD+BD+CD，所以AB+AC>DB+DC；

（2） 根據（1）中的結論AB+AC>DB+DC①，同理可得：BA+BC>DA+DC②，CA+CB>DB+DA③，①+②+③得2AB+2BC+2CA>2DA+2DB+2DC，所以AB+BC+CA>DA+DB+DC.

（3） 根據（1）中的輔助線可知∠BDC是△CDP的外角，則∠BDC>∠CPD；而∠CPD是△BAP的外角，則∠CPD>∠BAC，故根據不等式的傳遞性可知∠BDC>∠BAC.

二、 三角形內兩點衍生的不等關系

例2 已知：如圖5，E、F是△ABC內的兩點，連接BE、EF、FC.

說明：AB+AC>BE+EF+FC.

【解析】因為要證的線段沒在同一個三角形內，它們沒有直接關系，需要構造三角形，使它們在同一個三角形中，才能利用三角形三邊關系來證.

【方法一】如圖6，將線段EF向兩端延長，分別交AB、AC于點M、M.在△AMN中，AM+ AN>MN，即AM+AN>ME+EF+FN①；在△BME中，BM+ME>BE②；在△CFN中，FN+CN>FC③.①+②+③得AM+AN+BM+ME+FN+CN>ME+EF+FN+BE+FC，即AB+AC>BE+EF+ FC.

【方法二】如圖7，分別延長BE、EF交AC于點O、K.在△ABO中，AB+AO>BE+EO①；在△OEK中，OE+OK>EF+FK②；在△KFC中，FK+CK>FC③.①+②+③得AB+AO+OE+OK+FK+CK>BE+EO+EF+FK+FC，即AB+AC>BE+EF+FC.

【方法三】如圖8，延長BE交AC于點O，延長CF交BO于點J.在△ABO中，AB+AO>BE+EO①；在△OJC中，OJ+OC>JF+FC②；在△JEF中，JE+JF>EF③.①+②+③得AB+AO+OJ+OC+JE+JF>BE+EO+JF+FC+EF，即AB+ AC>BE+EF+FC.

三、 三角形角平分線衍生的不等關系

例3 如圖9，△ABC中，AB>AC，AG平分∠BAC.

說明：BG>GC.

【解析】因為AG平分∠BAC，故可將△ABC沿AG翻折，使△ABG翻折到△AQG，由于AB>AC，因此點B落在線段AC的延長線上點Q，于是BG=QG，∠B=∠Q.因為∠GCQ是△ABC的外角，根據“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角”知∠GCQ>∠B，即∠GCQ>∠Q.在△GCQ中，∠GCQ>∠Q，根據“大角對大邊”可得QG>GC，所以BG>GC.