活用外角巧轉化

周亞兵

三角形內角和定理的推論：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.該推論能夠較好地揭示三角形的外角和內角之間的兩種關系：角之間的相等關系與角之間的不等關系.靈活應用這個推論可以幫助我們解決已知兩角求第三角的度數、證明兩個角之間的不等關系等問題，使問題能夠巧妙轉化，現舉例說明如下.

一、 求角度問題

例1 如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（ ）.

A. 150° B. 210° C. 105° D. 75°

【分析】由于△A′ED是由△AED沿著DE折疊壓平得到的，

因此，∠A=∠A′.

連接AA′，則∠1是△AEA′的外角，

所以∠1=∠EAA′+∠EA′A，

同理∠2=∠DAA′+∠DA′A，

所以∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=∠A+∠A′=2∠A′=150°.

【解答】A.

【感悟】本題要根據圖形的位置特征，靈活地把所求角看成是某個三角形的外角，從而使所求問題得以轉化.

例2 如圖2，平面上6個點A、B、C、D、E、F構成一個封閉折線圖形.

求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和.

【分析】若要分別求出這6個角可能有一定的難度，可分別將兩個角變換到一個三角形中來，再利用三角形外角的性質進行轉化.觀察圖形，∠A與∠B、∠C與∠D、∠E與∠F可分別轉化為∠3、∠1、∠2，再應用多邊形的外角和定理解決問題.

【解答】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可以知道∠A+∠B=∠3，∠C+∠D=∠1，∠E+∠F=∠2.

又因為∠1、∠2、∠3是一個三角形的3個外角，所以∠1+∠2+∠3=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

【感悟】當圖形比較復雜或不規則時，需要我們仔細觀察圖形，尋找隱含在圖形中的三角形，并靈活應用三角形的相關知識進行求解.

二、 角與角大小關系的證明問題

例3 如圖3，已知點P是△ABC內的一點，連接BP、CP.

求證：∠BPC>∠BAC.

【分析】要證角與角之間的不等關系，往往將大角轉化為某三角形的外角，將小角轉化為某三角形的內角，進而應用三角形內角和定理的推論得到∠BPC>∠CDP、∠CDP>∠BAC，即可得到∠BPC>∠BAC.

證明：延長BP交AC于點D.

因為∠BPC是△DPC的外角，

所以∠BPC=∠CDP+∠DCP，即∠BPC>∠CDP.

因為∠CDP是△ABD的外角，

所以∠CDP=∠BAC+∠ABD，即∠CDP>∠BAC.

所以∠BPC>∠BAC.

【感悟】本題巧妙地添加了適當的輔助線，構造出三角形外角的基本圖形，并靈活應用圖形的相關性質使問題得以轉化，從而達到解題的目的.

例4 已知：如圖4，E是△ABC中∠C的外角的平分線與BA的延長線的交點.

求證：∠BAC>∠B.

【分析】由于∠BAC、∠B均在△ABC的內部，所以直接進行證明顯得比較困難.不妨把∠BAC、∠B分別看成是△ACE的外角和△ABC的內角，從而把問題轉化為三角形的內角與外角之間的關系，易得∠BAC>∠1、∠2>∠B，再應用圖形中的∠1=∠2作為中間橋梁使問題得到解決.

證明：因為∠BAC是△ACE的外角，

所以∠BAC=∠E+∠1，即∠BAC>∠1；

又因為∠2是△BCE的外角，

所以∠2=∠E+∠B，即∠2>∠B.

因為CE是角平分線，

所以∠1=∠2；

所以∠BAC>∠B.

【感悟】證明角與角的不等關系，往往轉化為三角形的外角與內角問題來解決.