基于CAE／CAT／CAO的齒輪箱軸承結合部等效剛度識別方法

樓江雷，唐進元

（中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，中南大學機電工程學院，長沙 410083）

基于CAE／CAT／CAO的齒輪箱軸承結合部等效剛度識別方法

樓江雷，唐進元

（中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，中南大學機電工程學院，長沙 410083）

基于CAE／CAT／CAO技術，提出一種有限元模態分析、試驗模態分析與Isight集成優化方法相結合的精確識別軸承結合部等效剛度的方法：①采用Abaqus有限元分析軟件建立齒輪箱有限元分析模型，通過spring單元模擬軸承三個方向的等效剛度，并將其作為設計變量；②基于LMS模態測試分析系統對齒輪箱進行試驗模態分析，得到包含軸承結合部信息的各階固有頻率和振型，并以試驗模態分析得到的固有頻率值作為優化目標值；③通過Isight軟件集成Abaqus對軸承剛度進行尋優，使有限元模態分析的結果與試驗模態分析的結果相一致。分析結果表明，該方法綜合考慮了齒輪軸、箱體的柔性，具有較高的精度，優化后的齒輪箱有限元模型與試驗模型動態性能一致性好。

齒輪箱；軸承剛度；有限元模態分析；試驗模態分析；CAE／CAT／CAO

在建立具有結合部的多零件系統動力學分析模型時，普遍存在結合部難于精確模擬問題，聯接部位的剛度、阻尼特性等結合部參數對機械結構的動態特性卻有著舉足輕重的影響［1］。齒輪箱的振動是軸、齒輪、軸承、箱體等多種振動的綜合作用，齒輪軸系和箱體通過軸承組成一個系統。因此，軸承的支承剛度對齒輪系統的動力學特性有重要的影響，它將直接影響到軸系和箱體的固有頻率和頻響。準確地建立齒輪箱的動力學有限元模型，關鍵技術之一在于準確地識別軸承結合部的參數。

理論計算與試驗測試相結合的方法，是當前結合面等效參數識別中比較經濟有效的途徑。Fritzen等［2－3］曾用整體結構的動態實驗數據，對結構做整體有限元反解，從而獲得結構的剛度與阻尼矩陣，但是這樣做不僅計算量很大，而且很難得到其反解；Choy等［4］采用三自由度的等效彈簧模型來模擬軸承三個方向的剛度值，通過有限元分析與動態試驗結果的相關性分析驗證了這種方法的可行性；楊家華等［5］在模態分析的基礎上應用結合面單元建立了機床結構的動力學方程，經過優化計算識別了機床立柱和床身之間的結合面參數；李潤方等［6－7］采用有限元法和試驗模態分析相結合，建立了齒輪齒輪傳動模型的模態坐標模型和物理坐標模型，然后通過齒輪軸的各個方向的錘擊試驗得到了軸承的剛度和阻尼，但在軸承參數識別過程中假定了齒輪箱體是剛性的，忽略了錘擊試驗時齒輪箱體的柔性對齒輪軸系耦合振動的影響。

模態分析是研究結構動力特征的一種主要方法，分為理論模態分析和試驗模態分析［8］。對于簡單的單個部件，邊界條件理想，有限元模態分析計算精確度很高；但對于多零件組成的復雜機械裝置，由于存在結合部聯接、邊界條件難模擬的問題，有限元模態分析結果精度較差。而試驗建模方法是對現有結構的典型工況進行動態試驗，所以避免了結構各結合部聯結條件及其等效動力學參數，阻尼假設，各種邊界條件的近似及簡化，以及近似計算等帶來的誤差，故所得試驗模型與現有機械結構的實際工況有較高精度的吻合。因此，可采用試驗結果對有限元模型進行參數修正來獲得結合部的參數，并建立更準確的有限元模型。

本文基于CAE／CAT／CAO技術，提出一種有限元模態分析和試驗模態分析相結合精確識別軸承結合部等效剛度的方法。方法的主要內容是：綜合考慮了齒輪軸及箱體的柔性，建立齒輪箱有限元分析模型，通過Spring彈性單元模擬軸承三個方向的等效剛度，并將其作為設計變量，以試驗模態分析得到的固有頻率值作為目標值，通過優化方法對軸承的等效剛度進行參數尋優，使得有限元模態分析與試驗模態分析得到的固有頻率相一致，此時Spring參數變量的值即為軸承的等效剛度值。該方法通過有限元模態分析與試驗模態分析相結合，準確地識別了軸承三個方向的等效剛度值，建立的齒輪箱有限元分析模型有較高的精度和工程應用價值。

1 齒輪箱有限元模態分析關鍵技術

有限元模態分析是根據結構的幾何形狀、邊界條件和材料屬性，不考慮阻尼，把結構的質量分布和剛度分布用質量矩陣和剛度矩陣表示出來，然后通過特征值提取算法得到結構的模態參數。

論文研究使用的齒輪箱為開式，如圖1所示，齒輪箱中的兩個直齒輪型號相同，模數為4，齒數為61，傳動比為1，軸承型號為6210－LS，齒輪箱底座通過地腳緊固螺栓和壓塊固定在實驗室的試驗臺上。

圖1 試驗齒輪箱Fig．1 Test gearbox

齒輪箱體的結構比較復雜，箱體上分布有倒角、凸臺、螺栓聯接孔、密封圈等。實際上，箱體結構上分布的這些微小特征對模型的質量、質心等影響不大，而對網格劃分帶來比較大的麻煩，因此在建立有限元模型時，對箱體實際結構進行了適當的等效簡化處理。

1.1 網格單元的選擇

采用不同的網格單元可能對最后的分析結果影響很大。對于三維問題，Abaqus中主要提供Hex單元（六面體單元）和Tet單元（四面體單元），按照節點位移差值的階數，可分為線性單元、二次單元和修正的二次單元。因此首先使用各種不同的單元類型來對簡單的單個齒輪部件進行有限元模態分析，其中各種單元網格具有相同的種子分布，分析結果見表1所示。

對各種三維實體單元的單個齒輪模態分析結果進行比較，可以看出，除四面體線性單元（C3D4）、六面體線性完全積分單元（C3D8）和六面體線性縮減積分單元（C3D8R）外，采用其他各種單元類型得到的結果差別不大，都具有較高的精度；基于相同的網格種子，使用四面體二次單元與六面體二次單元得到的結果很接近，但四面體二次網格的計算代價更大一些。四面體單元網格，可以在裝配體（Assembly）上直接劃分，而不必對每個部件都進行剖分，在建模效率上高一些，對于模態分析而言，其精度已足夠，求解效率也可接受?？紤]到方便劃分網格，且各個部件網格類型要統一，因此，采用四面體二次單元（C3D10）來統一劃分網格。

1.2 定義結合部及邊界條件

對于軸承結合部，在Abaqus中可以采用Spring彈簧單元來模擬軸承三個方向的等效剛度。首先將齒輪軸與軸承內圈、箱體與軸承外圈的接觸進行綁定處理；在軸承內圈與外圈的圓心位置分別設置參考點，并與各自對應的參考點進行耦合處理；在參考點之間添加Spring彈簧單元，設置X，Y，Z方向的剛度值，分別模擬軸承三個方向的剛度特性。由于四個軸承同型號，安裝方式、負載均相同，因此四個軸承的等效剛度值可認為是相同的，有限元模型中引入了3個參數變Kx，Ky，Kz，初始值均設置為1×108N／m。

表1 各種三維實體單元的模態分析結果比較Tab.1 The comparison of results of modal analysis through different 3D solid element

考慮到實際安裝的齒輪副在嚙合線的方向上存在0．733 7 mm（實際測量得到）的側隙，在進行模態試驗的時候齒輪副其實是沒有嚙合相互作用的，其對軸承等效剛度的識別不存在影響，因此忽略齒輪副的嚙合約束。齒部屬于不規則體，繁密的網格會增加計算負擔，因此在保證質心及質量的前提下，將齒輪簡化為圓柱體。

齒輪箱裝配時，還存在齒輪和軸的鍵連接，齒輪箱頂蓋和齒輪箱底座的螺栓連接等。相較于軸承結合部，它們對齒輪箱的動態特性影響很小，可以將它們看成剛性連接。齒輪箱底座通過地腳緊固螺栓和壓塊固定在試驗臺上，因此對齒輪箱底座的下表面施加固支邊界條件。

齒輪箱有限元模型如圖2所示，整個模型由19 062個單元，35 724個節點組成。

定義分析步類型為頻率提取分析步，采用Lanczos方法提取特征值，提交分析作業，在后處理中提取有限元模態分析結果。齒輪箱系統的各階模態中，對軸承剛度較敏感的是軸系的固有頻率，而試驗齒輪箱傳動比為1，輸入軸輸出軸是對稱的，在分析結果中也表現出對稱相近的固有頻率，因此只提取輸出值的前5階固有頻率和振型列入表2。

圖2 齒輪箱有限元模型Fig．2 The finite element model of gearbox

2 齒輪箱試驗模態分析關鍵技術

試驗模態分析是理論模態分析的逆過程，通過實驗測得結構上的激勵和響應的時間歷程，運用數字信號處理技術求得頻響函數或脈沖響應函數，然后運用參數識別方法求得系統模態參數。

實驗采用比利時LMS公司的模態測試分析系統，該系統由激振系統、測量系統和分析系統組成。激勵方式可以有錘擊激勵、激振器激勵，響應信號由加速度傳感器獲取，通過LMS測試前端及LMS Test．lab對模態試驗的輸入和輸出信號進行采集、處理和分析。

2.1 單個部件有限元模態分析與試驗模態分析比較

為了驗證試驗模態分析與有限元模態分析的精度，對單個齒輪進行模態試驗，然后與齒輪的有限元模態分析結果進行比較。將齒輪用彈性繩懸掛起來，布置16個測點，在測點9和10的位置分別固定一個單向加速度傳感器，采用移動力錘法對齒輪各個測點施加脈沖激勵。傳感器安裝及測點布置如圖3所示。

圖3 傳感器安裝及測點布置Fig．3 The installation of sensors and test points arrangement

單個齒輪有限元模態分析與試驗模態分析得到的前六階固有頻率比較如圖4所示。從圖中看出，單個齒輪的有限元模態分析與試驗模態分析結果很接近，分析誤差原因，主要是有限元模型結構等效簡化及離散化帶來的誤差和試驗過程中測量及信號處理過程中的誤差。

圖4 單個齒輪部件有限元模態分析與試驗模態分析結果比較Fig．4 The comparison of results of finite element modal analysisand experimental modal analysis

2.2 齒輪箱激振器試驗

為了獲得更大的激勵能量和更好的激勵效果，齒輪箱的模態試驗采用激振器激勵，試驗方式為SIMO（單點激勵多點輸出）。激振頭與測點表面用膠水固定，三向加速度傳感器與測點表面用蜂蠟固定，激振頭與測點表面用膠水固定，總共布置52個測點，通過移動4個三向加速度傳感器分批獲得齒輪箱上的響應信號。激振器及測點布置如圖5所示。

圖5 激振器及測點布置Fig．5 The arrangement of exciter and test points

激振器的激勵信號采用猝發隨機激勵，模態參數識別方法采用Polymax算法。模態試驗得到輸出軸前5階固有頻率和振型，與有限元模態分析得到的結果進行比較，如表2及圖6所示。

表2 齒輪箱模態分析結果比較Tab.2 Comparison of Modal analysis results of gearbox

圖6 模態振型比較Fig．6 Comparison of modal shape

從齒輪箱有限元模態分析與試驗模態分析的比較結果看，振型都能對應上，但是固有頻率值有較大的偏差，需在保證振型對應的前提下，優化有限元模型中Springs單元的參數值，使得有限元模態分析的固有頻率值盡量與實驗模態分析得到的固有頻率值接近。

3 基于Isight的軸承結合部參數尋優

Isight是一款用于多學科多目標優化設計的CAO （Computer Aided Optimization）軟件，通過將不同的CAE軟件集成到Isight中，采用相應的優化算法進行優化分析。在齒輪箱有限元模態分析和試驗模態分析的基礎上，采用Isight優化分析軟件對軸承的剛度參數進行尋優，使得有限元模態分析的結果與試驗模態分析的結果相一致。

3.1 結合部參數尋優數學模型

本次優化為多目標優化，一般情況下，多目標優化問題的各個子目標之間是矛盾的，一個子目標的改善有可能會引起另一個或者另幾個子目標的性能降低，也就是要同時使多個子目標一起達到最優值是不可能的，而只能在它們中間進行協調和折中處理使各個子目標都盡可能地達到最優化［9］。

多目標優化問題的數學模型可表示為

式中x為D維設計變量，y為目標向量，N為優化目標總數，F（x）為目標函數，fn（x）為第n個目標函數，gi（x）為第i個不等式約束、hj（x）為第j個等式約束，xd-min和xd-max為每維設計變量搜索的上下限。

論文取設計變量為有限元模型中Spring單元參數Kx，Ky，Kz，即

式中Kx為軸承軸向方向等效剛度，Ky為軸承徑向水平方向等效剛度，Kz為軸承徑向豎直方向等效剛度。

論文取優化目標為有限元模態分析得到的固有頻率與試驗模態分析得到的固有頻率之差，即

論文取不等式約束為有限元模態分析與試驗模態分析的每一階固有頻率之差的絕對值小于等于一個給定的值，本文經過試算，取給定的不等式約束范圍值為50 Hz，設計變量的取值在5×106～5×108N／m之間，即：

3.2 優化歷程及結合部參數尋優結果

Isight提供了與Abaqus的直接接口，可以在Isight中直接調用Abaqus計算數據，為了減少實際仿真軟件的調用次數，提高優化分析任務的效率，首先對設計變量進行試驗設計，得到近似模型。采用最優拉丁超立方［10］（Optimal Latin hypercude）設計方法對設計變量在可行域之內均勻采樣，設置樣本點數為100，通過試驗設計得到的樣本數據，基于響應面模型得到設計變量與目標變量之間的近似模型，運用近似模型替代仿真程序，定義設計變量、設計目標及設計約束，采用NCGA［11］多目標遺傳算法進行模型優化。

通過88次的迭代運算過程后，算法收斂，得到一組不同權值的Pareto解集，利用Isight自帶的Pareto解集后處理模塊得到設計變量取不同權值時優化目標的響應及Pareto解的分布，當取權值Kx∶Ky∶Kz＝1∶1∶1時得到最優解，此時得到軸承等效剛度參數尋優的結果，如表3所示。

表3 參數尋優結果Tab.3 Results of parameter optimization

將優化前后有限元模態分析得到的固有頻率與試驗值進行比較，如圖7所示。

圖7 優化前后分析值與試驗值比較Fig．7 Analysis values before and after optimization Compared with the test results

優化前，有限元模態分析得到的固有頻率值與試驗值最大誤差達39．4%，優化后最大誤差減小到4．9%，有限元模型的精度得到了很大的改善。

4 結 論

（1）論文工作表明，在有限元模態分析與試驗模態分析的基礎上，采用ISIGHT軟件的集成優化方法對軸承結合面等效剛度進行識別，能得到較理想的結合面等效剛度，為有限元精確建模提供了基礎參數。

（2）為了保證該方法的可靠性，須保證有限元模態分析和試驗模態分析的精度，在優化時，應合理選定模態的數目，太少會得不到最優解導致識別誤差，太多會增加數據處理的工作量，一般可取反映結合部特性的振動模態。

（3）本文給出CAE／CAT／CAO相結合方法得到精確的齒輪箱有限元分析模型，給出的詳細技術細節與方法對其他機械裝置的整體建模具有參考價值。

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A method of equivalent stiffness identification for bearing joint of a gearbox based on CAE／CAT／CAO

LOU Jiang-lei，TANG Jin-yuan
（State Key Laboratory of High-performance Complex Manufacturing，School of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University，Changsha 410083，China）

Based on CAE／CAT／CAO technology，a method to identify bearing stiffness of a gearbox was proposed with the combination of finite element modal analysis，experimental modal analysis and Integrated optimization of isight．Firstly，the finite element analysis model of a gearbox was built with the finite element analysis software Abaqus，and a spring element was used to simulate the equivalent stiffnesses of the bearing in 3 directions，they were taken as design variables．Secondly，the natural frequencies and vibration modal shapes containing information of bearing joint interfaces were acquired with the experimental modal analysis of the gearbox using LMS modal test and analysis system，and the natural frequencies acquired from tests were taken as the optimal objective values．Finally，the results of finite element modal analysis and those of experimental modal analysis were made to be in consistent through optimization of bearing stiffnesses using Abaqus combined with integrated Isight．Analysis results showed that the proposed method considers the flexibility of gear shaft and gear box，it has a higher precision，and there is a good agreement between the dynamic performances of the finite element model of the gearbox after optimization and those of the test model．

gearbox；bearing stiffness；finite element modal analysis；experimental modal analysis；CAE／CAT／CAO

TH132．41；TH113．1

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．015

973計劃項目（2011CB706800）；國家自然科學基金項目（51275530）資助

2013－08－20 修改稿收到日期：2013－10－23

樓江雷男，碩士生，1989年生

唐進元男，碩士，教授，1962年生