基于小波變換的信號奇異性檢測研究

王豐+詹丹鳳+孫雷+占永寧

【摘 要】信號的突變性或奇異性經常攜帶有比較重要的信息， 它是信號重要的特征之一。本文介紹了小波變換的基本概念， 討論了小波變換的奇異性檢測方法，可以應用于海洋聲波信號的奇異性檢測。闡述了高斯和Daubechies小波函數的信號奇異性檢測原理及其MATLAB仿真實現， 分析了信號奇異點的定位方法和小波檢測效果， 并指出了利用此方法時對所用小波函數的要求及小波尺度的選取對檢測結果的影響，為非平穩信號的奇異性檢測的研究提供了一種行之有效的方法。

【關鍵詞】小波變換；奇異性檢測；高斯函數；Daubechies小波

0 引言

由于海水的導電性良好，電磁波和光波在海水中有著強烈的吸收衰減，所以很難廣泛地應用于海洋勘探。

迄今為止，聲波是唯一能夠在海洋中進行遠距離傳輸信息的能量形式?？梢杂糜谔綔y水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。

利用聲波雷達——聲吶，可以探測出水下目標的方位和距離等信息。

主動聲吶由簡單的回聲探測儀器演變而來，它主動地發射超聲波，然后接收回波進行計算，適用于探測冰山、暗礁、沉船、海深、魚群、水雷和關閉了發動機的隱蔽的潛艇。近期發生的馬航MH370航班的搜尋工作牽動著全世界的神經，對聲波信號分析處理的研究起到了至關重要的作用。

1 小波變換檢測信號奇異性的優越性

傅立葉變換是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續的，可以是離散的。傅立葉變換所用的基是專門挑選的，是正交的，也是利于計算系數的。

傅立葉所用的波是正弦波，有著無窮的能量，以同樣的幅度在整個無窮大區間里面振蕩。而小波是一種能量在時域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數或信號進行多尺度細化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。

對于一個直流信號用傅立葉級數將其展開，會發現形式非常簡單：只有一個級數系數不是0，其他所有級數系數都是0。但是在這個直流信號上，增加一個突變，也就是中間有一個階躍，如果再次讓其傅立葉展開，所有的傅立葉級數都為非0了。因為傅立葉級數必須用三角波來展開信號，對于這種變化突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變化，傅立葉級數也不得不用大量的三角波去擬合。

這種Gibbs現象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現象也依然存在。當變化太劇烈的時候，就需要大量的三角波來擬合。

傅立葉分析是對信號的總體統計， 不能標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度， 也就是說， 它對信號的局部畸變沒有標定能力和度量能力，無法分析處理非平穩信號和實時信號。

小波函數提供了一種靈活的窗函數， 可實現時頻窗寬隨信號自適應變化， 最終滿足時頻分析的需要， 在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力， 是一種窗口面積固定不變但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率， 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率， 所以被譽為分析信號的顯微鏡。從而避免了傅立葉變換、Gabor分析和短時傅立葉變換等在信號處理中的缺陷。

2 高斯函數及其1階和2階導數做為基函數

3 小波尺度a的選擇

當a小于2的時候，小波變換的結果雖然在信號突變時刻有波動可以檢測到突變信息，但是在回波信號的只包含正弦波的時間段內這三個小波變換結果會有比較明顯的振蕩正弦波，當a從2遞減的時候，這種振蕩正弦波更加明顯，a越小則檢測效果越差。

當小波尺度a大于或者等于6時，小波變換的結果只在信號突變時刻有波動，而在信號只包含正弦波的時間段內這三個小波變換結果幾乎接近水平直線，這樣可以檢測出突變信息發生的時刻，所以小波尺度a的取值應該大于6。 但是在有其他頻率正弦波引入的時刻卻不能明顯檢測出來。實驗表明：選取合適的小波尺度影響是明顯的。

因為沖激函數的小波變換結果就是所選用小波的伸縮系，對比小波變換波形和圖1（a）的1階導數的形狀，就可以知道這兩個頻道上的變換結果反映了信號的突變信息，沖激的位置主要由小波變換結果中的零交叉點（Zero-Crossings）決定。由圖可見，以高斯函數的1階和2階導數為基函數的小波變換都成功地分離出了突變信息，但是在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號沒有被檢測出來。進一步可以使用Daubechies小波分 解進行檢測。

4 Daubechies小波函數的檢測效果比較

Daubechies系列小波簡寫為dbN，N表示階數，db系列小波的支集長度和濾波器長度都為2N左右，消失矩為N。db小波函數和尺度函數具有以下特點：

（1）小波函數Ψ（t）可以由尺度函數？準（t）求出來，？準（t）的長度有限，支撐域在t=0～（2N-1）范圍內。

（2）尺度函數？準（t）和小波函數Ψ（t）滿足二尺度方程。

（3）尺度函數？準（t）和小波函數Ψ（t）滿足歸一化條件。

（4）隨著N的增大，尺度函數與小波函數的正則性都增強。

當N=1時，db小波就變成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波

都沒有明確的表達式，并且均為連續且是緊支撐的小波。

隨著N的增大，db系列小波的小波函數和尺度函數的光滑性越好，在信號處理中，光滑性越好，其處理的效果一般也越好，而且它們可以有預知的連續導數，可以更好的滿足信號處理的要求。從db4小波開始，db系列小波已經是完全光滑的了。

此處選用db6小波函數對信號進行2層分解，信號s=a2+d2+d1，其中高頻分量d1在t=100、200、400時刻檢測到有相應幅度的突變信息，而且在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號也相應地被檢測出。（下轉第9頁）

【參考文獻】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析與信號處理：理論、應用及軟件實現[M].重慶出版社，1996，6-15.

[4]徐長發，李國寬.實用小波方法[M].武漢：華中科技大學出版社，2004.

[責任編輯：劉帥]

【摘 要】信號的突變性或奇異性經常攜帶有比較重要的信息， 它是信號重要的特征之一。本文介紹了小波變換的基本概念， 討論了小波變換的奇異性檢測方法，可以應用于海洋聲波信號的奇異性檢測。闡述了高斯和Daubechies小波函數的信號奇異性檢測原理及其MATLAB仿真實現， 分析了信號奇異點的定位方法和小波檢測效果， 并指出了利用此方法時對所用小波函數的要求及小波尺度的選取對檢測結果的影響，為非平穩信號的奇異性檢測的研究提供了一種行之有效的方法。

【關鍵詞】小波變換；奇異性檢測；高斯函數；Daubechies小波

0 引言

由于海水的導電性良好，電磁波和光波在海水中有著強烈的吸收衰減，所以很難廣泛地應用于海洋勘探。

迄今為止，聲波是唯一能夠在海洋中進行遠距離傳輸信息的能量形式?？梢杂糜谔綔y水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。

利用聲波雷達——聲吶，可以探測出水下目標的方位和距離等信息。

主動聲吶由簡單的回聲探測儀器演變而來，它主動地發射超聲波，然后接收回波進行計算，適用于探測冰山、暗礁、沉船、海深、魚群、水雷和關閉了發動機的隱蔽的潛艇。近期發生的馬航MH370航班的搜尋工作牽動著全世界的神經，對聲波信號分析處理的研究起到了至關重要的作用。

1 小波變換檢測信號奇異性的優越性

傅立葉變換是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續的，可以是離散的。傅立葉變換所用的基是專門挑選的，是正交的，也是利于計算系數的。

傅立葉所用的波是正弦波，有著無窮的能量，以同樣的幅度在整個無窮大區間里面振蕩。而小波是一種能量在時域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數或信號進行多尺度細化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。

對于一個直流信號用傅立葉級數將其展開，會發現形式非常簡單：只有一個級數系數不是0，其他所有級數系數都是0。但是在這個直流信號上，增加一個突變，也就是中間有一個階躍，如果再次讓其傅立葉展開，所有的傅立葉級數都為非0了。因為傅立葉級數必須用三角波來展開信號，對于這種變化突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變化，傅立葉級數也不得不用大量的三角波去擬合。

這種Gibbs現象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現象也依然存在。當變化太劇烈的時候，就需要大量的三角波來擬合。

傅立葉分析是對信號的總體統計， 不能標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度， 也就是說， 它對信號的局部畸變沒有標定能力和度量能力，無法分析處理非平穩信號和實時信號。

小波函數提供了一種靈活的窗函數， 可實現時頻窗寬隨信號自適應變化， 最終滿足時頻分析的需要， 在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力， 是一種窗口面積固定不變但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率， 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率， 所以被譽為分析信號的顯微鏡。從而避免了傅立葉變換、Gabor分析和短時傅立葉變換等在信號處理中的缺陷。

2 高斯函數及其1階和2階導數做為基函數

3 小波尺度a的選擇

當a小于2的時候，小波變換的結果雖然在信號突變時刻有波動可以檢測到突變信息，但是在回波信號的只包含正弦波的時間段內這三個小波變換結果會有比較明顯的振蕩正弦波，當a從2遞減的時候，這種振蕩正弦波更加明顯，a越小則檢測效果越差。

當小波尺度a大于或者等于6時，小波變換的結果只在信號突變時刻有波動，而在信號只包含正弦波的時間段內這三個小波變換結果幾乎接近水平直線，這樣可以檢測出突變信息發生的時刻，所以小波尺度a的取值應該大于6。 但是在有其他頻率正弦波引入的時刻卻不能明顯檢測出來。實驗表明：選取合適的小波尺度影響是明顯的。

因為沖激函數的小波變換結果就是所選用小波的伸縮系，對比小波變換波形和圖1（a）的1階導數的形狀，就可以知道這兩個頻道上的變換結果反映了信號的突變信息，沖激的位置主要由小波變換結果中的零交叉點（Zero-Crossings）決定。由圖可見，以高斯函數的1階和2階導數為基函數的小波變換都成功地分離出了突變信息，但是在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號沒有被檢測出來。進一步可以使用Daubechies小波分 解進行檢測。

4 Daubechies小波函數的檢測效果比較

Daubechies系列小波簡寫為dbN，N表示階數，db系列小波的支集長度和濾波器長度都為2N左右，消失矩為N。db小波函數和尺度函數具有以下特點：

（1）小波函數Ψ（t）可以由尺度函數？準（t）求出來，？準（t）的長度有限，支撐域在t=0～（2N-1）范圍內。

（2）尺度函數？準（t）和小波函數Ψ（t）滿足二尺度方程。

（3）尺度函數？準（t）和小波函數Ψ（t）滿足歸一化條件。

（4）隨著N的增大，尺度函數與小波函數的正則性都增強。

當N=1時，db小波就變成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波

都沒有明確的表達式，并且均為連續且是緊支撐的小波。

隨著N的增大，db系列小波的小波函數和尺度函數的光滑性越好，在信號處理中，光滑性越好，其處理的效果一般也越好，而且它們可以有預知的連續導數，可以更好的滿足信號處理的要求。從db4小波開始，db系列小波已經是完全光滑的了。

此處選用db6小波函數對信號進行2層分解，信號s=a2+d2+d1，其中高頻分量d1在t=100、200、400時刻檢測到有相應幅度的突變信息，而且在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號也相應地被檢測出。（下轉第9頁）

【參考文獻】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析與信號處理：理論、應用及軟件實現[M].重慶出版社，1996，6-15.

[4]徐長發，李國寬.實用小波方法[M].武漢：華中科技大學出版社，2004.

[責任編輯：劉帥]

【摘 要】信號的突變性或奇異性經常攜帶有比較重要的信息， 它是信號重要的特征之一。本文介紹了小波變換的基本概念， 討論了小波變換的奇異性檢測方法，可以應用于海洋聲波信號的奇異性檢測。闡述了高斯和Daubechies小波函數的信號奇異性檢測原理及其MATLAB仿真實現， 分析了信號奇異點的定位方法和小波檢測效果， 并指出了利用此方法時對所用小波函數的要求及小波尺度的選取對檢測結果的影響，為非平穩信號的奇異性檢測的研究提供了一種行之有效的方法。

【關鍵詞】小波變換；奇異性檢測；高斯函數；Daubechies小波

0 引言

由于海水的導電性良好，電磁波和光波在海水中有著強烈的吸收衰減，所以很難廣泛地應用于海洋勘探。

迄今為止，聲波是唯一能夠在海洋中進行遠距離傳輸信息的能量形式?？梢杂糜谔綔y水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。

利用聲波雷達——聲吶，可以探測出水下目標的方位和距離等信息。

主動聲吶由簡單的回聲探測儀器演變而來，它主動地發射超聲波，然后接收回波進行計算，適用于探測冰山、暗礁、沉船、海深、魚群、水雷和關閉了發動機的隱蔽的潛艇。近期發生的馬航MH370航班的搜尋工作牽動著全世界的神經，對聲波信號分析處理的研究起到了至關重要的作用。

1 小波變換檢測信號奇異性的優越性

傅立葉變換是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續的，可以是離散的。傅立葉變換所用的基是專門挑選的，是正交的，也是利于計算系數的。

傅立葉所用的波是正弦波，有著無窮的能量，以同樣的幅度在整個無窮大區間里面振蕩。而小波是一種能量在時域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數或信號進行多尺度細化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。

對于一個直流信號用傅立葉級數將其展開，會發現形式非常簡單：只有一個級數系數不是0，其他所有級數系數都是0。但是在這個直流信號上，增加一個突變，也就是中間有一個階躍，如果再次讓其傅立葉展開，所有的傅立葉級數都為非0了。因為傅立葉級數必須用三角波來展開信號，對于這種變化突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變化，傅立葉級數也不得不用大量的三角波去擬合。

這種Gibbs現象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現象也依然存在。當變化太劇烈的時候，就需要大量的三角波來擬合。

傅立葉分析是對信號的總體統計， 不能標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度， 也就是說， 它對信號的局部畸變沒有標定能力和度量能力，無法分析處理非平穩信號和實時信號。

小波函數提供了一種靈活的窗函數， 可實現時頻窗寬隨信號自適應變化， 最終滿足時頻分析的需要， 在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力， 是一種窗口面積固定不變但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率， 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率， 所以被譽為分析信號的顯微鏡。從而避免了傅立葉變換、Gabor分析和短時傅立葉變換等在信號處理中的缺陷。

2 高斯函數及其1階和2階導數做為基函數

3 小波尺度a的選擇

當a小于2的時候，小波變換的結果雖然在信號突變時刻有波動可以檢測到突變信息，但是在回波信號的只包含正弦波的時間段內這三個小波變換結果會有比較明顯的振蕩正弦波，當a從2遞減的時候，這種振蕩正弦波更加明顯，a越小則檢測效果越差。

當小波尺度a大于或者等于6時，小波變換的結果只在信號突變時刻有波動，而在信號只包含正弦波的時間段內這三個小波變換結果幾乎接近水平直線，這樣可以檢測出突變信息發生的時刻，所以小波尺度a的取值應該大于6。 但是在有其他頻率正弦波引入的時刻卻不能明顯檢測出來。實驗表明：選取合適的小波尺度影響是明顯的。

因為沖激函數的小波變換結果就是所選用小波的伸縮系，對比小波變換波形和圖1（a）的1階導數的形狀，就可以知道這兩個頻道上的變換結果反映了信號的突變信息，沖激的位置主要由小波變換結果中的零交叉點（Zero-Crossings）決定。由圖可見，以高斯函數的1階和2階導數為基函數的小波變換都成功地分離出了突變信息，但是在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號沒有被檢測出來。進一步可以使用Daubechies小波分 解進行檢測。

4 Daubechies小波函數的檢測效果比較

Daubechies系列小波簡寫為dbN，N表示階數，db系列小波的支集長度和濾波器長度都為2N左右，消失矩為N。db小波函數和尺度函數具有以下特點：

（1）小波函數Ψ（t）可以由尺度函數？準（t）求出來，？準（t）的長度有限，支撐域在t=0～（2N-1）范圍內。

（2）尺度函數？準（t）和小波函數Ψ（t）滿足二尺度方程。

（3）尺度函數？準（t）和小波函數Ψ（t）滿足歸一化條件。

（4）隨著N的增大，尺度函數與小波函數的正則性都增強。

當N=1時，db小波就變成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波

都沒有明確的表達式，并且均為連續且是緊支撐的小波。

隨著N的增大，db系列小波的小波函數和尺度函數的光滑性越好，在信號處理中，光滑性越好，其處理的效果一般也越好，而且它們可以有預知的連續導數，可以更好的滿足信號處理的要求。從db4小波開始，db系列小波已經是完全光滑的了。

此處選用db6小波函數對信號進行2層分解，信號s=a2+d2+d1，其中高頻分量d1在t=100、200、400時刻檢測到有相應幅度的突變信息，而且在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號也相應地被檢測出。（下轉第9頁）

【參考文獻】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析與信號處理：理論、應用及軟件實現[M].重慶出版社，1996，6-15.

[4]徐長發，李國寬.實用小波方法[M].武漢：華中科技大學出版社，2004.

[責任編輯：劉帥]