數學教學中隱喻的運用

俞昕

【摘要】隱喻是一個深層的認知機制，在數學教學過程中教師可以使用隱喻來讓學生熟知一種新的數學對象.合理地運用數學術語、數學欣賞、數學抽象中的隱喻確實有助于學生的數學學習.但也要慎用隱喻，既要有“引進的情景化”（隱喻）又要有“提煉的去情景化”（數學化）.

【關鍵詞】數學隱喻；數學術語；數學欣賞；數學抽象

1數學教學中的隱喻

現代認知理論視角下，隱喻是一個深層的認知機制.美國隱喻研究專家Lakoff & Johnson認為，“隱喻植根于經驗知識之中，它們（至少部分地）形成了我們做什么、以及如何理解我們正在做的事情的一種結構.”Lakoff將隱喻解讀為“用一種事物來理解另一種事物”.這也是目前絕大多數研究者對隱喻的認知功能所達成的共識.此時，“隱喻”特別需要和心理學中的“遷移”加以區分.首先，隱喻具有“A是B”的表達方式，這是它與遷移相區別的最明顯標志.其次，“遷移”是指“一種學習對另一種學習的影響”，它通常發生在學習過程中的兩種學習之間；而隱喻中的A、B卻不一定都是學習過程中的概念或事物.比如“定義域是盛著點的容器”這個隱喻，“容器”并不是數學領域中的事物或概念，它甚至和學習沒有什么必然聯系.另外，遷移的實質是新舊經驗的整合，整合可通過三種方式實現：同化、順化和重組；而隱喻的目的是生動形象，深入淺出，把不知或難知的事物或概念等變得能知或易知，它不需將事物或概念等做任何改變[1].

個體的知識常?？梢詮乃麄兯褂玫碾[喻中得到更好地理解.如Schon所指出，隱喻可以被看作理解“我們如何思考、如何認識現實的意義以及看待事物的觀點或方法”的一種方式.Lakoff & Johnson也認為，“假如說我們的觀念系統很大程度上是隱喻性質的，如果這是正確的話，那么我們的思考方式、我們的個人經歷以及我們日常生活中的所作所為也就是一種隱喻.”有關教師知識專業發展的一些研究文獻都支持這樣的觀點，即隱喻形成了教師思考方式和教學行為的結構，反映出教師關于教學實踐的信念，并為課堂教學的過程提供了獨特的意義，成為理解教師知識的一種手段.由此，有關文獻也反映出學生對數學的隱喻反映出他們對數學的一種信念[2].

Lakoff & Johnson認為隱喻主要有三種：結構隱喻、方位隱喻及本體隱喻.結構隱喻：指用一種概念結構構造另一種概念.如爭論是戰爭；你的爭論是沒有根據的；我推翻了他的觀點.方位隱喻：指個體處于空間和方位的感覺而構成的隱喻.如上—下、里—外、深—淺，中心—外圍等表達空間的具體概念，投射于人的情緒、身體狀況、數量、社會地位等抽象概念上，而形成的一些用方位詞表達的概念系統，如“Happy is up”、“他喝高了”.本體隱喻又可分為“實體和物質隱喻”和“容器隱喻”.“實體和物質隱喻”即通過物體和物質來理解人們的有關經驗，從而使人們能把一部分經歷作為一種同類的、可分離的物質來看待.“容器隱喻”指人是獨立于周圍世界以外的實體，每個人本身就是一個容器.人們將這種概念投射于人體以外的其它物體，如房子、叢林、田野、區域等，甚至將一些無形的、抽象的事件、行為、活動、狀態也看作一個容器[2].

在數學教學過程中的隱喻是指教師用學生熟知的一種事物、數學對象及其特征說明另一種數學對象.結構實體隱喻指用學生熟知的數學對象或實體結構構造另一種數學對象.容器隱喻指使用數學熟知的個體或事物（包括數學對象）處于空間和方位的感覺而說明某一數學對象或其特征[3].

2高中數學教學中隱喻的合理運用

2.1數學術語的隱喻及其人文內涵

數學術語指的是指稱或限定某類數學對象的字、詞或詞組.通常是用詞語的一般意義隱喻其數學意義.在我們的數學教學中，教師可以針對某些學生不容易理解或容易理解錯誤的數學術語，對其的隱喻進行挖掘，便于學生辨析、理解數學概念.

比如“函數”一詞，表面看是用“函”限定“數”.但其數學意義并不是指稱數，也不是對數的限定.這一詞匯是清代學者李善蘭在1859年翻譯Augustus Demorgan所著的《代數學原理》（The Elements of Algebra）一書時首次使用的數學術語.原書中“function”一詞的解釋為：“以任何方式包含x的表達式都是x的函數，所以a+x和a+bx2都是x的函數.”李善蘭把“function”翻譯為“函數”，解釋為“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.這一解釋更接近李善蘭翻譯的另一本名為《代微積拾級》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus）的書中對“function”的定義：“當一個變量等于一個包含另一個變量的表達式的時候，第一個變量就叫做第二個變量的函數.”綜上可以看出，李善蘭用“函數”這個詞匯的用意，其中的“數”是“變數”，也就是現在所說的“變量”，而“函”是包含的意思.二者組合在一起叫做“函數”，表達的就是“變量包含變量”的關系，比如“a+x”是一個變量，包含著變量“x”，那么“a+x”就是“x”的函數.所以“函數”指稱的不是數，而是變量之間的包含關系，與當時人們對“函數”的認識是吻合的.現在數學中對函數的理解事實上已經發生了變化，是集合與集合之間的“對應”關系，而不僅僅是變量之間的“包含”關系了[4].

2.2數學欣賞中的隱喻

為了改變數學在學生心目中抽象枯燥的形象，數學教師可以通過挖掘數學欣賞中的隱喻使學生親近數學.數學要在數量變化中尋求其中的不變因素.許多數學定理和數學運算律都是一種不變性的描述.李煜的詞：“雕欄玉砌應猶在，只是朱顏改”約略反映了這種意境.如一元二次式的配方式ax2+bx+c=ax+b2a2+c-b24a.左右兩端看上去不一致，但是彼此恒等.正如陸游詠梅詩所云：“零落成泥輾作塵，只有香如故”.盡管梅花已經碾作塵，依然保持著固有的香味.同樣，數學恒等變換無論如何復雜，其值是永遠不變的.這使我們想起崔護的詩《題都城南莊》：“去年今日此門中，人面桃花相映紅.人面不知何處去，桃花依舊笑春風.”這首抒情詩非常優美.但是也可以從另外的角度去欣賞：人面可以隱去，桃花是不變的[5].用人面桃花的變與不變，分析“關系-映射-反演（RMI）”方法是合適的.比如為了求得S=7.292×33.2412.015，可以用對數計算法計算如下：（1）取對數lgS=lg7.292×33.2412.015=2lg7.29+13lg3.24-5lg12.01；（2）查表計算lgS=-4.4981；（3）取反對數S=0.0003149.幾個式子的原來面貌已不復存在，剩下的只有桃花依然笑春風.盡管研究的數學對象已經通過映射變到另一個領域，已經面目全非了，但是我們所要求的結果，仍然沒有變.等到反演回來，那株桃花依然在笑春風.

問題是數學的心臟.數學研究和學習需要解題，而解題過程需要反復思索，終于在某一時刻出現頓悟.

例如做一道幾何題百思不得其解，突然添了一條輔助線，問題豁然開朗，欣喜萬分.解一道不等式屢屢碰壁，突發一念，迎刃而解.這樣的意境令人想起王國維借用宋詞來描述的意境：昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路（晏殊《蝶戀花》）.衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴（柳永《蝶戀花》）.眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處（辛棄疾《青玉案》）.做學問，大抵都要經歷這樣的意境.不過，數學解題是“成本最低”的克服困難的學科.一個學生，如果沒有經歷過這樣的意境，數學大概是學不好的了.用這樣數學欣賞的方式來引導學生學習數學，學生會對數學學習有更深刻的認識、興趣和信念.

2.3數學隱喻有助于學生逾越數學抽象的溝壑

隱喻是教師實踐性知識的重要表征形式，它可以幫助學生更好地理解數學對象.文[2]通過對兩位專家型數學教師課堂教學進行實錄分析，得到專家型教師課堂教學隱喻語言使用的特點：教師課堂教學中兩位教師多次使用隱喻，所用時間占課堂教學時間的15%左右，且以結構實體隱喻為主；隱喻語言主要出現在引入環節和探究新知環節，且以師生問答的形式呈現為主；概念教學使用范例進行隱喻教學，而程序教學中使用相似性材料進行隱喻教學.在概念性知識教學過程中，多使用與學生生活經驗相關的范例——抽象對象隱喻，可以促進學生學習的積極性；在程序性知識教學過程中，多使用與所學對象具有相似性的教學材料，可以促進學生對操作性技能的理解.

高中數學中“充分條件”與“必要條件”一向是概念性知識中的教學難點，內容抽象、推理嚴謹、應用廣泛，因此而難教難學，成為橫跨在相當一部分學子面前一道難以逾越的“坎”.下面的案例片段運用了抽象對象的隱喻使學生對抽象的數學概念有一個形象的理解.

事例1：小α又遲到了.老師對他說：“你真是的！”小α說：“都怪路上的景色太迷人.”老師說：“你太可愛了，只是遲到的理由不充分，下課后還是要勞駕你到辦公室來一下！”

事例2：2007年3月29日胡錦濤總書記在考察北京奧運會工程建設時指出“營造積極的國際輿論環境，是成功舉辦奧運會的必要條件”.

教師：這些源于生活的“充分”、“必要”的詞語，實際上都是數學中的兩個重要概念，在數學中對其做了嚴密、清晰的定義！

“數學歸納法”與“二分法”屬于操作性、程序性知識，在教學過程中教師多數使用類似的操作性、程序性材料來隱喻.數學歸納法的經典材料是“多米諾骨牌”.在“二分法”的教學中，常常見到教師創設商品“猜價格”游戲，每次猜后老師都會給出“多了”還是“少了”的提示，說高了的往低猜，說低了的往高猜，不斷調整，逐步接近商品的真正價格，由此引入“二分法”.然后，以求一個具體方程的近似解為例，經歷求近似解的過程，總結出“二分法”的一般程序.

3高中數學教學中隱喻的運用也存在弊端

我們必須得承認隱喻可以被比作一把雙刃劍.在數學教學中要慎用，隱喻這種獨特的、想象的結構可能在教學對話中被濫用，因為它比傳統的教學需要給予更多的專注、個性化的腳手架和時間的投入.上述“二分法”的隱喻中，“猜價格”與“二分法”之間，除了“取中點”有點類似之外，現實情景與數學內容是兩張皮.因為在“猜價格”情景里，學生見不到“連續函數”，見不到“閉區間端點的函數值異號”，見不到“函數零點”，見不到“方程”，見不到“方程的解”等等.到底是“猜價格”游戲不具有“二分法”的必要因素與必要形式，還是教學沒有組織學生去建立“猜價格”游戲與用“函數的思想求解方程”的數學聯系呢[6]？

羅增儒先生認為：是后者而不是前者，是教學只關注“引進的情景化”，缺失“提煉的去情景化”.下面是一個數學化的提練過程.

（1）設商品的價格為c元（常量），它在a元與b元之間（a0.“猜對”對應著方程f（x）=0的解.

（2）取中點a+b2，若猜得高了，表明fa+b2>0，則在區間a，a+b2上再取中點；若猜得低了，表明fa+b2<0，則在區間a+b2，b上再取中點.

（3）以此類推，區間長度越來越小，也就是猜的價格越來越接近真實價格，所猜的價格就是方程f（x）=0解的近似值.猜對時就是方程f（x）=0的準確解.

（4）于是我們可以用不斷取中點的方法來求方程f（x）=0的近似根，這就是“二分法”.

在這里，“猜價格”游戲成為了學生認識抽象數學模式的認知基礎，學生也經歷了一個從具體現實情景到抽象數學模式之間的“數化”提煉過程.因此，我們在運用隱喻時要時刻注意：缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直觀是空虛的，數學教學既要有“引進的情景化”（隱喻）又要有“提煉的去情景化”（數學化）.

參考文獻

[1]謝圣英，喻平.數學教育中的隱喻研究[J].數學教育學報，2013，22（2）：5-9.

[2]楊光偉，張波.小學生數學隱喻的研究[J].數學教育學報，2006，15（3）：60-63.

[3]葉立軍，斯海霞.專家型教師數學課堂教學隱喻語言應用研究[J].數學教育學報，2013，22（1）：37-39.

[4]郜舒竹，張平仁，王智秋.數學術語的隱喻歧義及其人文內涵[J].課程·教材·教法，2011，31（2）：51-57.

[5]張奠宙.萬變不離其中——數學欣賞：欣賞數學中的不變量與不變性質[J].高中數學教與學，2012（1）：1-3.

[6]羅增儒.“二分法”教學中的幾個問題[J].數學教學，2013（3）：1-4.