從“解決問題”到“問題解決”究竟有多遠

王宏　夏永立

一、“問題解決”與“解決問題”的聯系與區別

“問題解決”作為數學的課程目標，意味著這個“問題”還沒有解決，是課程教學所要達到的目標、結果。而“解決問題”，一方面是指數學課程內容，通過教學活動，這個“問題”將要被解決；另一方面，“解決問題”還包含著解決問題的方法、過程。因此，“問題解決”與“解決問題”，既是課程目標與課程內容的關系，又是課程目標與解決問題方法、過程的關系。

“解決問題”和“應用題”同屬于課程內容?！皯妙}”多數是以文字形式呈現的，條件和問題剛好匹配的題目，學生解題時不需要自己去收集信息、發現問題和提出問題。部分學生只根據個別關鍵字詞來掌握題型，根據題型套解題公式，學生善于解決與例題相同的問題，不會解決變式問題和生活中的現實問題，更不會發現和提出問題。

“問題解決”不等同于解答應用題，比之更為寬泛，價值取向也發生了變化。學生在解題的過程中，需要從紛繁的生活信息中比較、分析、篩選出有用的信息，抽象出數學問題，進而解決問題。解決問題的方法不是統一的，有時答案也不是唯一的。這里提及的問題并不是數學習題那類專門為復習和訓練設計的問題，也不是僅僅依靠記憶題型和套用公式去解決的問題。

二、基于“問題解決”課程目標下“解決問題”的教學達成

1.創新形式，呈現問題。課程目標的變化帶來了教材內容的變化。問題融入各知識領域，獨立設置“綜合與應用”內容領域，北師大版教材把“數學與生活”“數學與環境”“數學與體育”等引入教材；安排“探索規律”“解決問題策略”專題，蘇教版教材出現了“解決問題的策略”“找規律”，增加思考性選學材料；人教版教材里有“數學廣角”等。教材的變化就意味著教師的教學也要跟著改變，教師給學生呈現的問題側重于與現實問題聯系密切，非常規、探究性、開放性的問題。要創新問題呈現的形式，問題要具有開放性、趣味性、挑戰性。學生在解決問題的過程中，沒有現成的類型和解法來套用，需要學生運用所學知識，并通過個人或小組合作的形式探索和實踐來解決，具有挑戰性。（1）問題的一般解。（代數化：如“打電話”中用t表示時間，n表示人數，找出n與t的關系。）（2）探求問題的一般解的過程與小結。①你是如何尋求一般解的？②解決問題的關鍵是什么？③問題是何種數學模型，解決它用到了哪些數學知識，用到了怎樣的思維方法和數學方法？（3）問題拓展研究。①有沒有其他解法？如果有，比較不同解法的聯系與差異。②問題推廣：如問題中將“每分鐘通知1人”改為“每分鐘通知2人”……相應的解。（4）應用：類似問題，即相同的數學模型還有哪些實際背景？列出相關問題。這里，問題能不能解決也許并不那么重要，重要的是學生在解決問題的過程中，完成認識上的兩個轉化。第一個轉化，從紛亂的實際問題中，收集、觀察、比較、篩選有用的信息，抽象成數學問題。第二個轉化是根據已抽象出來的數學問題，分析其中的數量關系，列出解決問題的算式，求出問題的答案。

2.揚長避短，借鑒經驗。應用題教學的歷史悠久，廣大一線教師和許多專家學者在實踐和研究中，對應用題教學做了大量有益的探索與改革，總結積累了許多寶貴的經驗，對此，教師應有清醒的認識，揚長避短，合理地堅持和繼承。傳統應用題的審題、分析數量關系、制定解題步驟等都是需要借鑒的。教材及問題解決呈現形式的變化帶來了學生讀審題目的變化。學生學習數學的過程都不同程度地體現“問題解決”的過程，應用題學習是實現“問題解決”目標的重要載體。傳統應用題中一直被社會抨擊的—個練習：

有一個水池，打開進水管注滿水池要4小時，打開出水管放完整池水要3小時，現在同時打開進水管和出水管，要多少時間才能把一池水放完？

大家指出此題的種種不是：虛擬情境、資源浪費等，從而對傳統數學教學提出了質疑。但是我覺得練習和情境只是一個載體，教學是要去理解練習背后的數學思維方式。類似上述的情境如：家庭的收入與支出；公共場所人員的進場與出場；草場里草的生長與割去；人體的新陳代謝、社會人口的增減等，這是一個動態平衡的問題，難道不值得我們去研究？教師可以根據社會和人類的發展適當地調整練習的情境，改變“一個例題一種類型”的“散點式”學習，注重從多種情境中抽象概括數量關系結構，形成數學模型。教師在進行解決問題教學時，或許答案并不重要，重要的是學生在解決問題的過程中想到了什么。如“雞兔同籠”問題，它只是一個載體，教師要研究在它們身上附著的東西，那就是數學的思想和數學的思考方法。

3.過程為體，策略為用。小學階段重視解題策略的感悟和思想的滲透，是問題解決教學的重要特征，也是超越傳統應用題教學的標志。小學數學中常見的策略有：畫圖、列表、列舉、轉化（化歸）、假設等。

例如：在一邊靠水渠處，用籬笆圍成一個直角梯形菜地（如下圖），已知三面籬笆總長14米，且每面的籬笆長都是整米數。

（1）請試著設計幾種圍籬笆的方案，并分別求出這塊菜地的面積。（至少寫出三種方案）

（2）籬笆怎樣圍時這塊菜地的面積最大，最大的面積是多少？

由于問題的探索具有開放性和挑戰性，學生需要猜想與嘗試，逐步找出答案，發現規律。教師應引導學生利用列表的策略進行有序思考，可以使得問題迎刃而解。

通過列表嘗試逐步發現高為7米，上底和下底的和為7米時，這塊菜地的面積最大，最大面積為24.5平方米。如（7+7）×2=24.5（m）。學生在解決問題時，就會思考如何有序、不遺漏地計算出一共多少種不同的方法？學生在嘗試解決類似問題的過程中，升華了對策略的感悟。

4.學會思考，鼓勵質疑。

新課標指出：學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心。培養學生的問題意識和創新意識不是一朝一夕可以完成的事情，教師要通過示范、指導、評價等多種途徑促進學生的問題意識。

（1）縱向思維，由淺入深。

如，教學“三角形內角和”時，教師可以提出：三角形內角和是180°，那么四邊形、n邊形的內角和是多少度呢？三角形、四邊形、n邊形的外角和是多少度呢？三角形的內角和一定是180°嗎？或許學生探究不出結論，但是在學生心中種下了問題的種子?？v向思維體現特殊到一般，由一元到多元、由低維到高維的過程。

（2）橫向思維，由此及彼。橫向思維體現在由一種數聯想到另一種數、由一種運算聯想另一種運算、由一種圖形聯想到另一種圖形的思維過程。

例如：數線段的條數，學生掌握了基本的方法?？梢試L試解決下面的問題：

然后再讓學生嘗試解決下面的問題：下圖中一共有多少個角？

（3）逆向思維，因果倒置。逆向思維就是對結論進行逆向的質疑。

如：計算3個五角硬幣和5個一元硬幣的總幣值是多少？可以提出問題：6元5角還可以由哪些硬幣組成？

5.積極評價，提倡反思。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；既要關注學生數學學習的水平，也要重視學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我、建立信心。

如：用長24厘米的細繩圍成一個邊長為整厘米數的長方形，怎樣才能使面積最大？

在評價時可以關注幾個不同的層次：（1）能理解題目的意思。（2）能否提出解決問題的策略。（3）能否列舉出若干滿足條件的長方形，并能有序排列。（4）在觀察比較的基礎上能否發現其中的規律并能提出猜想。（5）能對猜測的結果進行驗證。（6）進一步思考：邊長如果不是整厘米數情況怎樣？

“問題解決”作為數學教學的重要方面2-，如何更好地進行教學，達成目標，使學生學會用數學的眼光觀察世界，發現問題和提出問題，學會用數學的思想方法分析和解決問題，是廣大數學教師需要共同努力去研究探索的課題。

責任編輯：徐新亮