基于思維導圖的線性代數復習策略

陳曉艷

摘 要： 線性代數是碩士研究生入學考試《高等數學》科目的必考內容之一，概念抽象，性質，結論眾多，考生在復習過程中不易把握，本文以思維導圖為工具，從線性代數的核心概念——矩陣的可交換性入手，分析相關的考研試題，繪制出導圖，得到本類問題的本質特征，進而指出思維導圖對于學生形成自己的學習模塊有輔助作用。

關鍵詞： 思維導圖 線性代數 可交換矩陣一、引言

思維導圖（Mind Mapping）是英國Tony Buzan在20世記70年代初期所創的一種使人類更有效地利用大腦的筆記方法，是一種將放射性思考具體化的方法，它能幫助我們進行思考、理清思路。在我們不清楚問題、概念之間的關系時，從其中的一個問題或概念入手，利用思維導圖可以把頭腦中的信息聯系起來，形成可視化的圖表，從而使問題空間呈現可視化效果，以便深入了解這個問題，同時也加深對問題空間的認識[1][2]。

線性代數是碩士研究生入學考試高等數學科目的必考內容之一，在復習過程中，學生時常感到概念多、性質多，同時在做題的時候感到似曾相識卻無從下筆。其實線性代數是一個整體的體系，如果我們在復習的時候有意識引入思維導圖，就可以幫助我們把其中相關的模塊聯系起來，進而找到它們的關系，從整體上把握它們。

二、實例構建導圖

下面我們就以矩陣中的一個小結論入手，看看思維導圖能幫助我們獲得什么。

我們從矩陣中的可交換矩陣入手，之所以選擇它，是因為首先矩陣是線性代數里的一個核心概念，它和線性變換是不同形式下的同一事物，其次矩陣的乘積一般不滿足交換律，但是當它滿足交換律后，便帶來了很多好的結論，因此是考研題型的熱點之一。

我們收集了涉及可交換矩陣的考研試題，部分有代表性的如下：

（1）證明：設若n階方陣A、B滿足A+B=AB，則A、B可交換；（2）證明：若A，B為n階方陣，滿足AB=BA，則A，B有公共的特征向量；（3）證明：若A，B為n階方陣，滿足AB=BA，則存在n階可逆陣T使得：

（4）若A，B為n階可對角化方陣（也可說它們的初等因子皆為一次的），滿足AB=BA，則存在n階可逆陣T使得A，B可同時對角化。（5）若A，B為n階實對稱陣，則AB=BA的充要條件是存在n階正交陣T使得A，B可同時對角化。

我們在分析以上各題的解題思路基礎上，以mind manager為工具，最終繪制導圖如下：

從下圖可以看出：

1.作為第一優先級級的是可交換矩陣和可交換線性變換，也即我們這里列出的所有有關可交換矩陣的概念和結論，在可交換線性變換中同樣適用。

2.作為第二級的有概念、性質

（1）概念

A，B可交換的概念有兩個，第一個是顯概念，也即一般的教科書上給的定義，我們遇到的題目（我們把它歸到第三級）一般是已知一個低階矩陣，要求可與它相交換的矩陣的集合，其中需要用到矩陣乘積、相等，解線性方程組等知識點。

第二個概念是一類考研題，我們把它稱為可交換矩陣的隱概念，也即當滿足A±B=AB時，有AB=BA。要證明這個結論，需要用到可逆矩陣的定義（即AB=BA=I）。一般來說，考研試題中會把它作為一個條件，加入到一個大題中，其本質是A，B滿足可交換性。

（2）性質：當A，B滿足可交換時，A，B中至少有一個相同的特征向量。

這是一個關鍵性質，需要用到特征子空間和不變子空間的概念，也即A的屬于某個特征根的特征子空間V是B的不變子空間；

這個性質可得到好的結論：存在可逆矩陣P，使得均為上（下）三角陣。其證明思路是從的這個特征子空間的基入手，構建的基，利用數學歸納法可以證明。

3.考研熱點

考研試題中經常出現的有關可交換矩陣的一類較難的試題是在第4級和第5級，但通過思維導圖會發現，它們的條件、形式雖然不同，但均需要利用A，B有相同的特征向量這一條件，但性質中給出的是當A，B滿足可交換時，A，B中至少有一個相同的特征向量，為了得到有完全相同的特征向量，需要加強條件：“A可對角化”。也即：

當AB=BA，并滿足A可對角化時，B也可對角化，且A，B有相同的特征向量。這里需要用到的結論有：（1）當A為對角陣，且AB=BA時，B也為對角陣；（2） 存在可逆陣P，使P為對角陣。

（1）當有個互異的特征根時（有的考研題在這里也會設個套，即給出關于的特征多項式的根的特征： （f（λ），f′（λ）=1），顯然A可對角化，其結論有三個：

①A，B有相同的特征向量（其作成的列向量組即為矩陣P）；

②B也可對角化；

③B可表示為的多項式形式。

結論1、2 是A可對角化的兩個結論，第三個需要用到待定系數法，設出形式多項式，通過矩陣的相等，方程組的解結構，行列式的性質等證明。