定理（公式）教學的優秀案例分析

趙紅芳

定理、公式教學在數學教學中占有很重要的地位，而精心的教學設計在課堂教學更是有突出的作用。文章將借助優秀的案例，從三個方面對定理、公式教學設計進行分析。

1.定理（公式）教學在課堂教學的地位

2.定理（公式）教學的幾個基本環節

3.定理（公式）教學的主要環節研究以及每個環節要注意的問題。

新課標中指出：數學作為對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的一門工具學科，不僅是自然科學和技術科學的基礎；也是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。

“素養”比能力的含義更為廣泛，它與能力的不同點表現為：能力既可以是與生俱來的，也可以是后天形成的；素養則是“可教、可學、可測”的，是經后天學習獲得的，它可以通過有意地人為教育加以規劃、設計、培養，是經由課程教學引導學習者賬期習得的。從素質改進為素養，再到現在的核心素養，這在教育理念上來說非常大的進步，同時也為我們的教育指明了方向。

新課標對中學數學教學要求是三維目標，這就是我們進行教學設計的努力方向。如何引導學生運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，我們在教學設計中要認真進行研究。

第一部分：定理（公式）教學在課堂教學的地位

定理教學是數學教學的主要內容，是數學的基礎知識，是運算的主要依據，是證明后繼命題的依據。在解答和論證數學問題時離不開定理公式。定理本身的推證也是傳授數學思想、數學方法，培養數學能力的基本手段，一個定理掌握的好壞，對提高分析和解決數學問題的能力起著至關重要的作用。

傳統的教法是先出示定理公式的內容，接著就介紹定理公式的運用，學生只是被動地接受定理公式，對于定理公式的得來很是突兀，甚至學生都未分清楚定理的條件和結論，更不用說提高學生的推理能力和自我學習能力。

從教育與發展心理學的特點出發，定理與公式教學的基石是探究發現：通過一類具有本質共性的個體解決，抽象概括，得到此類問題一般性條件與解決的基本范式，進而得到基本定理與公式。重視學生數學原理的認知生成、探究過程對發展學生的數學能力具有基本的重要性。

第二部分：定理（公式）教學的幾個基本環節、

一般而言，定理與公式的教學應經過以下幾個環節：

1.中心問題提出；

2.通過典例同類問題，引導學生探究個體解法；

3.把握共性問題本質與解決問題的共性特征，歸納出解決普遍性問題的一般性經驗方法；

4.給出教材定理公式；

5.對定理公式精加工，包括條件、定理中的關鍵詞、邏輯意義以及記憶方法進行深入而細化的分析；

6.結合例題或習題，幫助學生形成應用公式、定理解題的規范性步驟與技能；

7.定理公式的精練；引導學生建立良好的知識結構，深刻把握公式定理背后所蘊含的數學思想方法與一般性策略。

第三部分：定理（公式）教學主要環節研究

定理公式教學在數學課堂教學中有著重要的基礎性的地位，我們在做課堂教學設計的時候必須下足功夫、做足文章，讓定理公式教學達到最好的教學實效。改變原有的教學方式，用新的理念指導教學，做好定理公式教學，以提高學生數學能力為目標。為了真正實現此目標，我從以下三個主要環節進行分析。

1.定理的引入

定理是人們在觀察的基礎上通過比較分析、歸納概括成命題，再加以證明而得到的。因此，在引入定理公式時，我們應該遵循上述的客觀規律，即根據教和學的實際，提出問題，創造情境，引導學生觀察、猜想去發現定理公式。這樣引入不但使學生對定理印象深刻，而且對學生的數學能力培養是極有好處的。同時也體現了教師為主導、學生為主體、訓練為主線的教學思想。具體做法有

以下：

（1）通過實例引入。

案例1：九年級在講“垂徑定理”在引入時，可提出這樣一個實際問題：趙州橋歷史悠久，是世界上現存最早、保存最好的巨大石拱橋。它的主橋是圓弧形，跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m，我還若想知道我主橋拱的半徑是多少，你能幫我設計一個方案并計算嗎？

顯然，學生用舊知識是無法解決。因此。我們必須繼續學習，從而引出“垂徑定理”。

（2）通過模型引入

案例2：七年級講“同位角相等，兩直線平行”的定理時，教師引入時，可設問啟導：平面內兩直線在什么情況下可以平行？顯然用“永不相交”來判定是沒有可操作性的，于是可引導學生制作“三線八角”的模型，并轉動其中一條被截直線，在轉動的過程中發現“同位角相等，兩直線平行”的判定定理。

如圖，三根木條相交成∠1、∠2，固定木條b、c，轉動木條a ， 在木條a的轉動過程中，∠1與∠2的大小關系發生了什么變化？木條a、b的位置關系發生了什么變化？

建構模型：三線八角

（3）通過作圖引入案例：九年級講“經過三點的圓的定理”引入時，教師可這樣教學，過一點可以做無數圓，過兩點可以做無數圓，均讓學生在動手作圖中去體會，圓的確定是由圓心的位置和圓的半徑大小確定的，進而提出作圖要求：過三點能否做圓？若能，可以做幾個？然后指導學生通過畫圖，發現定理：不在同一直線上的三點確定一個圓。

（4）通過計算引入

案例：九年級在講“韋達定理”在引入時，教師可提出問題：已知下列四個一元二次方程以及它們的根，請大家計算每一個方程的根之和、之積，并觀察、思考它們與方程中的系數有什么關系？

方程 根 兩根和

（） 兩根積

（）

2 3 5 6

-3 6 3 -18

-1 -4 -5 4

1 -3 -2 -3

通過計算，用不完全歸納的思想，猜想估計從而引入“韋達

定理”。

2.定理的證明或者驗證

在數學中，定理證明是一種思維形式，它是從題設出發，通過已知的概念或者真命題來判斷被證命題真實性的推理過程，在教學時必須做到以下幾點：

（1）分清定理的條件和結論，尤其是有些定理存在逆定理，更要引導學生分析清楚。

案例：勾股定理：條件是直角三角形。結論是：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

勾股定理逆定理：三角形的三邊滿足兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方。結論是：這個三角形是直角三角形。

很多學生學完這一部分，腦子里留存的東西僅有一個等式：，甚至對代表什么都不理解，這就導致在應用的過程中，稍作變式就又是完全不會。

（2）在定理證明時，教師不能照抄課本上的過程，而應該將定理的證明過程設置成問題，引導學生思考，并拾級而上，讓學生深刻理解證明過程。

案例1：勾股定理

我曾聽過一個剛參加工作的新教師對勾股定理的一個處理：直接給出勾股定理，教給學生如何應用。定理的應用著實是最后的歸結，但定理的證明、驗證過程的中數學思維培養和能力提高卻是完全沒有實現的。

數學教學要培養學生的計算能力、數學論證乃至數學決策等三大能力，而勾股定理教學正是一個恰當的例子。一直以來，勾股定理的教學備受關注，有人稱“勾股定理是教學改革的晴雨表”。從20世紀五六十年代數學課程中的嚴格論證，到后來提倡“量一量、算一算”，再后來“告訴結論，做中學”，到現在的探究式等，勾股定理的教學見證著教改的“春花秋月”。

“量一量、算一算”的探究模式，試圖設置一個動手情景，讓學生在做中學，但這樣測量計算的辦法受到數學測量精確性的制約，又局限于數據的多少限制。實際上，特殊數據成立直接暗示，無異于告訴學生事實。所以此方法科學的探究方法。我們不管如何探究勾股定理，都必須體現“猜想—證明”這種數學思想方法的本原性意義。

回顧自己以前教勾股定理，主要采用歐幾里得的等積變形進行證明。無論是弦圖、還是總統證法，都是采用等面積變形的方式推導出了勾股定理。這種構思巧妙真很令人折服，但技巧性太強，難度太高，與新課程倡導的探究式學習方式不符。所以一直起到更好的探究方式出現。直到我校去年一節數學拓展課《拼圖與勾股定理》。

教學引入時用一段視頻，上?？萍拣^的一個勾股定理立體驗證試驗。

如圖，我們可以看到中間是一個黃色的直角三角形，它分別以直角三角形的三邊為底做了一個底面是正方形的長方體。在這幾個長方體中有藍色的液體。當旋轉這個的時候大家可以看到，兩個小長方體中的液體全部進去大長方體中?？梢哉f明，兩個小長方體的體積之和等于大長方體的體積，而這三個長方體的高是一樣的，因此我們可以得到兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，由此我們驗證了勾股定理。

用流水實驗探究兩個小長方體的體積等于一個大長方體的體積。這個實驗利用水的流動性轉移面積的實驗，巧妙地利用等高條件，將面積關系的比較轉化為體積比較，實驗的直觀性和效果都非常。根據體積與面積的分析，不用數字計算就可驗證勾股定理。這自然也成了本節課新亮點。

（3）要幫助學生總結定理公式的推證方法。在數學教學中，重要的推證方法都是伴隨著定理的證明或者推演例題逐一介紹給學生的。其中有的方法教材中已經給出名稱，例如九年級在將圓內接四邊形判定以后，總結出了反證法，在講一元二次方程解法是就提出了配方法、換元法等等。 這些重要的數學方法，應該幫助學生很好的掌握。還有一些重要的數學思想、數學方法，例如轉化思想、函數思想，輔助線添加等等，在教學中教師應該明確指出，讓學生逐漸體會、掌握。

3.定理的應用

學生利用定理公式解題時，主要問題實在很多情況下不能聯想到有關定理公式，對所需定理共識的基本特征、主要變式不熟悉。建議可以采取以下措施：

（1）在講完定理公式證明后，要對定理公式進行“變式”處理。即改變題目的條件和結論的形式，改變圖形的位置和形狀，對學生進行訓練，可加深學生對定理的理解。

（2）在應用定理公式之前，要對定理公式的應用范圍以及條件結論知己恩的邏輯關系進行明確，從而加深學生對定理的理解。

（3）再講定理應用時，關鍵是要選好例題，例題選取要有代表性，要由易到難，要有滿足條件的正面的例子，也要選一些不適合訂立的反例，對學生進行訓練，客廳搜學生思維的變通性和鑒別能力。

新課標對中學數學教學要求三維目標，這就是我們教學設計的努力方向。引導學生對原理進行積極探究，把握探究過程，才能真正提高他們的思維能力，培養他們對數學的熱愛。教學過程不僅僅是傳授知識的過程，也是學生學習水平提升與認識策略優化的過程，在某種程度上講，教是為了不教，教師為了更好地學。