閔學文
解決橢圓復雜問題時,同學們往往覺得解題過程很繁雜而不愿意去做,如果掌握了橢圓還圓法,將橢圓變成圓,然后利用圓的性質解決這些問題,那么解決橢圓問題的時候就可以找到捷徑.
首先看復旦保送題:在四分之一的橢圓+=1(x>0,y>0)上求一點P,使過點P橢圓的切線與坐標軸圍成的三角形的面積最小.
解析:令=x′=y′,則橢圓方程變換為x′+y′=1.
設橢圓的切線交x軸于B,交y軸于A,則變換為單位圓后分別變為A′,B′,由于仿射不變性,則|OB|=a|OB′|,|OA|=b|OA′|.
S=|OA|·|OB|,S′=|OA′|·|OB′|?圯S=abS′.
在單位圓中,∵OP′⊥A′B′,∴|OA′|·|OB′|=|OP′|·|A′B′|=|A′B′|,
且|A′B′|=.
上面兩式平方可得:|OA′|·|OB′|=|OA′|+|OB′|≥2|OA′|·|OB′|=2.
∴S′≥1,此時面積最小,P′(,).由變換可知P(a,b)為所求.
剛才我們使用了仿射不變性,這是高等數學的性質,在這里我們不去證明,但是我們需要記住以下結論:
1.共點、共線不變(直線和圓錐曲線的位置關系不變),例如:原來相切(交)變換后仍然相切(交);2.坐標成比例變化;
3.斜率成比例變化;k==-·=·k;
4.面積成比例變化;S=abS′;
5.線段成比例變化.(是中點的變化后還是中點)
我們再看一題(06山東文21):已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在X軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形是正方形,兩準線間的距離為4,
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線l過點P(0,2)且與橢圓相交于A,B兩點,當△AOB的面積取得最小值時,求直線l的斜率.
解題分析:(1)容易得橢圓方程為:+y=1;
(2)令=y′=x′,由于仿射不變性,可知P(0,2)變化為P′(0,2).
題目改為求單位圓x′+y′=1過P(0,2)的直線l交圓于兩點A′,B′,△A′OB′面積最大時直線方程.
S=|OA′||OB′|·sinθ=sinθ;
∴當sinθ=1時,即θ=時取得最大,此時轉換成求O點到直線l′的距離為,可設直線l′的方程為:y=k′x′+2,由距離公式可得:
=?圯k′=±,所以根據斜率成比例可得:k=·k′=±,這道題被我們瞬間秒殺.
(2011年重慶理20):如圖,橢圓的中心為原點O,離心率e=,一條準線的方程為x=2.(Ⅰ)求該橢圓的標準方程;
(Ⅱ) 設動點P滿足:=+2 ,其中M,N是橢圓上的點,直線OM與ON的斜率之積為-,問:是否存在兩個定點F,F,使得|PF|+|PF|為定值?若存在,求F,F的坐標;若不存在,說明理由.
解析:容易得知橢圓方程為+=1,x′=y′=,
變化為單位圓后,∵k·k=·k·k=-∴k·k=-1,
容易得到動點P′滿足|OP′|=,即x′+y′=5為其方程,
所以+=1為動點P的軌跡方程,則|PF|+|PF|為定值,
∴F(-,0),F(,0)為所求.
通過此題是想告訴我們出題是根據橢圓還圓法,反向轉化,就將一道弱智的題變成一道巨難的解析幾何難題.同時我們也可知道高考命題的方式、背景,加深對考題真題的認識.
有了對橢圓還圓法全面的認識,那么到底什么時候用?歸納了以下幾種:
1.面積問題;
2.線段成比例問題;
3.斜率成比例問題;
4.變換后成特殊幾何關系.
此種方法確實存在風險,但它能幫助我們快速獲得結果,便于檢查,可以用常規式子寫出過程,用此法得出結果.優秀學生參加自主招生考試時可以隨意使用.