發展幾何直觀能力 提升學生數學素養

林希光

【摘要】幾何直觀能力的培養能夠提升學生的數學素養.在教學過程中，應注重運用幾何直觀進行教學，幫助學生認識數學知識的本質，學會運用幾何直觀來描述問題、分析問題和解決問題，并在這個過程中有意識地發展學生的幾何直觀能力，培養學生的數學思維.

【關鍵詞】小學教學；幾何直觀；能力培養；數學素養

關于小學生數學素養的內涵，國內許多專家給出了不同的詮釋.有的認為是指課程標準中提出的十大核心概念；有的認為它涵蓋了數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等幾大素養；還有的則認為是學生的數學興趣、數學思維、數學意識.無論哪種觀點，都離不開思維、意識.我認為，小學生的數學素養，指的就是學生通過自身學習思考和參與實踐活動獲得數學知識的能力和品質，并能夠運用數學的觀點思考問題，通過數學的方式解決問題.具有數學素養的人，能夠從數量關系的角度來觀察世界，從空間位置的變化去認識世界，會主動將數學視同不可或缺的能力，作為傳遞信息的手段.

幾何直觀能力，包含空間想象力、直觀洞察力，以及用圖形語言來思考問題的能力（也就是我們平時所說的數形結合）.空間想象能力，指的是包含我們識圖、畫圖、制作模型、觀察物體等等；直觀洞察力，是對事物更深層次的思考，包括觀察、分析、對比、推理等等，反映了孩子的學習智慧；數形結合，則是一種數學思想，它能將復雜的問題簡單化、抽象的概念具體化、隱藏的關系外顯化，大大簡化了讀題、解題的過程，達到事半功倍的效果.這三者是一個由低到高逐漸發展的過程.幾何直觀能力的發展，能夠促進孩子思維的發展，提升孩子們的數學素養.

借助幾何直觀開展教學過程，是一個有效的手段.因此，我們在教學中應重視學生幾何直觀能力的培養，幫助孩子們更清晰地理解數學知識的本質，養成用幾何直觀思考問題的思維習慣.

一、用圖形了解圖形

這里所說的“以形助形”，也就是讓學生通過觀察、體會靜態或動態圖形間的區別與聯系，建立表象，揭示圖形間的變化規律及其本質特征.

在執教“周長的認識”一課時，我設計了這樣一道練習：喜羊羊和灰太狼進行跑步比賽，它們要在這樣的跑道上進行比賽（如圖）.

同學們，你們覺得公平嗎？

孩子們乍一聽愣了！部分孩子們馬上提出左圖的周長長，右圖的周長短；另外一部分孩子們覺得應該是一樣長的，卻無法解釋為什么是這樣.

接下來，我把右圖中的兩條線段進行了平移，孩子們馬上就發現這其實是形狀不同而周長相同的兩幅圖形??！通過這樣的動態演示，進而鞏固了孩子們關于周長概念的理解，同時讓孩子們了解到形狀不同，周長也可能相同，對“周長相等”的外延有了新的認識.

接著，讓孩子們繼續判斷，如果改成這樣的兩個跑道？還公平嗎？（如圖）

這兩個圖形通過平移的方式不能得到結果，怎么辦呢？請方格紙來幫忙！有了方格紙，孩子們可以一目了然地數出兩幅圖形的周長分別是12段和14段.方格紙是一種由許多小正方形組成的圖形，也是非常常見的學習工具.用方格紙幫助孩子們再次加深了對“周長是封閉圖形一周的長度”這句話的理解，補充了孩子們對周長的表象建構，也讓孩子們體會到不規則圖形的周長計算，可以用方格紙來進行度量.

像這樣，用方格紙、用動態圖來幫助孩子們理解圖形、發現圖形間的聯系、鞏固幾何概念的本質，不僅拓寬了孩子們解決問題的思路，還增強了孩子們使用數學工具的意識.

二、用圖形詮釋數據

最典型的例子就是數軸.數軸，既是一種幾何圖形，又是一種非常常用的數學工具.在數軸上，每一個數都能找到其相對應的點.這一特點，可以幫助我們進行數的認識、計算、解決問題、找規律等知識的教學.

例如，負數的大小比較及運算時，孩子們比較容易出現錯誤，讓孩子們記住“-”后面的數越大，它的值反而越小，這樣的結論比較抽象.

因此，為了讓孩子們更直觀地判斷負數之間、負數與正數之間地大小，引入了數軸的概念（如圖）.在比較-2與-4的大小時，只要把它們都表示在數軸上后，觀察-4的點在-2點的左邊，根據數軸上“左邊的數<右邊的數”這一特點，很直觀地發現-4﹤-2；在計算-2到+3之間相差多少時，我們可以通過數一數數軸上從-2所對應的點到3所對應的點之間共有5個單位長度，故它們之間相差5.

通過“幾何直觀”，就可以把數的大小比較問題轉化成為尋找幾何圖形前后左右位置關系問題，把求數與數之間相差量的問題轉化為圖形中點與點之間相距的長度問題，原本抽象、乏味的數量問題一下子變得明朗、形象.當孩子們多次利用數軸來解決問題后，再遇到類似的問題，在頭腦中能夠自然而然地想到數軸來建立表象，這樣就達到了我們利用幾何直觀來發展孩子們數學思維，發展數學意識的目的.

三、用圖形表達關系

借助看得見、摸得著的東西幫助學生把復雜的數量關系明了化、清晰化，幾何直觀拓寬了我們解決問題的思路.在利用幾何圖形進行數量關系的描述、發現并解決未知問題上，線段圖起到了功不可沒的作用.

例如，“植樹問題”：在100米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要摘幾棵？為了方便研究，我們先考慮簡單的情況——“在20米的道路兩邊植樹”，要解決這個問題就要考慮到植樹問題的所有情況，利用線段圖，讓孩子們經過討論，描述出三種不同的圖形語言：

對于四年級的孩子們來說，讓它們單純通過文字表述，想象出以上三種結論并不容易.但是，當我們把“道路”抽象成一條線段，把“樹”抽象成線段上的點，“每隔5米栽一棵樹”抽象成“每隔一個單位長度點一個點”，那么借助點與線的組合，我們就能直觀地發現植樹問題的三種情況中棵樹與段數之間的關系，建立起數學模型，有了這樣的模型，孩子們在解決植樹問題時全面思考，思路清晰，大大提高了解決問題的效率.

又如：高年級孩子們做過這樣的一道題目：“王叔叔要買一件上衣和一條褲子，一件上衣600元，一條褲子300元，商場促銷活動，超出400元的部分打八折，王叔叔是分開買還是合著買更便宜，便宜多少錢？”結果發現百分之九十的孩子的方法是：

分著買：（600-400）×80%+400+300=860（元）；

合著買：（600+300-400）×80%+400=800（元）；

860-800=60（元）.

這種方法很好解讀，是我們的一般化的思路.

然而一名同學給出了這樣的算式300×（1-80%）=60（元），這又是什么意思呢？孩子自己也說得不是很清楚，其他孩子們更是聽不明白.這時老師給出了線段圖：

老師一給出線段圖，孩子們立刻就明白了.哦，其實多出來的不就是300元的20%嗎？試想，如果從小就有這種利用幾何直觀解決問題的意識，那么將來在面對解決比較復雜的問題時，孩子們就多了一個幫手，一種工具，通過它對發展自己的空間想象能力、數量關系的理解能力等也都是有好處的.

四、用圖形幫助分析

幾何直觀，不僅僅是指圖形直觀，數學中的運算符號、箭頭、方框等建構起的簡約的符號直觀，它同樣能夠幫助孩子們理解題意，分析問題.

例如，一年級的看圖列式：

另外，在下圖中的問題中，孩子

們通過畫圖，用點子圖來代表人，并找到小麗在第10個，小宇在第15個，那么小麗和小宇之間有多少人？

通過數點子的個數就一目了然了.

當孩子們在面對較復雜的問題時，我們應鼓勵孩子們通過畫圖的方法進行整理，梳理題目中的信息、條件和問題，使孩子們感受到畫圖能清楚地理解題意、分析題意，達到解決問題的目的.

有學者認為：“幾何直觀是數學中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，它在內容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義.”

作為一線老師，我們應該充分利用幾何直觀向孩子們解釋研究對象的性質和關系，使孩子們認識幾何直觀在數學學習中的意義和作用，學會用幾何直觀來思考和分析問題，拓展數學思維，增強數學意識，提升數學素養.