一道課本例題引發的反思與變式

黃淑珍

世界著名數學家、數學教育大師荷蘭的弗賴登塔爾教授精辟指出：“反思是數學思維活動的核心和動力”，“通過反思才能使（學生）的現實世界數學化”?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準》中指出：“教師應注意提高學生的數學思維能力，學生在學習數學和運用數學解決問題時，要不斷地運用直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表現、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與構建等思維過程?！闭n標還指出，評價應關注學生是否能夠對自己的數學學習過程不斷進行反思，能夠及時有效地調整學習方法。在此基礎上教師要合理地利用教材，根據學生的實際情況進行教材整合，使學生在學習過程中能夠獨立自主地進行觀察、猜想、實驗、推理、反思。教師要給學生創設探究的空間。由此可見，提高學生的數學反思能力是高中數學教學的重要目標。

著名教育學家顧泠沅先生有一句樸素而富有哲理的名言：“聽懂的東西做出來，做出來的東西說出來?！痹跀祵W教學中如何才能完成顧先生所提出的“聽懂—做出—說出”的過程呢？顧泠沅教授提出了變式過程模式，它是實施課堂有效教學的有效手段。在新課程背景下數學變式問題設計的實踐與研究，應是課堂有效教學的策略和方法的優先選項。

變式教學是廣大教師在課堂實踐中經常使用的教學方式之一，變式、反思這兩個詞對于學生來說并不陌生，但要做到在數學學習過程中學生能自覺反思、主動變式，還需要教師來培養。我通過長期實踐，探究如何引導學生進行反思、變式，使學生逐步獲取核心要素，形成反思能力，把握概念、原理、性質、問題的本質，促進數學思維品質的提高。我以一道課本例題為例，談談我在實踐中的操作模式。

人教版A版教材選修1-1中2.3《拋物線定義及其幾何性質》課本61頁例4：斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長。

結合橢圓、雙曲線時處理弦長問題的方法，引導學生一題多解，得到：

解法1：直接聯立方程，解出兩根，兩點坐標，用兩點距離公式求解；

解法2：聯立方程，得到一元二次方程，用弦長公式求解；

解法3：聯立方程，得到一元二次方程，應用拋物線定義AB=x1+x2+p求解。

通過一題多解，讓學生體會到應用定義的幾何法的簡便，引導學生反思：為什么可以應用拋物線的定義。拋物線焦點弦這個公式能通用嗎？關注弦長、坐標變化，可以拓展得到第一系列的

變式。

變式1：經過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F任作一條直線l與拋物線交于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點，則AB=x1+x2+p。

變式2：x1x2=，y1y2=-p2

變式3：焦點弦的兩個焦半徑的關系+=；

變式4：以AB為直徑的圓與準線相切；

變式5：以AF及BF為直徑的圓與y軸相切；

變式6：分別作AA1垂直準線于點A1，BB1垂直準線于點B1，則∠A1FB1=90°；

變式7：BC∥x軸，則直線AC經過點O；反之，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，直線DB平行于拋物線的對稱軸。

變式8：過拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直；

變式9：拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的

軌跡；

變式10：直線AB過點M（a，0），D在直線x=-a上且A，O，D三點共線，BC∥x軸，這三個條件中，以任兩個為條件，就能推導出第三個。

借助書本例題，我們通過反思、變式、拓展，解決了“拋物線的焦點弦問題”，同時我們可以繼續改編課本例題，引導學生解決“拋物線的最值問題”，得到第二系列的變式，如：

已知P為拋物線y2=4x上一個動點，F是拋物線的焦點。

變式1：求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值；

變式2：若B（3，2），求PB+PF的最小值；

變式3：已知P為拋物線y2=2px（p>0）上一個動點，F是拋物線的焦點，B（3，2）為拋物線內一定點，PB+PF的最小值為4，求拋物線方程；

變式4：則點P到直線x-y+3=0的距離的最小值為 ，點P的坐標為 ；

變式5：點P到直線l1∶x-y+3=0的距離為d1，點P到直線l2 x=

-1的距離為d2，則d1+d2的最小值是 ；其中準線也可以換成平行于準線的其他直線；

變式6：已知x，y實數滿足方程y2=4x，則函數z=的最值是多少？

變式7：點（x，y）在拋物線y2=4x上運動，求函數z=x-y的

最值。

變式8：已知P為拋物線y2=4x上一個動點，F是拋物線的焦點，A（-1，0）是一個定點，則的最小值是 ；

變式9：Q為圓x2+（y-4）2=1上的一個動點，則點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值是 ；

變式10：已知定長為5的線段AB的兩端點在拋物線上移動，則AB的中點M到y軸的最短距離是 ；

變式11：已知定長為5的線段AB的兩端點在拋物線上移動，求AB的中點M的軌跡方程。

變式12：已知定長為3的線段AB的兩端點在拋物線上移動，求AB的中點M的軌跡方程。

變式13：直線y=x+b被拋物線y2=4x截得的線段長為5，求直線方程；

變式14：求直線y=x+b被拋物線y2=4x截得的線段中點的軌跡方程；

變式15：拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，準線為l，A、B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°，設線段AB的中點M在l上的投影為N，則的最大值是 ；

變式16：已知P為拋物線y2=4x上一個動點，A（-2，0），

B（-4，0），求·取得最小值時點P的坐標；點Q（a，0）都滿足PQ≥a，則a的最大值為 ；

綜合以上變式，我們形成了數學命題系，構建了知識網絡：如何應用“將軍飲馬問題”解決直線、橢圓、雙曲線、拋物線的最值問題，圓錐曲線最值問題有哪些類型和解法。

對于課本例題，可以引導學生從以下方面反思：（1）原題解法；（2）一題多解；（3）特殊性質到一般規律；（4）改變題目條件；（5）變換數學語言；（6）題設與結論互換；（7）融合知識點變換題型；（8）類型題變式，多題通法。

每一步的反思聯想，都會有新的變式，每一次解決新的變式，我們應該有進一步的反思。反思、變式就這樣交替出現，問題引領，激發學習興趣，這樣的課堂就是一個無限延展無限發散的舞臺，學生的反思能力得到進一步的提升，進而思維品質也得到

發展。

著名的數學教育家波利亞曾形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！弊兪浇虒W培養高中生數學反思能力，就是一題多用，一題多變，多題重組，借題發揮，讓學生理解新知把握本質，主動反思主動變式，主動聯想主動發現，使知識點融會貫通，從一個例題引出一系列問題，提高課堂效率，讓學生思維得到充分的鍛煉和發展。

參考文獻：

[1]紀宏偉.例習題教學中的變式教學[J].數學教學研究，2014（5）.

[2]楊光明.變式教學：提高數學課堂有效性的嘗試.中學數學參考，2009.

編輯 趙 強