談解析幾何解答題運算的張弛

萬小梅

摘要：解析幾何解答題的特點是思路往往明晰、計算充斥繁復，“會而不對、對而不全”是學生的一貫狀態。數學想拿高分，此題是必須要攻克的堡壘，故學生對其是又愛又恨。本文嘗試從面對的心理、訓練的方法、計算的技巧等幾個層面進行剖析，以期實現破局。

關鍵詞：張弛；保三爭二；心理預期；強化訓練；等量代換；算理；架構

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0100

自從浙江省高考數學試卷的解答題從六道縮減成五道后，我們一直倡導的答題策略是“保三爭二”：要確保前三個解答題必須全對，后兩題一定要達到溫飽線，爭取到達小康線。而解析幾何位列第四題，是屬于爭取的范疇。

豈料，2015年浙江省高考數學試卷卻放了一支冷箭：第三大題變成了二次函數加絕對值問題。這是一種新的題型，當年全?。酥寥珖└鞯剡@么多聯考、高考試卷里都沒有出現此類題目，是陌生題，學生做得差實屬正常。即便從去年下半年開始到現在，我們不斷地進行強化，但因其可變性實在是大，學生很難掌控，訓練效果仍然不令人滿意。

相較而言，第四題的解析幾何題，程序化強，操控性好，于是我們便把目光聚焦到了這里。那么，把第四題作為“保三”題之一，是否真的就可以放心了呢？絕對不是！選擇它純屬無奈，僅僅是因為與第三題比，它的解題思路更容易發現而已?？墒?，學生做解析幾何題，有一個致命軟肋——運算能力差。

平面解析幾何是解析化的平面幾何，即用坐標的方式來研究和解決平面幾何問題。盡管仍屬幾何，但更突出了純代數運算，并且大都是字母的運算?？v觀歷年全國各地高考、聯考試卷中的解析幾何大題，運算量都不小，“越算越繁”是其標簽，“會而不對”是其常態，“對而不全”是其結局。

尤其是近幾年的浙江卷，繁復程度不一般，成為學生做之不易、丟之不舍的一個大題，真是“看上去很美，想說愛你不容易”。請看2015年的考題：

【示例】（2015·浙江·理19）已知橢圓■+y2=1上兩個不同的點A、B關于直線y=mx+■對稱。

（1）求實數m的取值范圍；

（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標原點）。

解：（1）由題意知m≠0，可設直線AB的方程為y=-■x+b.

由■+y2=1y=-■x+b，消去y，得（■+■）x2-■x+b2-1=0

∵直線與橢圓有兩個不同的交點，∴Δ=-2b2+2+■≥0 ①

將AB中點M（■，■）代入直線方程y=mx+■，得b=-■ ②

由①②得：m<-■或m>■

（2）由（1）得x1+x2=■，x1x2=■，令t=■∈（-■，0）∪（0，■），

則AB=■x1-x2=■■=■·■，且O到直線AB的距離為d=■.

設△AOB的面積為S（t），則S（t）=■AB·d=■■+2≤■，當且僅當t2=■時，等號成立.

故△AOB面積的最大值為■.

上述解題過程中，如果不把■換元成t，運算將更繁瑣；并且已經作了一定量的刪減，倘若原原本本寫出來，篇幅會更長。

面對這種無從改變、無法左右的殘酷現實，我們應該怎么做呢？

首先，要讓學生有客觀正確的心理預期。

平時教學中，要不斷宣傳與灌輸這種思想：解析幾何大題就是考查運算能力的，所以運算復雜是肯定的，運算量大是肯定的。改變能夠改變的，適應無法改變的，在心里真正接受這個事實，而不是排斥和抗拒它?？偸钦f“太繁了”“繁死了”，這種消極的心理暗示，不僅于事無補，還會適得其反。相反，應該讓學生養成“遇繁則繁，我不怕繁”的良好心態，去面對解析幾何大題。

其次，要對學生進行有針對性的運算訓練。

學生的運算能力，不是我們嘴巴講講就能提高的，也不是他們看看板書就能提高的，是需要他們自己一題一題、一天一天訓練出來的。所以，無論是上課的例子，還是課后的作業，除了運算量一般的題目外，一定還要選擇部分運算特別復雜的題給他們做，做到煩了也得做，做到吐了也得做。只有草稿紙一張一張用去，運算能力才會一點一點提升，別無他法，沒有捷徑。

同時要經常給學生講講解析幾何題的評分標準，使他們明了聯考、高考應該怎樣去有效得分。這樣做，有利于促進他們書寫的規范，更能激發他們運算下去的興趣、勇氣和動力。

再次，要教給學生一些常用的運算技巧。

眾所周知，所有的運算都是有“算理”的。不是說自己擁有強大的運算能力，就每個題目都去做繁雜的運算。硬碰硬，這不是上策?？傆羞@樣的題目，使用一些運算技巧后，解題過程會變得靈動無比。所以，我們要靈活對待，刪去繁復，留下清簡，裁去冗長，留下素淡，雖篇幅不長，卻生動傳神，讓學生看了，不能相忘。比如：

1. 熟記一些特殊的結論

【例1】已知橢圓C1：■+■=1（a>0）與拋物線C2：y2=2ax相交于A、B兩點，且兩曲線的焦點F重合。

（1）求C1、C2的方程；

（2）若過焦點F的直線l與橢圓分別交于M、Q兩點，與拋物線分別交于P、N兩點，是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使■=2？若存在，求出k的值。

略解：（2）由y2=4xy=k（x-1）得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，x1+x4=■，

x1+x4=1，∴PN=■·■=■.

由■+■=1y=k（x-1），得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，則x2+x3=■，

x2+x3=■，∴MQ=■·■=■。

若■=2，則■=2×■，解得k=±■。

【評注】這是一道隨堂練，比較基礎，學生都會做。以上是大部分學生采用的解法。我們知道：弦長公式的使用是導致解析幾何題運算量增加的一個主因，而上面的解答竟然還用了兩次弦長公式，肯定不是最優的解法。那么，應該怎樣簡化計算呢？由題意可知，兩條弦都是焦點弦，是較為特殊的弦，直接利用焦點弦的長度計算公式：PN=x1+x2+p、MQ=3a+e（x1+x2）。這樣求解，關于弦長的代數式中既沒有根號，也沒有二次，明顯要簡潔明快得多。在平時的教學中，有意識地指導學生多記憶一些教材中沒有出現，卻很實用的公式和結論，用于解題，提高效率。

2. 使用一些重要的計算方法

【例2】已知橢圓C的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為■且經過點（1，■）。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）線段PQ是橢圓過點F2的弦，且■=λ■，求△PF1Q內切圓面積最大時實數λ的值。

略解：（2）將直線的方程代入橢圓方程得：

（3m2+4）y2+6my-9=0，y1+y2=■，y1y2=■。

∴S△=y1-y2=■=■，令■=t（t≥1），

則S△=■=■∈（0，3]，當t=1，即m=0時取到最大.

設△PF1Q內切圓半徑為r，則S△PF1Q=■（PF1+QF1+PQ1）·r=4r≤3

即rmax=■，此時直線PQ與x軸垂直，∴■=λ■，∴λ=1。

【評注】此題頗具難度，當時是選作課內的例題。①題中的內切圓方程是無法求出來的，要計算內切圓面積的最大值，勢必得轉化為求△PF1Q面積的最大值；②如果用底乘高來求PF1Q的面積，需要用到弦長公式、點線距公式，不如用分割法巧妙；③倘若直線PQ的方程設為點斜式，則應分斜率存在、斜率不存在兩種情況進行討論，現在設成x=my+1，可有效避免分類討論；④△PF1Q面積表示式是比較繁的，直接求最大值無疑困難重重，通過換元，整個架構變得清晰起來：是一個“耐克函數”，求最大值就輕而易舉了。

上述求解，集眾多重要的思想方法于一身，才使解題過程如此簡潔完美，否則或無從下手，或解不出來，都將功虧一簣。

3. 進行一些等量代換

【例3】拋物線C：y2=2px的焦點為F，拋物線上一定點Q（1，2）。

（1）求拋物線C的方程及準線l的方程；

（2）過焦點F的直線（不過點Q）與拋物線交于A、B兩點，與準線l交于點M，記QA、QB、QM的斜率分別為k1、k2、k3，問是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3成立。若存在λ，求出λ的值。

【分析】（2）可知M（-1，-2k），Q（1，2），

∴k3=■=k+1.又k1=■，k2=■，

∴k1+k2=■+■=■

上式的分母已經可以直接用韋達定理代入了，分子則不行，其中的每一個都要用y1=k（x1+1）代入，再展開，整理成x1+x2、x1x2后，再用韋達定理?？吹竭@里，你還有繼續算下去的勇敢的心嗎？你還有繼續算下去的毅力和能力嗎？無怪乎當時上交的作業中，有些學生的計算就到此為止了?，F在讓我們轉換一下思維，請看：

k1+k2=■+■=■+■-■

=2k-■=2k+2

∴存在常數λ=2，使得k1+k2=λk3成立.

首先對兩個分式同時實施“分離常數”，再利用四點共線時斜率兩兩相等進行等量代換，輕松消去yi，只剩下xi，計算就簡便許多。

誠然，計算的技巧遠不只此，限于篇幅，不作一一贅述。

總之，筆者愿通過這篇拙文，與大家一起探討、交流，試圖解決學生在解析幾何題上以怎樣的心態面對，以怎樣的方式訓練，以怎樣的方法簡化。多管齊下，遇繁則繁，能簡則簡，兩手都要抓，兩手都要硬，使解析幾何題能夠成為學生穩穩拿高分，甚至拿滿分的一道大題，為數學考出高分奠定扎實的基礎。

倘若真能如此，足矣。

（作者單位：浙江省金華市磐安中學 322300）