基于平方根無跡卡爾曼濾波算法的電動汽車質心側偏角估計

田彥濤,張 宇,王曉玉,陳 華

(1.吉林大學 通信工程學院，長春 130022；2.吉林大學 工程仿生教育部重點實驗室，長春 130022)

0 引 言

對于汽車安全系統而言，在轉向行駛時容易產生過度轉向、車輛發生側滑的情況，嚴重時危害人身安全，因此需要對電動汽車側向穩定性進行研究[1]。而對車輛側向運動狀態的實時、準確估計是車輛側向穩定性控制系統研究的基礎[2]。其中，橫擺角速率和車輛側偏角是兩個非常重要的參數，可以通過調整兩者來控制車輛側向行駛狀態。橫擺角速率可以由角速度傳感器(陀螺儀)直接測量得到；側偏剛度能夠反映輪胎和路面條件，對車輛操縱穩定性和安全性有直接影響，但是輪胎側偏剛度和車輛側偏角由于技術和經濟原因無法直接測量。因此，找到一種可以實時獲取車輛重要信息的、經濟且精確的方法，成為底盤控制的一個重要問題。

Piyabongkarn等[3]提出了一種使用廉價傳感器實時估計側偏角的算法，用于車輛的橫擺穩定控制，該算法結合模型估計和運動學理論，可以補償存在的道路傾斜角度和輪胎特性的變化。Doumiati等[4]提出了一種動態建模和觀察的方法來估計側向力和側偏角，為了解決系統的非線性和未建模動態，設計了擴展和無跡卡爾曼濾波觀測器。Nguyen等[5]提出了一種基于卡爾曼濾波側偏角估計的電動汽車新電子穩定控制系統，通過將組合模型誤差和外部干擾作為擴展的卡爾曼濾波算法,實現了側偏角的準確估計，同時提高了控制系統的魯棒性。宗長富等[6]采用了擴展卡爾曼濾波進行估計，但是其計算復雜，在實際控制系統的應用中會受到一定限制。郭洪艷等[7]提出了基于車輛質心側偏角估計的非線性全維觀測器設計方法。武冬梅等[8]將二自由度車輛模型簡化為以側向速度為狀態的線性估計模型,用于電動汽車質心側偏角的估計。劉飛等[9]利用直接積分法，對比了基于擴展卡爾曼濾波的質心側偏角估計算法與基于廣義龍貝格觀測器的質心側偏角估計算法的特點。

電動汽車的質心側偏角對車輛穩定性控制起著重要作用。而現有的車輛質心側偏角估計算法存在有實時性不強或精度不夠等問題，不能適應各種路面條件。本文提出使用平方根無跡卡爾曼濾波(Square-root unscented Kalman filter,SR-UKF)算法對車輛側偏角進行實時估計，并使用遞推最小二乘法對輪胎側偏剛度進行估計，這種方法考慮了不同道路的實際情況，具有更好的實時性和魯棒性。

1 車輛動力學建模

在不考慮車身的俯仰和側傾運動時，描述車身在平面內運動的方程有3個：縱向運動方程、側向運動方程和橫擺運動方程[10]。將車輛視為質量集中在重心的質量塊，質心處為坐標原點。

1.1 車身動力學模型

本文車輛側向動力學模型只考慮車輛的橫擺平面，將車輛的直接橫擺力矩作為一個輸入變量。直接橫擺力矩是由于作用于每個車輪的電磁力矩的不同而產生的。車輛橫擺平面的側向動力學模型如圖1所示。

圖1 車輛橫擺平面四輪模型Fig.1 Four-wheel model of vehicle′s yaw plane

根據橫擺平面四輪模型，得到車輛側向動力學模型和基于質心的橫擺力矩平衡方程分別為：

(1)

(2)

(3)

為了設計的簡化，在對模型精確度影響不大的前提下可以將四輪模型簡化為自行車模型,車輛的側向和橫擺動力學方程可分別簡化為：

(4)

(5)

當輪胎的側偏角比較小時，輪胎的側向力與輪胎的側偏角近似成線性關系，如下所示：

(6)

式中：Cf、Cr分別為前輪和后輪側向力與輪胎側偏角線性關系的比例系數。

當轉向角非常小時(cosδ≈1)，根據式(4)～(6)可以近似得到以下狀態方程：

(7)

式中：x=[β,γ]T；u=[δ,Mz]T；y=γ；

1.2 輪胎模型

輪胎模型的力學特性和結構參數決定了汽車的主要性能，因此若要建立精準的整車動力學模型必須首先建立與之相匹配精確的輪胎模型。本文采用由Pacejka等[11]提出的魔術公式，在CarSim中有相應的動力學模型，其一般形式如下：

(8)

式中：Y(x)為輸出變量，一般是縱向力Fx或側向力Fy或回正力矩Mz；X為輸入變量，一般是滑移率s或側偏角α；θD為剛度因子；θC為形狀因子；θB為峰值因子；θE為曲率因子；Sh、Sv分別為水平和垂直偏移。

2 側偏角觀測器設計

穩定性系統需要車輛狀態信息，其中，車輛側偏角是一個非常重要的參數，可用于控制系統設計。本文不考慮路面的傾角、車身翻滾運動和懸架的偏轉等因素，設計了平方根無跡卡爾曼濾波算法來估計車輛側偏角。

2.1 側向動力學狀態方程

電動汽車側向行駛時,系統的非線性隨機狀態方程為：

(9)

式中：ω(t)為過程噪聲；υ(t)為測量噪聲。

(10)

橫擺角速率和前、后輪側向力組成觀測向量y,如下所示：

(11)

輸入向量u由轉向角、前后輪的驅動力組成：

(12)

將狀態方程(9)中的過程噪聲和測量噪聲假設為不相關的白色噪聲，那么系統的非線性狀態方程f(x(t),u(t))和觀測方程h(x(t))分別為：

f(x(t),u(t))=

(13)

(14)

2.2 平方根無跡卡爾曼濾波算法設計

在非線性的簡化車輛動力學模型基礎上，本文使用無跡卡爾曼濾波器(UKF)進行狀態估計。但在實際應用中，UKF算法由于噪聲和計算誤差會出現協方差矩陣非正定的問題，本文應用平方根無跡卡爾曼濾波(SR-UKF)來提高數值的穩定性，保證狀態協方差矩陣半正定性，進而估計車輛側偏角[12,13]。

為了能在計算機上實現，本文采用歐拉近似理論將其離散化為如下形式：

(15)

式中：狀態變量xk∈Rn；輸入變量uk∈Rr；k時刻的輸出變量yk∈Rm。

SR-UKF算法步驟如下所示。

(1)初始化。在UKF的基礎上，通過喬里斯基(Cholesky)分解后的矩陣平方根計算狀態協方差：

(16)

式中：協方差平方根有“-”標志的是下三角矩陣，沒有的是上三角矩陣；chol(·)為喬里斯基分解。

(2)Sigma點的選擇計算和時間更新。主要包括如下兩步：

Step1 非線性狀態方程的預測和狀態協方差矩陣平方根的計算：

(17)

式中：cholupdate(·)為喬里斯基分解的更新函數；qr(·)為QR分解函數；Q為過程噪聲協方差矩陣。

Step2 Sigma點的更新傳播和非線性觀測方程的進一步預測：

(18)

式中：相關權重因子如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：R為測量噪聲協方差矩陣。

本文選擇Q和R為對角矩陣形式，協方差的過程和測量噪聲矩陣如下：

(23)

本文中應用的簡化車輛動力學模型是精確可靠的，所以過程噪聲設置得相對較小。

3 輪胎側偏剛度估計

側偏剛度是一個隨輪胎側偏角和路面摩擦變化而變化的重要參數，可以利用在線估計的側偏剛度來改善主動轉向系統性能。本文利用上述側偏角信息，采用最小二乘法[14]估計輪胎側偏剛度。

3.1 輪胎側向力模型

輪胎側向力在車輛動力學中起著重要作用。當輪胎側偏角出現時，在接觸路徑側向力將施加于輪胎上[15]。當輪胎側滑角很小時，側向力與輪胎側偏角和側偏剛度成正比：

Fy=C0β

(24)

式中：Fy為輪胎側向力；C0為輪胎側偏剛度。

假設左、右側輪胎側偏剛度相同，則左側和右側的側向力結合可以近似表示為：

(25)

3.2 輪胎側偏剛度估計

定義兩個虛擬參數為：

X1=Cf,X2=Cr

(26)

建立如下的一個線性回歸方程：

y(t)=φT(t)X(t)

(27)

式中：y(t)、φT(t)分別為測量輸出和輸入數據向量；X(t)為待估計的參數向量，其表達式分別為：

(28)

本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法估計輪胎的側偏剛度，算法過程如下：

(29)

(30)

實際中，輪胎側偏剛度在確定的路面條件下，是在一定范圍內的。本文限定Cf∈(Cf,min,Cf,max),Cr∈(Cr,min,Cr,max)。在轉向角近似為零時，所得的試驗數據也近似為零，此時估計值將變得不確定。所以在轉向角很小時，設置遞歸最小二乘法的數據不更新。

4 仿真試驗結果及分析

為了驗證本文所提出估計算法的有效性，選擇專業的汽車仿真軟件CarSim和Simulink進行聯合仿真試驗。將CarSim車輛模型中輸出的變量作為實際參考值，與采用SR-UKF估計算法得到的車輛側偏角估計值和遺忘因子最小二乘法估計得到的輪胎側偏剛度估計值進行比較。但由于CarSim車輛模型中輸出的變量不包含輪胎側偏剛度數據變量，所以本文利用已知的輪胎側向力和車輛側偏角信息將其計算出來，作為實際參考值進行對比。

本文設定CarSim車輛模型中汽車參數如表1所示。

在CarSim的測試規范模塊設置車輛參數和仿真條件。車輛以80 km/h的初速度行駛，方向盤輸入轉向角設置為正弦信號輸入，其周期為4 s、振幅為60°。本文假設汽車分別在路面附著系數為0.9和0.4的路面上行駛，進行仿真試驗，得到在不同路面條件下車輛狀態信息、車輛側偏角和輪胎側偏剛度的估計結果圖。

表1 電動汽車參數Table 1 Parameters of electric vehicle

圖2 μ=0.9時的車輛側偏角與輪胎側偏剛度估計結果Fig.2 Eestimation results of side-slip angle and cornering stiffness of tire when μ=0.9

圖2為μ=0.9時的車輛側向運動相關狀態估計結果。從圖2中可以看到：轉向角正弦輸入在2～6 s期間起作用，圖2(a)為在路面附著系數為0.9時的側向加速度、橫擺角速率和輸出轉向角隨輸入的正弦信號的變化趨勢和狀態。從圖2(b)中可以看出：在正弦信號輸入狀態下，本文所設計的平方根無跡卡爾曼觀測器(SR-UKF)可以準確、有效地估計出車輛側偏角的變化，估計誤差很小，它的準確估計為下文的控制設計和分析提供了有效的車輛狀態信息。

圖2(c)(d)分別為車輛的前、后輪側偏剛度的估計值與真實值對比圖，可以看出：本文采用的遺忘因子遞推最小二乘法有很好的實時性，前、后輪側偏剛度的估計值能夠較好地跟隨真實值的變化；前、后輪的側偏剛度真實值在轉向角為零或在零附近時，產生劇烈的震蕩，因為真實值是通過輸出的已知量計算得到的，可能是在該時刻輪胎側偏角非常小(近似為零)，導致輪胎側偏剛度突變增大。這種突變對控制系統有一定的影響，所以在轉向角很小或在零附近時，遞歸算法不進行數據的更新，從而消除轉向角很小時，前、后輪側偏剛度產生的劇烈震蕩。

圖3 μ=0.4時的車輛側偏角與輪胎側偏剛度估計結果Fig.3 Eestimation results of side-slip angle and correring stiffness of tire when μ=0.4

圖3為μ=0.4時的車輛側向運動相關狀態估計結果。圖3(a)為路面附著系數為0.4時的側向加速度、橫擺角速率和輸出轉向角的隨著輸入的正弦信號的變化趨勢和狀態。從圖3(b)中可以看出：此時的質心側偏角的估計值也能很好地跟隨真實值的變化，具有較好的實時性，相對于路面條件良好時，側偏角的值相對增大了一些，但是估計的準確度依然很好，誤差較??；圖3(c)(d)分別為車輛前、后輪側偏剛度的估計值與真實值的對比效果圖，可以看出：圖中前、后輪側偏剛度的估計值也能夠實時跟隨真實值變化。

圖4為不同路面條件下的側偏角估計誤差。從圖4可以看出：在不同路面條件下，本文所設計的狀態觀測器都能很好地估計車輛側偏角，估計誤差都很小，能為穩定性控制提供可靠的車輛狀態信息。

圖4 側偏角估計誤差Fig.4 Estimation error of side-slip angle

5 結束語

本文提出采用平方根無跡卡爾曼濾波(SR-UKF)觀測器對車輛側偏角進行實時估計。利用估計到的側偏角，使用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對輪胎側偏剛度進行估計。最后，通過Simulink仿真試驗和CarSim聯合仿真試驗驗證了本文估計方法的有效性。結果表明：在不同路面條件下，本文方法獲得的估計值能夠實時地跟隨實際值的變化，能夠達到控制系統設計的要求。本文研究對于后期電動車側向穩定性控制的深入研究具有重要意義。

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