淺談研究電源最大輸出功率的幾種方法

邢占樂 谷樹亞

(河北蠡縣中學 河北 保定 071400)

張春梅

(蠡縣大百尺中學 河北 保定 071400)

在學習高中直流電路的知識時，對閉合電路中電源最大輸出功率與負載的關系的分析研究過程，可以從不同角度展開，巧妙地用物理規律公式結合數學函數關系，采用圖像法推導出電源最大輸出功率的條件 .

1 基本的電學規律和概念

1.1 閉合電路歐姆定律

(1)內容：閉合電路中的電流強度跟電源的電動勢成正比，跟整個電路的總電阻成反比.

1.2 閉合電路中各部分的電功率

如圖1所示，整個閉合電路包括內電路和外電路，內電路是指電源內部的電路部分，包括內電阻，而外電路是指電源兩極之外的電路部分，包括負載電阻和其他外部電阻.

圖1 閉合電路歐姆定律電路圖

整個電路消耗的功率叫總功率P總，電源的內阻消耗的功率叫內功率P內，電源外部的負載電阻消耗的功率叫電源輸出功率P出.分別對應的表達式如下：

(1)電源的總功率

P總=IE

(2)內電阻內耗功率

P內=I2r

(3)負載電阻的功率

P出=P總-P內=IE-I2r=IU=I2R

電源輸出的最大功率是我們所要討論的內容，影響電路中各部分消耗功率的關鍵因素是外電阻變化、電路電流變化、路端電壓變化.

2 分析過程和方法

設定當外電阻為純電阻電路時，電源電動勢為E,內電阻為r,路端電壓為U，外電阻為R.如圖1所示，研究分析如下.

2.1 電源的輸出功率隨外電阻變化的討論

(1)配完全平方法

負載電阻R的功率

P出=I2R

(1)

據閉合電路歐姆定律

(2)

由式(1)、(2)聯立解得

(3)

從式(3)可以直接看出，當R=r時，P出取得最大值，最大值為

由式(3)還可以繪制P出-R圖線，如圖2所示.

圖2 P出-R圖線

可以從圖像中直觀看出，電源的輸出功率隨外電路電阻的變化而變化，P出的數值隨負載電阻R數值的變化并不是單調的，只有當R=r時，P出取得最大值；當0r時，P出單調遞減，P出的數值隨著R的增加而減小,進而可以直接討論分析一些電源輸出功率大小情況的相關問題.

(2)配構對勾函數法

同上由式(1)、(2)聯立解得負載電阻R的功率

(4)

式(4)的分母可以按對勾函數進行處理，令式(4)中

存在最大值，最大值為

2.2 電源的輸出功率隨電路中電流變化的討論

(1)構建P-I函數求極值法

據閉合電路中功率關系

P出=P總-P內=IE-I2r

因電源的電動勢和內阻為定值，P出隨電流I的變化而變，可以繪制P出-I二次函數圖線 ，如圖3所示.

圖3 P-I圖線

通過分析電流的變化可以推出當R=r時，電源輸出最大功率為

2.3 電源的輸出功率隨路端電壓變化的討論

(1)構建P-U函數求極值法

負載電阻R的功率

P出=UI

(5)

將式(2)變形為

(6)

由式(5)、(6)聯立解得輸出功率表達式

推得

因電源的電動勢和內阻為定值，P出隨電壓U的變化而變，可以繪制P出-U二次函數圖線，如圖4所示.

圖4 P出-U圖線

2.4 電源的輸出功率從U-I圖像中討論

據閉合電路歐姆定律，可知路端電壓與電路電流的關系為

U=E-Ir

(7)

繪制U-I圖像如圖5所示.

圖5 U-I圖線

負載電阻的電功率

P出=IU

(8)

由式(7)、(8)可知，當電路電流為I1,電路電壓為U1，負載電阻電功率為P1=I1U1，如圖6所示，可以看出矩形陰影面積表示負載電功率的大小,坐標點(I1,U1)與原點連線斜率表示負載電阻大小，此時負載阻值為

圖6 當電流為I1時，U-I圖像各部分的物理意義

當電路電流為I2,電路電壓為U2，負載電阻電功率為P2=I2U2，如圖7所示,可以看出矩形陰影面積表示負載電功率的大小,坐標點(I2,U2)與原點連線斜率表示負載電阻大小，此時負載阻值為

圖7 當電流為I2時，U-I圖像各部分的物理意義

圖8 矩形面積最大時所對應的各物理量

通過分析U-I圖像里的矩形面積變化可以推出當R=r時，電源輸出最大功率為

3 結束語

通過上述幾種利用數學思想方法的探討分析，我們能夠輕松求得電源最大輸出功率的條件及最值，進而方便直接、快捷解決相關直流電路的物理問題，并深知數學知識在解決物理問題方面有著重要的作用.其實很多物理規律都是通過數學建模歸納推導的，希望大家在學習物理的過程中牢牢樹立用數學知識解決物理問題的思維和意識，這是學好物理的前提.