翟 爽
(北京市日壇中學 北京 100020)
在地面參考系中,多個質點相互作用時的運動規律是比較復雜的.例如:對于不同條件下的兩體碰撞問題,我們需要對碰撞前后的動量和機械能進行分析,通過復雜的計算來判斷碰撞前后物體運動的變化情況.本文從質心系中看問題,發現兩體碰撞前后,物體的速度及動量變化遵循非常簡單的規律.
如圖1所示,空間有兩個質點1和2.根據牛頓第二定律和牛頓第三定律知:在不受其他外力情況下,兩個物體相互作用時,普遍遵循如下的方程
(1)
(2)
圖1 空間兩質點相互作用
將式(1)和式(2)相加得
(3)
上式可以變形為
(4)
如果把這個方程看作是某個質點的運動方程,并稱這個特殊的質點為質心,如圖2中的c,則這個質點的質量mc和位置rc分別為
mc=m1+m2
(5)
(6)
即質心的質量為兩個質點的質量之和,質心的位置為兩個質點的“平均位置”.
圖2 引入質心
若m1=m2,則
質心在兩質點正中間;當m1>m2時, 質心的位置離質點1比較近,當m1 把兩個質點看成一個整體,當這個質點組不受外力,只有兩個質點之間的內力相互作用時,無論是碰撞前、碰撞后或者是碰撞的過程中,式(4)恒成立.即無論兩個質點之間碰撞的內力多么復雜,質心總是保持靜止或者勻速直線運動狀態. 質點1相對于質心c的位置r1c為 r1c=r1-rc= (7) 質點2相對于質心c的位置r2c為 r2c=r2-rc= (8) 可以看出矢量r1c與r2c互相平行,這說明質心是處于兩個質點的連線上,如圖3所示.兩個矢量的長度之比為 即質心到質點1,2的距離與質點1,2的質量成反比.且質心相對于質點1,2的位置不會因為坐標系的選取不同而不同. 圖3 位置關系 由于質點組不受其他外力,只有兩個質點之間的內力相互作用,由式(4)可知:質心總是保持靜止或者勻速直線運動狀態,即質心處于平衡狀態. 若將直角坐標系的坐標原點選取在質心上,即以質心為參考系(簡稱質心系),那么這個參考系為慣性參考系. 設碰撞前質點1和2相對于地面的速度分別為 碰撞后質點1和2相對于地面的速度分別為u1,u2.根據動量守恒關系,有 m1v1+m2v2=m1u1+m2u2 (9) 牛頓根據碰撞過程中動能的損失情況,引入了恢復系數e,其定義為 (10) 實驗測量表明,恢復系數的值處于0和1之間[1].當e=0時,碰撞后的動能損失最大,稱為完全非彈性碰撞;當e=1時,碰撞后的動能沒有損失,稱為彈性碰撞.由式(9)和式(10)得到碰撞后的速度為 (11) (12) 將式(7)和式(8)對時間求導得到碰撞前質點1和2相對于質心的速度v1c和v2c,即 設碰撞后質點1和2相對于質心的速度為u1c和u2c,則 當e=0時,u1c=u2c=0,即碰撞后的質點1和2相對于質心系的速度為零,說明碰撞后兩個質點粘在一起,且相對質心靜止. 當e=1時,u1c=-v1c,u2c=-v2c,這表明在質心系中去觀測兩體的彈性碰撞,兩質點在碰撞前后相對于質心c的速度大小相等,方向相反. 此外,因為質心系中彈性碰撞前后質點的速度大小不變,所以質點的動能也保持不變. 碰撞前,質點1和質點2相對于質心的動量為 可以看出m1v1c=-m2v2c,這說明在碰撞前,從質心系中觀測質點1和2的動量是大小相等方向相反的,兩者之和為零. 碰撞后,質點1和質點2相對于質心的動量為 對于完全非彈性碰撞,e=0時,有 m1u1c=m2u2c=0 即兩質點都靜止在質心處,兩者之和為零. 對于彈性碰撞,e=1時,有 m1u1c=-m2u2c 即從質心系中觀測質點1和2的動量,還是大小相等方向相反,兩者之和為零.且m1u1c=m2v2c,m2u2c=m1v1c,這說明質心系中碰撞的兩個物體,碰撞的效果是兩個物體的動量進行交換. 從質心系中看兩體發生完全非彈性碰撞,碰后兩物體都將靜止在質心處.從質心系中看兩體發生彈性碰撞,遵循如下規律: (1)從質心系中觀測兩個物體碰撞前后的速度時,其大小均不變,但是方向變為反向. (2)從質心系中觀測兩個物體的動量時,碰撞前后總動量始終為零,且碰撞的效果是兩個物體的動量互換. (3)從質心系中觀測兩個物體的動能時,碰撞前后,兩個物體的動能均不變.2 從質心系中看兩體碰撞
2.1 從質心系中看兩體的位置
2.2 從質心系中看碰撞前后的速度變化規律
2.3 從質心系中看碰撞前后的動量變化規律
3 結束語