引力距離為什么不能從質心計算

金 遜

(南京市燕子磯中學 江蘇 南京 210038)

不少師生根據地面物體受力分析的經驗，將整體法推廣到多體的引力問題．但是，這種推廣是錯誤的．本文結合歷史文獻說明，非均勻球體的引力距離一般不能從質心計算，多體的萬有引力問題一般不能整體分析．

1 挖補問題

在高中物理教輔用書上頻頻出現這樣一個問題：“球體挖去一小球后對另一質點的吸引力”．利用挖補的思路計算物體之間的萬有引力，多種解法結果不同．

1.1 問題的描述

大球挖去小球后，求剩余部分對質點的吸引力．下面是資料上一種常見的描述．

一半徑為R，質量為M的均勻球體，其球心O與另一質量為m的質點B距離為2R，如圖1所示．

若挖去以OA的中心O1為球心、R為直徑的球體，如圖2所示,求剩余部分對質點B的吸引力F0．

圖2 均勻球體內挖去一個小球體

1.2 3種挖補方法

挖補法是基于等效替代的思想處理問題，用該法求解一些特殊物體間的作用力時，可以避開復雜的高等數學知識，僅利用中等數學就可順利求解，因此受到廣大師生的歡迎．以下3種解法均為中學階段容易想到的挖補法，結果各不相同，原因何在？

解法1：整體引力減去挖去部分引力

剩余部分對質點B的吸引力等于，挖前整體對物體的吸引力，減去挖去部分(挖前)對物體的吸引力．設挖前整個球對質點B的吸引力為F，挖去部分在挖前對質點B的吸引力為F1，則

F0=F-F1

(1)

根據萬有引力定律，有

(2)

(3)

挖去部分在挖前對質點B的吸引力為

(4)

把式(3)代入式(4)，得

(5)

式(2)、(5)代入式(1)，得挖去后剩余部分對質點B的吸引力為

(6)

解法2：再挖去一球，利用對稱性求解

在大球的左部，與O1關于球心O點對稱的位置，再挖去一個同樣的小球O2，如圖3所示．設挖去小球O1，O2后，剩余部分的質量為M1．挖去小球O2前，小球O2對質點B的吸引力為F2，挖去Q1和Q2后剩余部分對質點B的吸引力為F3，則題目所求即為

F0=F2+F3

(7)

把式(3)代入上式，得

(8)

圖3 解法2圖示

(9)

把式(8)、(9)代入式(7)，得挖去O1后剩余部分對質點B的吸引力為

(10)

解法3：利用剩余部分的質量和質心距離計算

先求剩余部分的質量和質心位置，再把質心距離作為引力距離，利用萬有引力定律直接求剩余部分對質點B的吸引力F0．

設剩余部分的質量為M2，則M2=M-m1，將式(3)代入得

(11)

剩余部分的質心應該位于大球球心O點左方，設其距O點距離為r，如圖4所示．挖前整體的質心應在O點，根據質心關系有

將式(3)、(11)代入上式，得

(12)

圖4 解法3圖示

剩余部分的質心距質點B的距離為r+2R，故剩余部分對質點B的吸引力為

將式(11)、(12)代入上式，得

(13)

1.3 3種解法比較

3種解法得到的結果，分別是式 (6)、式(10)、式(13)．很明顯，3種解法結果各不相同．可是，它們都是從質心計算引力的，問題出在哪里？

2 釋疑解惑

這就牽涉到萬有引力定律的成立條件．嚴格地說，萬有引力定律只適用于質點．對于相距較遠的天體，可以看做質點，距離的選取較為簡單．而以上問題中兩者相距較近，不能看作質點．分析它們之間的萬有引力，距離應該從哪里算，能不能從質心來計算？即能否整體分析？

2.1 歷史的回顧

牛頓當初就被距離從哪里算的問題，困擾了近20年的時間．早在1666年，牛頓就根據開普勒第三定律推出，行星圍繞太陽運動所需要的力與距離的平方成反比，但是到17世紀80年代才重新提起引力定律．主要原因之一是，牛頓在分析地球對月球以及地球對它表面物體的吸引力時，不能確定距離從哪里算.1685年初，情況才出現了轉機，牛頓用他自己開創的微積分證明了，地球吸引外部物體時，恰像全部的質量集中在球心一樣．也就是說，均勻球體對其外部物體的吸引力，可以從質心(球心)計算距離[1]．

2.2 萬有引力一般不能從質心整體分析

在力學中受力分析常見的有隔離法、整體法．在都能解決問題的時候，整體法往往優于隔離法．除均勻球體外，一般物體(或多體系統)對其外部物體的萬有引力是否也可以從質心計算距離，整體分析呢？

答案是：一般不可以．上述3種解法中，第一種解法，均勻球體對其外部物體的吸引力，從質心(球心)計算距離．這種方法從牛頓開始，經過多次的理論推證和實踐檢驗，證明是正確的．后兩種解法得到的結果與解法1不同，是錯誤的．

上述3種不同的挖補方法，結果各不相同，這就表明：對于非均勻球體，不能認為可以從質心計算萬有引力．

原因是，質心與物體位置有關，質心與距離遵循一次函數關系．而萬有引力與距離是平方反比關系，兩者與距離的關系并不等價．所以，引力距離一般不能從質心計算．均勻球體是特例．一般物體受到的萬有引力是否可以從質心計算，需另行證明．到底應該從哪里計算距離，一般需要利用微積分的思想進行具體分析．

討論重力問題的時候，為什么可以從質心整體分析？因為在地球表面附近，重力場可以認為是均勻的，重力的合成與位置無關．而大尺度的引力場不能認為是均勻的，引力的合成與位置有關．故，不能用重力合成的規律來類比．同理，在討論高空重力問題時，如果考慮重力加速度g隨位置的變化，一般也不能從質心整體分析．

下述利用多個天體繞轉的實例進一步驗證．

3 兩物體組成系統(啞鈴狀物體)軸線方向受力

以下是中學常見的“啞鈴”狀系統．A和B兩均勻人造球體，質量均為m，由輕質硬桿相連，形如一個“啞鈴”，如圖5所示．A，B兩物體和中心天體C始終在一條直線上，A，B兩物體和輕桿成為C的一個衛星．A，B分別以r1和r2為半徑繞C做圓周運動．中心天體C的質量為M，不計A，B之間的萬有引力．求此衛星受到C的萬有引力(資料上的試題，一般求周期．這里為方便對比，改為求引力)．

圖5 兩物體組成系統軸線方向受力情境圖

解法1：對衛星(A,B兩物體組成系統)整體分析

衛星由A,B及輕桿組成，將其看作一個系統．該系統的質心位于輕桿中某點，距C中心為

如果A,B兩物體組成系統受到其他物體的萬有引力可以認為系統的質量集中于質心，整體求解，得衛星(A,B兩物體組成系統)與天體C之間的萬有引力

(14)

解法2：對A,B隔離分析

A受到C的萬有引力

B受到C的萬有引力

對此兩力進行合成，得衛星系統受到合力

(15)

整體分析與隔離分析，結果是否等價?

如果F≠F′，即對A,B兩物體組成系統整體分析與隔離分析再求合力，結果不等價．意味著求A,B系統受到的萬有引力，不能認為系統的質量集中于質心．

反之，如果F=F′，意味著A,B系統受到其他物體的萬有引力，可認為質量集中于質心．

由式(14)、(15)，由于r1和r2具體數值均未知，一般F≠F′．在某種特殊情況，也可能F=F′．下面，我們分析滿足何種條件會出現F=F′.

假設F=F′，由式(14)、(15)，知

展開，可得

即

整理，得

3r1r2(r1-r2)]=(r1-r2)2·

由于r1>0,r2>0，欲使以上成立，必

r1-r2=0

所以當r1=r2時，F=F′.

即當A,B兩物體重合時，A,B系統受到的萬有引力，才能認為質量集中于質心．也就是說，正常情況下，兩物體組成系統(啞鈴狀物體)沿軸線方向受到其他物體的萬有引力，不能認為質量集中于質心．即兩體系統受其他物體的萬有引力，一般不能整體分析．

4 三星繞轉

3顆質量相等的行星A,B,C位于正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做圓周運動，設每顆星的質量均為m，相鄰兩顆星距離為L，如圖6所示．每顆行星運行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供．

圖6 三星繞轉情境圖

解法1：對AB系統整體分析．如果把A,B兩顆星看作一個系統，該系統的質心位于兩者連線的中點H．質心與第3顆星C的距離為

r=Lsin60°

如果A,B兩物體組成系統對C物體的萬有引力可以認為系統的質量集中于質心，整體求解，得

解法2：隔離法

A,B兩物體對天體C萬有引力的合力為

很明顯，兩者并不一致，且差距較大．也就是說，兩物體組成的系統在垂直連線方向對第三者的萬有引力，不能認為質量集中于系統的質心．

如果3個物體質量不等，位置不對稱，或者其他更復雜的情況，亦可類似證明．

5 總結

對于其他結構更復雜的系統，總可以分解為多個縱向和橫向的情況進行類似的處理．通過對多種情況的分析，可以發現，幾個物體組成的系統，該系統與其他物體間的萬有引力，通常不能認為質量集中于系統的質心進行整體分析，即萬有引力的計算與質心無關．

嚴格地說，萬有引力定律只適用于質點．對于不能看做質點的物體，一般用微積分的思想進行分析．

均勻球體對其外部物體的吸引力，可以從質心(球心)計算距離．此為特例．非均勻球體，對其外部物體的吸引力，一般不能從質心(或球心)計算距離．

6 啟示

真理是相對的．原來以為很正確的東西，可能也存在一些缺陷．當外部條件略有變化的時候，其結論未必還成立．中學階段在分析萬有引力問題時，遇到最多的是均勻球狀天體對其他物體的吸引力，這種情況可以從質心(球心)計算引力距離．許多師生受此影響，不加證明將該結論推廣到非均勻球體，導致了一些貌似合理的錯誤．教訓告訴我們，直覺不一定是正確的，直覺只是給我們提供了一個可能的研究方向，其是否正確需要我們作進一步的科學分析[2]．

再比如，在力學中，經常把物體看作質點,但是在熱學部分，許多情況又恰恰不能把物體看作質點，需要考慮其體積的變化．這就導致許多人在處理相關問題時栽在了“體積”這匹黑馬上[3]．

在科學史上，類似的事情也發生過多次．比如，李政道和楊振寧獲得諾貝爾物理學獎的成果是，提出“弱相互作用中宇稱不守恒”．在“李-楊”之前，人們發現很多情況下“宇稱守恒”，于是大家想當然地認為，宇稱在其他情況下也是守恒的．在“李-楊”提出“弱相互作用中宇稱不守恒”之后，吳健雄(美籍華裔)進行了實驗驗證，證實了“李-楊”的觀點．

最后，我們以吳健雄的話作為總結．“這件事給我們一個教訓，就是永遠不要把所謂‘不驗自明’的定律視為是必然的．”