傳遞路徑分析中計算子系統頻響函數的方法

廖旭暉 李舜酩 孟浩東

摘要： 傳遞路徑分析是在振動噪聲控制領域被廣泛應用的一種有效方法。傳遞路徑分析中將振動系統分成主動部分、被動部分以及連接主、被動部分的若干傳遞路徑。在傳遞路徑分析中需要對被動部分的頻響函數進行測量。傳統的傳遞路徑分析需要先拆除子結構然后再測量頻響函數，測試過程十分繁瑣。提出了一種全新的方法來計算子系統的頻響函數，直接由整個系統的頻響函數矩陣推導得到子系統的頻響函數矩陣的計算公式。該方法不需要對子系統進行物理解耦，大大縮短了測量子系統頻響函數所需要的時間。數值算例和實驗均驗證了該方法的正確性和有效性。

關鍵詞： 子系統； 傳遞路徑分析； 頻響函數； 解耦

中圖分類號： O321； TB123文獻標志碼：A文章編號1004-4523（2018）04-0681-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.016

引言

傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis， TPA）在車輛的NVH（Noise， Vibration & Harshness）研究、船舶的減振降噪、隔振系統設計等振動噪聲控制領域應用十分廣泛，是一種對系統進行減振降噪十分有效的工程手段。TPA的一個關鍵步驟是測量子系統的頻響函數。在傳統的TPA中，需要先將子結構之間的連接拆除然后再對子結構的頻響函數進行測量。在實際應用中將子系統物理解耦需要耗費較長的時間，并且物理解耦后子系統的邊界條件通常會發生改變，因此使得傳遞路徑分析方法的應用受到了較大的限制。為了提高傳遞路徑分析方法的應用效率，研究者們提出了許多改進的方法，如工況傳遞路徑分析[1-2]、基于直接傳遞率的方法[3-4]、基于組件的傳遞路徑分析[5-6]等。這些方法都規避了對子系統頻響函數的直接測量，雖然提高了測試效率，但是由于并不能將響應嚴格地表示成頻響函數和工況力相乘的形式，因此從本質上來說，這些方法都已經和傳統的傳遞路徑分析相背離了[7]。傳統的傳遞路徑分析由于有著明確的物理意義和準確的數學表達，因此仍然被廣泛應用于工程實踐或者用來作為其他改進方法的參照標準。

相對而言，由于不需要解耦，所以獲取整個系統的頻響函數更加方便。從哲學上來說，整體大于部分之和，因此，子系統的動力學特性一定是被包含在整個系統的動力學特性之中的。如何從作為整體信息的系統頻響函數矩陣中“提取出”反應局部信息的子系統頻響函數矩陣是非常有意義的一項課題。

之前的研究者們已經做過很多這方面的嘗試，并且取得了許多的研究成果，其中研究較多的是從動態子結構[8-9]的角度來獲取子系統的頻響函數。Okubo和Miyazaki[10-11]首先提出了根據整個系統和已知子系統動力學特性來獲取未知子系統動力學特性的方法。Gontier和Bensaibi[12]提出了一種時域的方法來對子系統進行解耦。Silva等[13-14]研究了子系統之間具有不同連接特性時的解耦方法以及識別連接特性的方法。Kalling等[15]采用狀態空間模型識別方法來研究子系統解耦的問題。近年來，一種新的基于逆子結構方法的解耦技術得到了重視，即將子系統看成是整個系統和一個虛擬系統相耦合而成[16]，從而實現解耦。上述這些解耦方法都假設子系統之間的連接是剛性的。另外，這些子系統解耦方法大多需要已知整個系統以及剩余部分子系統的動力學特性，才能實現對未知子系統的解耦。

Keersmaekers[17]則另辟蹊徑，提出了所謂的連接保留解耦（Link-Preserving Decoupling， LPD）方法，首先列出整個系統的動剛度矩陣，根據耦合連接處耦合剛度對于兩個子系統完全相同的特性，通過復雜的數學推導，得出了子系統頻響函數矩陣的公式。該方法不需要對耦合系統進行物理解耦，也無需知道相耦合的另一子系統的動力學特性，根據系統的頻響函數矩陣即可得到解耦子系統的頻響函數矩陣。

值得注意的是，LPD方法與本文所得出的結論有相似之處，但是該方法并未將內部自由度（非耦合處的自由度）考慮進來，而傳遞路徑分析中，所感興趣的響應點通常是子系統的內部自由度，因此，該方法有一定的局限性。

本文首先給出傳統的TPA模型，在線性假設和彈性假設的基礎上，可以將路徑簡化成線性彈簧和阻尼的組合。然后通過系統的頻響函數推導出解耦子系統的頻響函數。最后，通過數值算例和實驗驗證本文所提出方法的正確性。

1TPA基本理論及耦合系統模型

TPA理論將振動系統分成主動部分A、傳遞路徑和被動部分B。激勵力作用在主動部分上，通過若干條傳遞路徑將振動傳遞到被動部分上。典型的TPA模型如圖1所示。

被動部分上的目標點的振動響應可以看成是所有路徑對該點響應的貢獻之和。TPA的基本公式可以表示成yi=∑jHijFj（1）式中yi表示目標點i的響應，Fj表示第j條傳遞路徑上傳遞的力，Hij表示力Fj到響應yi的頻響函數。從式（1）中可以發現運用傳遞路徑分析方法必須測量被動部分的頻響函數。為了簡化分析，對圖1所示系統作如下假設：（1）系統為線性的；（2）連接子系統A和B的路徑具有足夠大的彈性，確保路徑傳遞力時有充分的變形量；（3）子系統A和B之間相互耦合的自由度是一一對應的，即子系統之間不存在多個自由度對一個自由度的耦合。

假設（1）保證了可以通過頻響函數矩陣來描述系統，本文的結論是在線性假設的前提下得到的。在許多情況下，系統可以做近似線性假設。假設（2）保證了對頻響函數矩陣進行求逆運算時，不會出現奇異性。假設（3）使得模型更加簡化，便于分析，且該假設在大多數情況下是能夠滿足的。通過上述幾點假設，可以將各傳遞路徑簡化成線性彈簧和阻尼的組合。上述的傳遞路徑模型實際上就是兩個子系統通過線性彈簧和阻尼相互耦合起來的振動系統。

2子系統頻響函數矩陣計算方法

假設在向量XAC和XBC中各自自由度排列順序是一致的，即XAC的第n個元素和XBC中第n個元素正好代表一對耦合自由度，XAC-XBC則表示由各條路徑上的變形量所構成的一組向量。式（8）的物理意義非常清楚，就是將子系統B上的的響應表達成三部分之和。第一部分是作用于子系統B上的外力所產生的對響應的貢獻，第二部分是由于連接子系統A和B的路徑的變形所導致的對響應的貢獻，第三部分則是由于子系統A內部自由度上的位移所導致的對響應的貢獻。

該方法也適用于計算子系統A的頻響函數矩陣?？梢钥闯?，公式（10）中存在矩陣求逆運算。如果子系統之間的路徑不具有足夠大的彈性，那么HAcAi和HBcAc以及HAcAc和HBcAc將會十分接近，這樣將導致矩陣求逆時出現奇異性問題。上一節中所做出的假設（2）就是為了保證矩陣求逆時不會出現奇異性問題。公式（10）給出了一般情況下計算子系統頻響函數的計算公式，在該公式中包括了所有自由度的信息。實際上，對于計算子系統頻響函數，所有的耦合自由度信息的確是必不可少的，而內部自由度信息則并不是必須知道的。如果不考慮某個子系統的內部自由度，則將式（10）中與該內部自由度有關的部分用空矩陣替代即可。比如，如果子系統A和B上的內部自由度均不考慮，即XAi和XBi均為空向量。這種情況下，式（10）中所有下角標中含有i的項將消失。式（10）將退化成HB=HBB-HBA（HAA-HBA）-1HAB-HBB（11）這與文獻[17]中的結論完全一致，說明文獻[17]的結論是本文結論的一個特例，即在不考慮任何內部自由度的情況下所得出的結論。而在實際情況下，通常是要考慮內部自由度的。比如，對由發動機傳遞至車身某處的振動進行傳遞路徑分析，作者所感興趣的這個響應點就是一個內部自由度。因此，本文所提出的方法更具有普適性。

3數值算例

為驗證上一節所提出的方法的正確性，建立如圖2所示的8自由度振動系統模型。該模型中包含兩個子系統，即主動部分子系統A和被動部分子系統B。兩個子系統之間通過3條由線性彈簧和阻尼組成的路徑相連接。子系統A所產生的振動通過三條路徑傳遞至子系統B上。模型參數如表1所示。

自由度類型所包含的自由度主動部分內部自由度Aim1主動部分耦合自由度Acm2， m3， m4被動部分耦合自由度Bcm5， m6， m7被動部分內部自由度Bim8

根據表2所做的自由度類型劃分，可以將式 （13）所計算得到的系統頻響函數矩陣表示成如式（3）的分塊矩陣的形式。然后再根據所得出的分塊運用式（10）進行計算，可以求出子系統B的頻響函數矩陣。將該計算結果與直接計算子系統B的頻響函數矩陣所得到的結果進行比較，如圖3所示，發現兩種方法計算結果完全一致，證明了所提出的方法的正確性。

4實驗驗證

為了進一步驗證本文所提出方法的正確性及其在實際應用中的有效性，通過如圖6（a）所示的實驗進行了驗證。

實驗對象為由兩塊鋼板通過4個彈簧相互連接而成的系統。下面的鋼板通過4個彈簧與臺面相連接。上面的鋼板為子系統A，下面的鋼板為子系統B?？偣部紤]9個自由度，分別是兩塊鋼板與彈簧的連接處共8個點以及位于下面一塊鋼板上的目標響應點9（如圖6（b）所示）。首先，測量整個系統的9×9的頻響函數矩陣，然后根據本文所提出的方法求取下面鋼板的在解耦狀態下的5×5頻響函數矩陣，從而實現子系統的解耦。

選取5×5頻響函數矩陣中與TPA有關的四個頻響函數進行分析，將其與直接測量的結果進行比較，如圖7所示。

從圖7中可以看出，本文方法所得出的結果與直接測量的結果比較接近，進一步證明了本文方法的正確性。測量誤差主要來自于頻響函數測量時傳感器布置及力錘敲擊時的位置偏差。

5結論

（1） 提出了一種計算子系統頻響函數矩陣的新方法。該方法不需要拆除子系統，只需要知道整體的頻響函數矩陣即可推導出子系統的頻響函數矩陣，大大縮短了測量子系統頻響函數所需要的時間。

（2） 傳遞路徑分析中被動部分子系統的頻響函數的測量，可以用本文所提出的解耦方法進行計算。

（3） 用所提出的方法計算子系統頻響函數時，耦合點的信息必須是已知的，即所測量的整體系統頻響函數矩陣中必須包括所有的耦合點在內。在條件允許的情況下，運用非接觸式測量會獲得更好的結果。

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Abstract： Transfer path analysis（TPA） is a widely used and effective method in the field of vibration and noise control. In TPA， vibrational systems are divided into the active part， passive part and some transfer paths through which the active and passive parts are connected. In TPA， it is necessary to measure the frequency response functions（FRFS） of the passive part. In classical TPA， the substructure needs to be disassembled firstly and then the frequency response function is measured. Therefore， the test process is very cumbersome. In this paper， a novel method is proposed to calculate the FRFs of the subsystem. The formulation of the FRF matrix of the subsystem is derived from the FRF matrix of the whole system directly. Obviously， the proposed method does not require the physical decoupling of subsystems. Consequently， the time required to measure the frequency response function of the subsystem is greatly shorten. The correctness and effectiveness of this method are validated by a numerical case and an experimental case.

Key words： subsystem； transfer path analysis； frequency response function； decoupling