圓錐曲線最值問題常見題型與解題技巧分析

裴堯

摘 要：在近幾年高考數學試卷中，圓錐曲線作為重要考點占高考數學試卷總分數的15%左右，占解析幾何考點的75%左右。由此可以看出，圓錐曲線問題在解析幾何中的重要程度，尤其是近幾年圓錐曲線問題在高考試卷中所占分數始終保持相對穩定的比例。作為解析幾何的一部分圓錐曲線問題在高考試卷中出現的題目形式往往靈活多變，對于學生的知識點考察方式更偏重于對于知識點的綜合使用。由于圓錐曲線問題知識點的特性導致高考出題組教師往往將圓錐曲線問題作為高考數學試卷最后壓軸題出現。特別是在2009年高考數學試卷中出現的求圓錐曲線最值問題成為了當年高考數學試卷中極為精彩的一筆，不僅僅在解題過程中與函數、不等式、三角函數這些高考重要考點相聯系，而且運用極為靈活的方式考察了學生對于圓錐曲線基礎知識的熟練程度。圓錐曲線問題因為與其他高考重要知識點關聯性起強的特性，用來考察學生對于知識點的掌握程度、邏輯思維能力水平以及綜合利用所學知識解決問題的能力效果顯著。所以學生如果想要在高考數學試卷中達到滿意的分數，對于圓錐曲線要深入了解熟練掌握。

關鍵詞：最值問題；常見題型；解題技巧

一、圓錐曲線最值問題常見解題技巧

（一）圓錐曲線定義法

通過圓錐曲線的定義和性質解決一些問題，在利用代數或者幾何求出最值，使得題干的數量關系更為明確。

（二）橢圓與雙曲線參數法

通過橢圓和雙曲線參數方程轉化變形成為三角函數，也可以將直線或者拋物線方程轉變為函數方程進行解答。

（三）函數法

通過二次函數的配方或者均值不等式或者判別式來解答最值問題。

（四）平面幾何法

通過圓錐曲線的定義、形狀、性質利用數形結合的想法，將題干中給出的條件在平面幾何圖形上表現出來，利用平面幾何知識將幾何量之間的大小關系或者曲線的位置關系通過不等式表現出來，通過解決不等式解決圓錐曲線問題。

（五）基本不等式法

利用不等式中“等號成立”的條件解決圓錐曲線最值問題。

二、圓錐曲線最值問題常見題型

1、圓錐曲線定義法

有些問題先利用圓錐曲線定義或性質給出關系式，再利用幾何或代數法求最值，可使題目中數量關系更直觀，解法更簡捷。

例1 已知拋物線Y2=4X，定點A（3，1），F是拋物線的焦點，在拋物線上求一點P，使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。

分析：由點A引準線的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|，即為最小值。

解：如圖，因為Y2=4X，所以p=2，焦點F（1，0）。由點A引準線x=-1的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|，即為最小值.（|AP|+|PF|）min=4.

由，Y2=4X，Y=1得p（1/4，1）為所求點.

若另取一點p′，顯然|AP′|+|P′F′|=|AP′|+|P′Q′|>|AP|+|PQ|。

幾何法解決圓錐曲線最值問題就是利用圓錐曲線性質求最值是一種特殊方法。在利用時技巧性較強，但可以避繁就簡，化難為易。又如已知圓錐曲線內一點A與其上一動點P，求|AP|+|PF|/e的最值時，?？紤]圓錐曲線第二定義。

2、橢圓與雙曲線參數法

利用橢圓、雙曲線參數方程轉化為三角函數問題，或利用直線、拋物線參數方程轉化為函數問題求解。

橢圓的切線x2/a2+y2/b2=1與兩坐標軸分別交于A，B兩點，求三角形OAB的最小面積。

分析；寫出橢圓參數方程x=acos|OB|和Y=bcosβ，設切點為p（acosβ，bcosβ），可得切線方程。

解：設切點為p（acosβ，bcosβ），則切線方程為cosβ·X/a+cosβ·y/b=1.

令y=0，得切線與x軸交點A（a/cosβ，0）；令x=0，得切線與y軸交點B（0，b/cosβ，所以S△AOB=1/2|oa|·|OB|=|ab/2sinβcosβ|=|ab/sin2β|≤ab.所以Smin=ab。

參數法解決圓錐曲線最值問題就是利用圓錐曲線參數方程轉化為求三角函數的最值問題，再利用三角函數的有界性得出結果。

3、函數法

將所求問題轉化為二次函數最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解。

例3 過動直線x+2y=p與定直線2x-y=a的交點（其中p∈（0，3a]）的等軸雙曲線系中X2-Y2=入，當p為何值時，達到最大值與最小值？

分析：求出交點坐標代入雙曲線，可得的二次函數表達式，再利用函數方法求解。

解：由2x-y=a和x+2y=p，得【Q（p+2a）/5，（2p-a）/5】交點，

交點Q坐標代入雙曲線，入=x2-y2=【（p+2a）/5】2-【（2p-a）/5】2=（-3p2+8ap+3a2）/25=【-3[p-（4a/3）]2+25a2/3】.p∈（0，3a]

當p=4a/3，入max=a2/3，又0

當p=3a時，入min=0

函數法解決圓錐曲線最值問題就是把所求的最值表示為函數，再尋求函數在給定區間上的最值，但要注意函數的定義域。

4、平面幾何法

將圓錐曲線問題轉化為平面幾何問題，再利用平面幾何知識，如對稱點、三角形三邊關系、平行間距離等求解。

例4 已知橢圓（x2/12）+（y2/3）=1和直線l：x-y+9=0，在l上取一點M，經過點M且以橢圓的焦點F1，F2為焦點作橢圓，求M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。

分析；設F1′是F1關于l對稱點，可求出F1′坐標，過F1′F2的直線方程與x-y+9=0聯立得交點M為所求。

解：由橢圓方程X2/12+Y2/3=1，得F1（-3，0），F2（3，0）設F1′是F1關于l對稱點，可求出F1′坐標為（-9，6），過F1′F2的直線方程：x+2y-3=0與x-y+9=0聯立，得交點M（-5，4），即過M的橢圓長軸最短。

由|MF1|+|MF2|=2a，得2a=6√5，∴a2=45，c2=9，∵b2=36，所求橢圓方程為（x2/45）+（y2/36）=1.

幾何法解決圓錐曲線最值問題就是在求圓錐曲線最值問題中，如果用代數方法求解比較復雜，可考慮用幾何知識求解，其中"三角形兩邊之和大于第三邊"是求最值常用的定理。同時，利用平幾知識求解，蘊涵了數形結合的思想。

5、基本不等式法

列出最值關系式，利用均值不等式"等號成立"的條件求解。

例5 過橢圓2x2+y2=2的焦點的直線交橢圓A，B兩點，求△AOB面積的最大值。

分析：由過橢圓焦點，寫出直線AB方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，消去y，得關于x的一元二次方程，巧妙的利用根與系數的關系，可以起到避繁就簡的效果。

解：橢圓焦點（0，±1），設過焦點（0，1），直線方程為y=kx+1與2x2+y2=2聯立，消去y，得（2+K2）X2+2kX-1=0，其中兩根X1，X2為A，B橫坐標。將三角形AOB看作△AOF與△FOB組合而成，|OF|是公共邊，它們在公共邊上的高長為|X1-X2|.∴S△AOB=（|OF|·|X1-X2|）/2，其中|OF|=c=1.

∴S△AOB=（|X1-X2|）/2=[√（X1-X2）2-4X1X2]≤（√2）/2.當k2+1=1/（k2+1）即k=0時，取等號，

即當直線為y=1時，得到的面積最大值為（√2）/2。

點悟：利用均值不等式求最值，有時要用"配湊法"，這種方法是一種技巧。在利用均值不等式時，要注意滿足三個條件：1、每一項要取正值；2、不等式的一邊為常數；3、等號能夠成立。其中正確應用"等號成立"的條件是這種方法關鍵。圓錐曲線最值問題涉及知識較多，在求解時，要多思考、多聯系，合理進行轉化，以優化解題方法

三、結束語

通過以上圓錐曲線最值問題常見題型簡單介紹與解題技巧的整理歸納可以得知，圓錐曲線問題在高考中不僅僅要掌握其自身的知識點，還要靈活運用與其他高考重要知識點相結合，建立起知識點的網狀連接圖，才能適應和應對多變的題型；求解過程中又要對函數、不等式、三角函數、平面幾何等重要知識點靈活的運用，才能在高考數學試卷中挖掘出出題老師隱藏在題干中的提示點。

（作者單位：四川省瀘州市高級中學校）