論反例在中學數學教學中的作用

黃新旭

摘 要：在中學數學教學中，恰當的反例不僅能加深學生對概念、定理、公式的理解與運用，還有利于提升學生數學思維能力。本文從反例的概念著手，借助調研結果，研討反例運用所存在的問題，剖析反例在數學教學中的作用。

關鍵詞：反例；問題；作用；思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1004-7344（2018）30-0037-02

1 引 言

在現實的學習及實踐中，我們有如此的經歷：當對某問題苦思而無果時，從反面切入，常能茅塞頓開，獲得驚喜性的成功。又或，要否定一個命題，只要舉出一個滿足命題條件，而不滿足命題結論的例子就行了。這在數學中稱為舉反例。G·波利亞說：“類比和反例是獲得發明的偉大源泉?！痹趯W習日常中，我們會總結出一系列的結論，而當結論是錯誤的，那么舉出反例就可以推翻。

同樣，在中學數學教學中，某些數學知識學生僅從正面去思考會很模糊，然構建適當的反例常能收到出乎意料的甜果，學生既深刻地理解了知識，又培養優良的數學品質。故，僅靠正面示范，沒有反例的參照，無法凸顯知識的本真，對知識的理解就會失真。

2 反例的概念

數學中的反例，是指符合命題的條件，而又不符合該命題結論的例子。簡稱，反例就是一個指出某命題不成立的例子。從廣義上來講，所有的例子都可稱為反例，因為它總可以推出某命題不成立。反例教學是指在概念、定理等教學過程中，教師有針對地構建看起來正確而實質完全錯誤的解答，進一步巧妙地引領學生發現、頓悟、歸納出錯誤，最終得出正確結論的教學方法。

精準說來，反例教學法中的反例是指教師在教學實踐中，收集的典型例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認識。然而，如果反例龐雜，則學生反而會被引入歧途，倘若是教師信手拈來的反例，那么其意義就很微小，因此，反例必須具體有典型性、精準性、簡煉性。

3 運用反例的調研

貴州大學附屬中學始建于1947年，目前是一所全日制封閉精細管理的貴州省屬中學，含有初高中數學教師24名。通過對這24名教師進行問卷調查得出以下結論，如表1～4。

4 目前數學反例使用存在的主要問題

①新課標對反例沒有具體要求，關于反例的考題基本沒有；②教師認為反例的作用微乎其微缺乏運用反例的意識；③教師對反例的了解甚少，無法有效的把反例運用于教學中；④教師構造反例的能力低，不能系統地教給學生構造反例的方法；⑤關于反例的資料缺乏，獲取反例的渠道單一，主要從教材及教材參考書和自己的經驗獲??；⑥大部分的教師都是在平時教學過程中少量的穿插使用反例。

5 反例在數學教學中的作用

5.1 反例可以加深學生對數學概念及原理的理解

教學中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，學生往往對一些關鍵性詞句、條件理解不透徹，看不到本質，只是機械地強記。如果遇到名稱相似或結構相類似的知識點，就會混淆得一塌糊涂。

例1：不少學生片面地認為函數就是：一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們就是函數關系，可提出這兩個例子：

（1）人的體重與年齡成函數關系嗎？

（2）若y=clt x·tan x，則y是x的函數嗎？

解析：①學生認為體重隨年齡的增加而增加，因而構成函數關系。實際上，年齡無法確定體重，即當年齡發生變化時，體重沒有確定的值和它對應，故不符合函數的定義。②學生認為y=cot x·tan x=1，故y不是x的函數。實際上對每一個定義域內的x值，y總有唯一確定的值（y=1）和它對應，只不過y的值始終不變罷了，因此是函數。

5.2 反例是一種糾正錯誤的常用辦法

反例之所以被稱為反例，是因為糾錯是它最凸顯的也是最根本的作用。講授習題上，舉反例是反駁與糾正錯誤的有效方法，是學生加強學習的有力武器。面對學生解題中所出現的共性錯解，教師可以示以反例，曲中窺直，用反例說明解法有誤，從而引導學生去找到錯誤的根源，最終讓師生共同品嘗成功的“蛋糕”。

例2：若a=A，b=B，則a+B=A+B，反之是否成立？

解析：反之不成立。顯然直接說明不好入手，借助反例：若a=6，b=4，則a+b=10，若A=2，B=8，則A+B=10，但是a≠A，b≠B。

5.3 借助反例可以引導學生發現問題

課本中的例題所提供的解題思路清楚明確，學生只需機械記憶與模仿，長此以往會使學生缺乏勇于探索、質疑的能力。為了補缺，在例題講授中教師設置適當反例，故意制造陷阱，讓學生透過現象，看到問題的本質，養成善于發現的品質。例如在講授分式方程的解法時，書本都是給出解方程的規范步驟，而照本宣科的教學不易發現問題，同時學生也懶得去探索、發現。巧用反例，可以使學生發現漏洞，自主發現，獲得正確的結論。

面對這樣的反例，學生的興趣就提上來了，一眼就能發現錯誤的原因是去分母時方程右邊漏乘了（x-1）。通過這個反例，加深了學生去分母不要漏乘的印象。

5.4 反例可以培養學生思維的多重維度

數學學習的任務就是要培養學生的邏輯思維能力，從而正確地解答數學問題，并能優化其他問題的解決。新課標明確指出：“發展思維能力是培養能力的核心?！彼季S的縝密性、靈活性、發散性、深刻性、創新性都是思維重要的品質。根據中學生的心理特點和學科自身的特點，運用反例培養這些思維品質是一個行之有效的方法。設置巧妙的反例，能讓學生學會多維度考慮問題，靈活思維。然而，構造反例的方法并不是唯一的，需要學生對所學知識有透徹的理解，充分挖掘數學功底，展開想象，故構造反例的過程也是學生發散思維和創新思維的訓練過程。

例4：帶根號的數都是無理數。

5.5 反例可以極速解題的速度

反例的學習和運用可以提高我們的數學能力，優化解題過程，并在日積月累中提高解題速度。反例教學實際上是教師為了清晰學生在掌握數學知識過程中的模糊印象，亂套公式等毛病所挖的坑。通過正反對比，構造極端的反差，使學生對錯誤留下極為深刻印象，從而，降低再犯類似的錯誤的幾率，最終使學生對所學知識得到進一步鞏固升華。

例5：在學習反比例時可舉出反例：倩倩總共要背18首詩，問已經背的和沒背的數是否成反比例？

解析：“對的”，顯然這些學生沒有充分掌握成反比例的條件：兩個量的乘積為定植。這個題是兩個量的和一定，學生頓時豁然開朗，

5.6 反例是鑒別假命題簡易的方法

反例是否定一個命題的絕佳手段。在學習過程中，學生通過類比或歸納等方法得到一些看似正確實則錯誤的結論，要否定它，反例是一種行之有效的利器。判斷一句話（或一個結論）的真偽，首當其充的方法就是構造反例。這是由反例本身的特性決定的，在澄清是非，揭示黑白，否定命題時它具有直觀、簡明、說服力強等特點。

例6：負數就是在一個數的前面加一個負號。

解析：許多理解不清的學生認為是對的，只要亮出反例，如果是負數，在它的前面加一個負號就變成了一個正數了。再如果是0，在0的前面加個負號還是0。

5.7 教學相長的助推

教學包含教師的教與學生的學兩部分。教學離不開教師和學生這兩個相對主體，在教學中，教師不僅是講授者和組織者，也是參與討論的一位，學生的思維“動”起來后，他們在研究問題的廣度和深度上可能會超越教師，使教師和學生之間能相互學習。反例在教學中雖處于次要地位或輔助教學地位，但它是培養學生主動性和能力的一種途徑，它有利于教師更有效地教授知識，也有利于學生更好地掌握數學各類知識，達到雙贏的局面。

例7：兩個無理數的和是否一定是無理數？

6 結束語

在中學數學教學中，適時地引入一些反例或啟發學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，有助于他們掌握并能靈活運用。教師根據學習過程中學生容易出錯的地方，開展反例教學，講解精選的反例，往往能引起學生內心的共鳴，增加學生學習的熱情，使認識與體驗相融合，打破對數學的慣性思維：“枯燥、繁瑣、難如登天”，激勵其上進的欲望，并形成學好數學的堅定信念，癡于與數學談一場永不分手的戀愛。

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收稿日期：2018-9-23