從“數量比”到“份數比”
——“分數的再認識（一）”教學實錄與賞析

◇執教/張 丹 賞析/麻永侃

一、回憶整數概念，引出分數

（一）以數4 為例，喚起數概念間的聯系。

師：數學跟數有關。我先用“4”說一件事：（在黑板上擺4 個磁扣）我有4 個磁扣。誰能換一個角度，用“4”再說一件事？

生：有4 個物體。

師：換一個角度，“4”僅僅表示4 個物體嗎？老師給你個提示：咱們的年齡之間也存在4。

生：4 倍，老師的年齡是我的4 倍。

……

（二）引出分數，用“講故事。

（一名學生上臺操作，將圓形紙片對折，再對折）

師：對折是為了什么？（生答“平均分成2份”）然后呢？（生答“再對折”）請把它的畫出來。（學生把其中的1 份畫上斜線）

【賞析】數是一種抽象的概念，要對數有豐富的理解，必須清楚理解各數之間的關系。如：4 比2 大但比5 ??；4 是1 與3 的合成，也是2 和2 的和；1 只青蛙有4 條腿……要求學生能理解數及其表征方式，并且探索各類數之間的關系，如此漸漸變化，對數的直覺便在對整數、分數、小數及百分率等的認識中發展。在這節課上，張丹老師有意識地讓學生在表示出圓的后，用“”講一個生活中的故事，發散學生的思維，以豐富學生對分數的理解。

二、引導探究，推動從“數量比”到“份數比”的轉化

（一）探究1：數量比——表示出4 個磁扣的。

1.給出任務。

師：我先給一個任務。（指黑板上的磁扣）這里有4 個磁扣，用它們可以表示出嗎？在練習本上表示出來，用1 個小圓表示1 個磁扣，要讓別人一眼就能看出你表示的。

2.學生嘗試表征。

3.反饋交流。

師：誰愿意上來分享自己的想法？

生1 在黑板上畫出4 個小圓。

生2 在生1 的圖上改，如圖1：

圖1

師：她這么一畫，我們很容易就看出來，確實一共有4 個，把它平均分成4 份，1 個就是全部的。

（二）探究2：份數比——表示出多個磁扣的。

1.給出任務。

師：學數學得想新的事兒，不能總等著老師告訴你接下來該干什么了。我們先表示出了1 個東西的，又想到用4 個磁扣也能表示出，接下來，你會想到什么事兒？

2.學生嘗試表征。

3.反饋交流。

（教師出示作品1，如圖2）

圖2

師：不是8 個磁扣嗎？為什么寫一個“4 組”？為什么要分成4 組？的“4”表示什么？

（學生回答后，教師出示作品2，如圖3）

圖3

師：（指著圖3 中1 份里的3 個磁扣）明明是3 個，怎么是？是誰的？

生：12 個磁扣，平均分成4 組，每組3 個，取其中的1 組就是。

師：總數中有4 個的、有8 個的、有12 個的……數學的事兒永遠也說不完，磁扣永遠也擺不完，誰能用一句話概括到底什么是？

師：能概括黑板上的所有東西嗎？

生：其實也不一定都是4 的倍數。

【賞析】作品1、作品2 分別用表示，對三年級學生來說并不困難，他們可以用數量關系代替份數，用整數計數的思維幫助理解。到了五年級，要學會用份數表達，只要平均分成4 份，取1 份，至于這1 份中是1 個還是多個，并不重要。

（三）探究3：份數比——表示出“不是4 的倍數”的 。

1.給出任務。

2.學生嘗試表征。（2 個磁扣用2 個圓表示）

3.反饋交流。

（生1 上臺畫出自己的作品，如圖4）

圖4

（師生配合，用圓片演示過程，如圖5）

圖5

生：能。

【賞析】通過前面的探究，學生好像對有了較好的理解。但從課堂的反饋看，學生對的理解存在一些有意思的想法，比如，他們覺得如果整體是2 個、5 個等，不能找到，理由是有余數。張老師以2 個圓為例，通過圖形表征，讓學生明白，只要平均分成4 份，取1 份，這1 份不論是多少，代表的都是，從而突破認知難點。

（引導同桌之間討論： 到底把什么平均分成4 份，1 份就是）

生1：不管多少個物體，只要把它們平均分成4 份，然后中間有一部分明顯表示出來的，就叫。

師：數學書上說的是：把“一個整體”平均分（將黑板上“4 的倍數”改為“一個整體”）。這個整體的數量可能是4 的倍數，也可能不是，只要把這個整體平均分成4 份，其中的1 份就是它的?，F在我們對分數有了新的認識，今天這節課就是對分數進行再認識。

【賞析】學生對分數的理解不是一步到位的，而是逐步深入、螺旋上升的。張老師重視學生形成概念的整個過程，讓學生在經歷找整體是不同個數的的過程中，不斷嘗試概括什么是。在學生的新知與已有知識和經驗的沖突中，不斷修正，逐步形成概念，完善認識。

師：（指圖6）你們看這幅圖，它能不能代表你心目中所有東西的？

圖6

1.學生想象。

2.學生操作。

3.反饋交流。

（4 個學生上臺，將幾幅圖按以下方式操作后，進行對照比較）

圖7

4.小結。

師：所以，不管是什么東西，只要平均分成4 份，1 份就表示這個東西的，你們同意嗎？

【賞析】有調查發現，絕大多數學生均不能從“數量比”直接轉化為“份數比”，但是如果能夠將所給圖形結構化一些，便會有一部分學生產生轉化；如果結構化更加明顯，如畫分割線，大多數學生能夠直接提煉出“份數比”。為了推動從“數量比”到“份數比”的轉化，張老師從整體是4 個到多個再到2 個，讓學生通過想象、畫圖表征等一系列活動，能夠自主尋求并找出圖形分割的共同點，從而對分數有進一步的認識。

三、再次引導探究，進行部分與整體的推算

師：到這兒，我們對分數已經有更多認識了，最后還有點時間，和大家做一個游戲。

（一）確定部分：如圖8，陰影部分是多少？

圖8

師：你心里隨便想一個數，為了交流方便，這個數是整數。你想想，它的是多少？

生：6。

生：2。

生：18。

生：心中想的那個數大小不同。

師：大家心里想的那個表示整體的數不同，同意嗎？

生：同意。

（二）推算整體：整體是多少？

生：是9，因為2 份是6，6 除以2 就是1 份的量，1 份再乘3，就是表示整體的數。

（三）理解分母、分子的含義。

生：平均分成3 份，取2 份。

（四）嘗試概括什么是分數。

師：現在我們再改造改造，什么叫分數？

（師生共同得出： 把一個整體平均分成4 份也行，3 份也行，書上說的是若干份，這樣的1 份或幾份，我們就把它叫作分數）

【賞析】給出分數的圖的模型，通過想陰影部分是多少，推算整體是多少，把對的理解（平均分成3 份，取2 份）與運算“□÷3×2”掛鉤，將對分數的認識轉化為一個運算的過程。 這樣，心中只要有圖，再去理解模型的含義，就能解決實際問題。

四、回顧全課，總結收獲

（一）圈收獲，說理由。

師：上到這兒，這節課基本上告一段落了，我們對分數又有了新的了解。 其實還存在好多問題，比如，有同學說5 個磁扣到底怎么回事？因為難度確實太大，我們以后再處理。

師：折騰了半天，我們要回想回想了，不然就白折騰了。這一大黑板結論都是我們共同努力的成果，你覺得哪個對自己的啟發最大，你就上去圈哪個。大家圈的不一定一樣，因為每個人的收獲不一樣。

生1：（圈了圓紙片）因為我之前沒想到它。

（二）回首課始，聯系對倍數的理解。

師：還記得課始時說老師的年齡是你的4倍嗎？假設你11 歲，（板書：11）老師的年齡是44歲，（板書：44）誰能講一個關于的故事？

【賞析】原來比較大小的時候可以來回說：我比你多2 個，你比我少2 個。到了倍數的時候，只說一個方面，即只說44 是11 的4 倍，學生會有困惑：倒過來說可以嗎？張老師在這里適時將分數與倍數聯系起來，讓學生明白分數其實刻畫的也是兩個量之間的關系。

在這節“分數的再認識（一）”中，作為“分數意義”教學序列的第一節課，在課堂上，張老師通過想一想、畫一畫等手段，使學生認識到，“部分與整體的關系”不再只是數量上的比，還可以看作份數的比，幫助學生完成從“數量關系”到“份數關系”的轉變。此外，這節課還強調在分數中部分與整體的互推，重視豐富對數概念的理解，注意發展學生對分數意義的深入理解。