善用背景知識構建模型解題

楊亞軍

【摘 要】要發展和培養學生的學科核心素養，必須在日常的課堂教學和訓練中逐步培養。過去靠刷“套題”、刷“陳題”的方法已無法適應教育和高考選拔對人才的培養要求，適應這一變化的有效辦法應該是設計、編制對學生來說陌生的新問題。本文從一道立體幾何陌生問題的設置與解決，做了一點探索與實踐。

【關鍵詞】核心素養直觀想象幾何模型邏輯推理

【中圖分類號】G643.5?????? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）24-0288-02

“素養”，是一個人在非意識的情況下，他的行為模式和能力水平的體現。要發展和培養學生的學科核心素養，必須在日常的課堂教學和訓練中逐步培養。特別在學生有了較扎實的低階思維能力（知識、技能、應用）的基礎上，要有意識地培養和發展學生的高階思維能力（分析、評價、創造），但這靠刷“套題”、刷“陳題”幾乎是不可能的。較有效的辦法應該是設計、編制對學生來說陌生的問題，以此讓學生調動其所學，來解決這樣的問題。所謂陌生的問題，就是要讓學生咋一看無從下手，更沒有現成的同類題型或解法套路可直接套用。下面結就以這個具體的“陌生”問題為例，談談學生在面對這類問題時，該如何思考，如何應用平時所學解決這樣的新問題。

問題：已知三條直線a，b，c兩兩異面，在空間是否存在這樣的直線，它與這三條直線a，b，c同時相交？若存在，有幾條？若不存在，請說明理由。

首先，這是一道開放的問題;這也是一道相對抽象的問題。其次，這是一道對學生而言相對陌生的問題，與他們平時常見的，在具體幾何體中判斷或證明有關直線、平面間位置關系的題目大不一樣。沒有具體的幾何體作載體，問題的解決方向和問題的結論都很茫然，加之異面直線本身就是立體幾何中理解起來有一定難度的一個概念，而且這里涉及到了三條兩兩異面的直線。

在學生完成了對立體幾何相關內容的學習之后，給出這樣的探索性問題，既能很好的檢查學生對立體幾何雙基的掌握情況，更能激發學生調動所學，認真分析、大膽嘗試、相互交流，在思考與實踐，在探索與碰撞中發展學科核心素養，鍛煉、提升高階思維能力。

該問題難在情境陌生、研究對象的不確定性及結論的未知性上。若學生一下子確實找不到切入點，可引導學生將問題難度先降低一點：比如將異面直線的條數由三條減為兩條，使問題變為“已知直線a，b異面，過空間的一點P，作與直線a，b同時相交的直線，這樣的直線能做出來嗎？若能，能作幾條;若不能，請說明理由?！比魧W生還是沒有頭緒，可再將兩條異面直線改為共面直線（比如相交或平行），讓學生考慮。

這時，大多數學生應該能意識到，平面出現了（兩條相交或平行直線都能確定一個平面），不妨記這個平面為M。一旦有了這個平面M，（a，bM），學生的思路應該能打開了。此時的結論顯然與點P是否在平面M內密切相關。比如，當a∥b時，若點P∈M，則過點P與直線a，b同時相交的直線有無數條;此時若點P M，則過點P與直線a，b同時相交的直線不存在（由異面直線的判定定理可知）。當a∩b=A時，若點P∈M，則過點P與直線a，b同時相交的直線有無數條;此時若點P M，則過點P與直線a，b同時相交的直線有且只有一條（就是直線PA）。從這個“降維”問題的解決中，我們能感受到平面M在解決問題中的作用。事實上，在幾乎所有立體幾何問題的解決過程中，特定的平面都扮演了重要且關鍵的角色（空間問題平面化本來就是我們研究解決空間問題的一條基本途徑）。

此時教師可以引導學生，在剛才解決“降維、簡化”以后的問題中，我們引入的平面M，相當于我們引入了一個背景或參照物，這使得我們的研究有了參考，有了分類的標準。我們以前也有過類似的實踐，比如，我們過去要比較log32與log3π的大小，是怎么做的？就是利用對數函數y=log3x的單調性進行比較。問題是，當時怎么就想到要用這個對數函數的性質？其實，我們當時是注意到這兩個對數的底數相同，于是把這兩個具體的對數形式的數，放在了一個背景中，放在了一個與他們同底數的對數函數y=log3x的背景中，從而使問題迎刃而解。

有了這樣的實踐體驗與探索之后，我們再面對兩條異面直線的情況，我們可否也把它們置于某種我們熟悉的背景中研究呢？答案是肯定的。這時能否也引入平面幫助解決呢？有些學生想到了“在研究異面直線所成的角時，可通過空間任意一點分別作兩條異面直線的平行線，從而得到一個平面”;也有同學想到了“分別在兩個平行平面中的兩條直線，要么平行，要么異面”;還有些同學想到了“分別經過直線a，b的平行平面M，N（如圖1所示，M∥N，a，b′M，b，a′N，a∥a′，b∥b′）”.經過一番分析、探索之后，思路逐漸清晰。加之題目中兩條直線a，b的地位是平等的，所引入的平面經過直線a還是經過直線b，可能對結論產生影響。

至此，我們把這個問題也置于了我們熟悉的情境或背景中——面面平行。有了這個熟悉的背景，剩下的問題學生就能輕易解決。若點P∈a（或點P∈b），則過點P與直線a，b同時相交的直線有無數條;若點P∈M，但點P a（或點P∈N，但點P b），則過點P與直線a，b同時相交的直線不存在;若點P M，且點P N，則過點P與直線a，b同時相交的直線有且只有一條（這條唯一的直線就是直線PQ，其中Q點就是由點P與直線a確定的平面G與直線b的交點，如圖2）。至此，這個學生咋一看陌生，甚至無從下手的題目，在引入了他們熟悉的平行平面的背景之后，問題也順利解決。

進而，對一開始提出的問題：與三條兩兩異面的直線都相交的直線的條數問題也不難解決。只要能把問題轉換為：比如過其中一條直線c上的每一點，作與另兩條異面直線a，b都相交的直線，是否能做出？利用剛才的結論，直線c上至多存在兩個點，做不出與直線a，b都相交的直線，而直線c上的其余無數個點，過每個點都能做出一條符合題意的直線。故，已知三條直線a，b，c兩兩異面，在空間存在無數條與直線a，b，c同時相交的直線。

在此基礎上，我們會發現，要真正理解異面直線，只有在整個立體幾何學習結束之后，回過頭來，站在面面平行的大背景下看異面直線，才能看清異面直線概念的本質：每一對異面直線原來都有一對“隱形的翅膀”——分別經過兩條異面直線的唯一一對平行平面。在這樣的背景下，研究異面直線的距離，包括一開始給出的“問題”，都猶如探囊取物。

異面直線公垂線的存在性與唯一性，對學生的理解也是一件相對困難的事情。若能借助于圖3中（圖中EF為異面直線a，b的公垂線段）的平面N（由直線a′，b確定，a′∥a，a′∥a′′，AD⊥平面N于點D）做背景，依靠圖3這一直觀的模型，學生就易于理解和掌握了。

這樣的實踐體驗，給學生今后面對陌生問題時，提供了一種分析、研究解決的途徑，適當地降低問題難度，摸索解決的切入點;在此基礎上，尤其是面對抽象問題時，可考慮聯系所學，引入適當的背景或模型，將抽象問題具體化、直觀化，再利用所學知識、方法、經驗解決陌生的新問題。

參考文獻

[1]《普通高中數學課程標準（2017年版）》，中華人民共和國教育部制定，人民教育出版社，2018.1：4-8.

[2]《數學必修2》，嚴士健，王尚志主編，北京師范大學出版社，2014.6（2017.7）：36-41.