在挖掘知識本質的過程中培育數學核心素養

唐明超

摘 要：本文基于核心素養視角對試題背景進行解讀、難點剖析與整體評價，聚焦核心素養培育途徑，談如何在解決實際問題的過程中發展核心素養.認為素養的發展與培育應該回歸自然生長狀態，在挖掘知識本質的過程中潛移默化地提升能力并發展素養，立足基礎知識，領悟數學基本思想，探尋并尊重知識的邏輯發展規律，知其然并知其所以然，循序漸進地發展解決實際問題的綜合能力與核心素養.

關鍵詞：知識本質;挖掘;核心素養

1 試題呈現

題目 （2019年云南省中考數學23題）如圖1，AB是⊙C的直徑，點M，D在AB的延長線上，E是⊙C上的點，且DE2=DB·DA.延長AE至點F，使AE=EF，設BF=10，cos∠BED=45.

（1）求證：ΔDEB∽ΔDAE;

（2）求DA，DE的長;

（3）若點F在B，E，M三點確定的圓上，求MD的長.

2 基于核心素養的試題解讀

2.1 試題背景解讀

題目以圓為背景，以垂直關系為命題要素，以點線、線線位置關系為研究重點，聚焦相似三角形基本性質，呈現了一道外表樸實無華卻內涵豐富的中考試題.注重考查中位線、直徑所對的圓周角是直角、三角形相似與全等的判定定理及性質、銳角三角函數等基礎知識;滲透數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想;考查數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理等數學核心素養.

2.2 難點剖析

考查以圓為背景的證明與計算的試題往往具有高度的抽象性，對邏輯推理能力和數學運算水平要求較高，如何將問題進行聚焦與轉化，實現抽象問題直觀化，復雜問題簡單化是解題的關鍵.相似三角形的證明與應用，邊角關系的合理轉化與計算，對隱藏知識點的挖掘以及數學模型的構建都是解題的難點所在.

2.3 試題整體評價

整體來看本題是一個好題，不偏不怪，緊緊扣住基礎知識與基本思想方法，基于學生的元認知發展水平進行題目設計，在學生的最近發展區設置問題，具有起點低、有坡度、結構嚴謹等特點，既能檢測學生對基礎知識的理解與掌握情況，還能夠有效區分學業水平發展層級，具有較好的區分度和選拔功能.試題突出素養立意，注重數學思想方法的滲透，強調對問題本質的挖掘，引導考生在分析、解決問題的過程中體驗知識的發生與發展過程，將知識的檢測與問題的解決過程置于知識的發展邏輯之中，有效引導學生思考探究并解決實際問題，從而實現揭示問題本質，感受知識的發生與發展過程，真正獲得知識積累與能力提升.

3 基于試題的解析談核心素養的培育途徑

3.1 轉化與化歸思想與數學抽象

試題重在考查學生對知識本質的理解與掌握情況，如第（1）小題要求證明三角形相似，但是題目并沒有直接給出邊長或是邊長的比例關系，而是以切割線定理的等式給出，一方面考查學生能否將等式轉化為三角形對應邊長的比例;另一方面檢測學生對切割線定理本質的探究活動經驗的積累水平.試題圖形特征及其幾何關系具有較強的抽象性，考查學生數學抽象素養發展水平的同時檢測學生將抽象問題進行合理轉化的意識和能力.

分析整個證明過程，明確解題任務，制定解題步驟，發現要證明有一個公共角的兩個三角形相似只需要證明兩鄰邊對應成比例即可，成功實現問題轉化.直接由已知條件DE2=DB·DA得DEDA=DBDE，在△DEB與ΔDAE中，因為∠D=∠D，所以ΔDEB∽ΔDAE.

3.2 函數與方程思想與數學運算

第（2）小題看似普通，但是設問背后卻隱藏著較復雜的推理與計算過程.比如要求DA的長度既可以考慮構造三角形直接求解，也可以考慮先求解AB與BD，再間接計算DA.解題可緊緊圍繞已知條件，結合圖形特征及其幾何關系先求出AB=10，AE=8，BE=6，再根據角與角的等量代換挖掘出CE⊥DE與BF⊥DE這兩個隱含的垂直關系，接下來運用銳角三角函數及三角形相似比得出正確答案.整個解題過程思路清晰，根據已知條件不斷挖掘隱含的等量關系，最終得出正解.

如圖2，取DE與BF的交點為G，由已知得CE為ΔABF的中位線，所以CE=12BF=5.從而AB=10.

由∠AEB=∠FEB=90°，得Rt△AEB≌Rt△FEB.

在Rt△AEB中，由cos∠BED=45=cos∠EAD=AEAB，解得AE=8.

由勾股定理或銳角三角函數可得BE=6.

因為∠AEC+∠CEB=∠DEB+∠CEB=90°，

所以CE⊥DE.從而BF⊥DE.

由cos∠BED=45=EGEB，解得EG=245.

在Rt△BGE中，由勾股定理或銳角三角函數可得BG=185（當然此處也可以用Rt△BGE∽RtΔBEA得到）.

再由Rt△CED∽Rt△BGD得CEBG=CDBD=EDGD，即有5185=5+BDBD=245+GDGD.解得BD=907，GD=43235.

從而DA=DB+BA=1607，DE=EG+GD=1207.

顯然，本題的解答過程較復雜，不夠簡練，思路雖然清晰但是方法不是最優，值得改進.通過分析以上解題過程發現，可以省去中間求解BG與GD的步驟，只需要用好第（1）小題的結論ΔDEB∽ΔDAE即可.因為在ΔDEB與ΔDAE中有DA與DE，如果能用好三角形相似，找到已知與未知之間的聯系和橋梁，即可順利解題，步驟如下.

在Rt△ABE中，由cos∠BED=45=cos∠EAD，解得AE=8，BE=6.

因為ΔDEB∽ΔDAE，所以DEDA=DBDE=EBAE=68.

因為DB=DA-AB=DA-10，

所以DEDA=34，DA-10DE=34.解得DA=1607，DE=1207.

用好函數與方程的數學思想在很大程度上簡化了計算過程，省去了中間量的求解，而且自然而然地將抽象問題直觀化，不必重復尋找相似三角形進行未知量之間的轉化，實現了優化數學運算的目的，發展了學生的數學運算核心素養.

3.3 數形結合思想與數學建模

仔細審題不難發現，要能準確求出DA與DE，關鍵在于弄清點D與點A，B，E三點之間的關系，所以問題即可轉化為求解點D的坐標.又因為題目中活躍著垂直這個特殊的幾何關系且有AF⊥BE，可以考慮建立平面直角坐標系求出點D的坐標，從而實現解題.

根據已知條件及（1）中結論可建立如圖4所示的平面直角坐標系，則A（-8，0），B（0，6），C（-4，3），所以lAB∶y=34x+6，lEC∶y=-34x.

設D（m，n），lED∶y=kx，因為∠AEC+∠CEB=∠BED+∠CEB=90°，所以CE⊥DE.

所以-34×k=-1，解得k=43，即lED∶y=43x.

聯立方程y=43x，y=34x+6，解得D（727，967）.

過點D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為點P，Q，在Rt△DQE中，m=DQ=DEsin∠BED=35DE，所以DE=1207.

同理，在Rt△DPA中，n=DP=ADsin∠DAE=ADsin∠BED，所以DA=1607.

從以上解題過程可以看出，抓住關鍵因素，合理建立數學模型，將純幾何問題轉化為代數運算，實現了數與形的有機結合，使得問題更加簡單化、直觀化，有效降低思維難度.

3.4 挖掘問題本質與邏輯推理

試題的整個證明與計算過程均涉及邏輯推理數學核心素養的考查，而且對學生的邏輯推理能力要求較高.第（3）小題先要根據已知條件找到四點所確定的圓，其次設法求出MA，最后得到MD的長度，突出考查學生的邏輯推理能力和分析、解決問題的能力.首先以BF為直徑作圓交AD于B，M兩點，此時B，E，F，M四點共圓，實現了第一步的成功推理.要求MD，只需求BM.易知Rt△DGB∽Rt△FMB，所以DGFM=GBMB=DBFB.由（2）知BD=907，GD=43235，BG=185，BF=10，代入計算得MB=145，從而MD=BD-BM=35235.整個解題過程緊緊扣住前兩題的解答成果，基于邏輯推理素養發展水平找到了已知與未知之間的邏輯聯系，從而成功得出答案.

如果仔細觀察圖形并用好圖象特征容易發現可直接在Rt△AMF中求解AM.因為BF為直徑，點M在圓上，所以又產生新的垂直關系，可以將問題進行適當轉化放置于同一個直角三角形中，利用銳角三角函數得出MD，這樣既可以省去復雜中間量的求解，也可以實現解題的優化，過程如下：

如圖3，∠BMF=90°，所以cos∠FAM=cos∠BED=AMAF=45.所以AM=645，所以MD=AD-AM=35235.

4 結束語

核心素養是個體發展水平的具體體現，核心素養的培育關鍵在于發展學生發現并提出問題，思考并解決問題的綜合能力.發現問題的過程就是探究知識本源的過程，擺脫題海戰術的有效途徑就是嘗試對知識本質進行探究，盡可能還原知識的發生與發展過程，掌握知識的邏輯發展規律，構建知識網絡，立足四基，發展四能，逐步學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，形成適應社會發展所必需的的關鍵能力和必備品格.

核心素養看不見也觸不到，因為它的形成和發展具有過程性和循序漸進性，將素養的發展過程回歸自然狀態，在尋找知識本質的過程中培育和發展核心素養，實現知識和素養水平雙重提升，而且知識的積累和素養水平的提升可形成互補效應，最后都將作用于實際問題的解決和處理能力上來.

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（收稿日期：2019-08-28）