高職數學混合式教學研究

呂揚

摘 要：文章圍繞無窮小量闡述了高職數學混合式教學的全過程，提出應借助信息化教學手段幫助學生理解無窮小量的概念、性質和應用，有效彌補傳統線下教學中不便解釋的難點問題，發揮高職數學混合式教育的優勢。

關鍵詞：混合式教學;MATLAB軟件;幾何畫板

中圖分類號：G434;G712 文獻標識碼：A 收稿日期：2020-10-18 文章編號：1674-120X（2020）35-0028-02

無窮小量是高職學生學習函數極限內容時的一個重要概念，也是學生不易掌握的知識點。教師可以從學生課前線上預習測試中反饋的疑難問題入手，在線下課堂重點圍繞疑難問題展開教學，指導學生利用反證法、舉例法、比較法，借助幾何畫板、MATLAB軟件、微視頻等信息化手段，組織學生開展小組討論，幫助學生直觀地認識無窮小量。

一、混合式教學

混合式教學是將在線教學和傳統教學的優勢結合起來的一種“線上”+“線下”的教學。國內首次正式倡導混合式教學概念的是何克抗教授。他認為，混合式教學模式把傳統教學方式的優勢和網絡化教學的優勢結合起來，既能發揮教師引導、啟發、監控教學過程的主導作用，又能充分體現學生作為學習過程主體的主動性、積極性與創造性。

二、混合式教學的實施

（一）教學目標及重難點分析

本課教學主題是無窮小量。授課對象是大一高職學生，他們已經學習了函數極限的概念，初步掌握了MATLAB軟件的操作，但是對無窮小量的概念和性質理解不清晰?？梢愿鶕n程標準和學情分析，確定本課的教學目標。知識目標：理解無窮小量的概念;掌握無窮小量的性質及其應用。能力目標：能夠根據無窮小量的性質計算極限。素養目標：培養學生應用數學知識解決實際問題的數學應用素養。結合三維目標，本課的教學重點為：無窮小量的概念和性質;教學難點為：理解無窮小量的性質，學會應用性質計算極限。

（二）教學實施過程

1.課前導預習

課前，教師在學習通上發布小組學習任務。

任務1：預習本課內容，并完成相應習題（節選）。

習題1（單選題）：下列說法正確的是（? ?）

A.無窮小量是越來越小的量。

B.無窮小量是很小很小的數。

C.無窮小量是極限為零的量。

D.無窮小量是無限變小的量。

任務2：以小組為單位，調查收集一個生活中的無窮小量。教師分析學生的答題情況，發現學生對無窮小量的概念認識不清，于是可以提出兩個疑問：有界量乘無窮小量為什么是無窮小量？無限個無窮小量相加的結果是什么？

2.課中導學習

課中，為了幫助學生理解無窮小量的概念，明確無窮小量與很小很小的數以及越來越小的量的區別，教師可直接給出無窮小量的描述性定義，結合各組學生找到的生活中的無窮小量，引導學生說出無窮小量的數學定義。教師根據無窮小量是極限為零的量這一定義，指導學生借助幾何畫板、MATLAB軟件分別從圖像、計算結果兩個方面，利用反證法推導出無窮小量不是很小很小的數，也不是越來越小的量。

（1）無窮小量的描述性定義：在變化過程中絕對值越來越小、趨近于零的量。比如，學生找到的無窮小量：打乒乓球時，乒乓球落地后，若不對它施加外力，那么在空氣阻力和摩擦力的作用下，乒乓球彈起的高度會越來越小，最終趨向于零，是一個無窮小量，極限為零。（數學定義）

（2）教師指導學生采用反證法把無窮小量與很小很小的數以及越來越小的量進行區分，加深對無窮小量這一概念的理解。①假設無窮小量是很小很小的數，如0.000001。因為0.000001的極限是它本身，與“無窮小量極限為零”矛盾，因此假設不成立，即無窮小量不是很小很小的數，常數中只有零的極限是它本身，所以常數中只有零這一個無窮小量。②假設無窮小量是越來越小的量，如-n，利用MATLAB軟件計算-n，當n趨向于正無窮大時的極限，程序如下：

結果是負無窮大量，與“無窮小量極限為零”矛盾，因此假設不成立，即無窮小量不是越來越小的量。

教師指導學生借助幾何畫板理解“有界量乘無窮小量仍為無窮小量”的性質。例如，計算當x趨向于無窮大時，函數f（x）=的極限，教師可以指導學生借助幾何畫板畫出函數的圖像，如圖1所示。

顯然，無論趨向于正無窮大（沿著x軸向右無限延伸）還是負無窮大（沿著x軸向左無限延伸），曲線f（x）=都無限趨向于x軸，函數極限為零，是無窮小量。

教師根據課前學生預習時提出的問題“無限個無窮小量之和是什么？”讓學生開展小組討論，借助微視頻、MATLAB軟件，利用舉例說明法解決問題。步驟如下：

（1）學生觀看視頻“芝諾悖論之阿基里斯悖論”。

（2）教師做視頻分析：假設阿基里斯的速度是烏龜的十倍，為了公平起見，阿基里斯讓烏龜先跑100米（如圖2所示），即阿基里斯在A1處起跑，烏龜在W1處起跑，當阿基里斯跑了100米到達W1處時，此時烏龜向前爬了10米到達W2處;當阿基里斯到達W2處時，此時烏龜又向前爬了1米到達W3處;以此類推，每當阿基里斯到達烏龜所經過的點Wi時，烏龜都會向前爬十分之一的路程。因此芝諾認為阿基里斯追不上烏龜。

（3）教師引導學生思考如何解釋這個悖論。

學生：通過計算阿基里斯追上烏龜要跑的路程除以阿基里斯的速度就可以得到阿基里斯追上烏龜的時間。

教師進一步引導：這位同學的思路非常好！在這個悖論中阿基里斯與烏龜之間的距離從100米到10米、1米……越來越小，向零趨近，是一個無窮小量，那么這無限個無窮小量相加的和就是阿基里斯追上烏龜要跑的路程S。

（6）評價：各組學生完成得都不錯，有的組利用數列的裂項相消法計算和，大部分組利用所學的極限知識計算出結果，有的用手工計算，有的借助幾何畫板，還有的利用MATLAB軟件?？偟膩碚f，大家用數列和極限兩種不同的方法都計算出阿基里斯追上烏龜要跑的路程約是111.11米，是一個常數，顯然可以追上。同時，也得到了一個結論：無限個無窮小量之和可能是一個常數。

（7）教師啟發學生思考：無限個無窮小量之和一定是一個常數嗎？通過列舉學生前面學習過的數列極限進行說明：當n趨向于正無窮大時，n個1/n相加、n的平方個1/n相加、個1/n相加，都表示無限個無窮小量相加，它們的結果依次為：1、無窮大量和0。因此，無限個無窮小量相加的結果沒有確定的結論，因情況而異，數學中將這類極限式稱為未定式，是極限計算的難點，以后會專門學習。

3.課后導鞏固

課后，教師可以布置線上線下課后練習題，考核學生對無窮小量概念的理解是否準確及學生能否運用無窮小量的性質進行極限計算。

（三） 教學效果

通過線上課前課后習題測試，學生對無窮小量概念的理解和性質的應用有了顯著提高。本課利用幾何畫板和MATLAB軟件，采用反證法、舉例說明等初等方法，借助微視頻有效地解決學生對無窮小量的疑問，解決了本課的重難點，極大地提高了學生的學習興趣。

三、結語

本課的混合教學模式具有代表性，可以推廣到函數、極限、導數等概念的教學。教師應把線上課前預習學生反饋的疑難問題作為線下課堂教學的重難點，結合高職學生數學基礎薄弱的特點，弱化性質和定理的推導過程，利用多種方法，借助信息化手段解決教學難點，充分發揮混合式教學的優勢。

參考文獻：

[1]趙書紅.基于超星泛雅平臺的混合式教學實踐與研究[J].中國信息技術教育，2018（12）：101-104.

[2]何克抗.從 Blending Learning 看教育技術理論的新發展[J].國家教育行政學院學報，2005（9）：37-48，79.