“數學理解”背景下的數學概念立體式教學

馬慧娟

摘? 要：初中數學概念立體式教學是在傳統教學體系只注重對概念對象進行數學操作這一平面模型之上增加了分層次教學，有助實現有的放矢的概念學習，從而使數學知識的建構與數學學習核心素養的培養從概念教學這一源頭上打下扎實基礎。

關鍵詞：數學理解;概念;立體式;反思;圖式

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1992-7711（2020）36-100-02

在數學教學中，概念猶如數學知識大廈的磚塊一樣不可或缺。然而由于教師沒有引起足夠重視，加上受傳統教學觀念的影響，概念教學始終缺乏充分的研究與可借鑒的模式，學生對數學概念的全面理解往往難上加難。其實，數學教育家斯根普早在1976年就提出了數學理解的兩種類型——工具性理解與關系性理解。工具性理解是一種以“知其然”為目的的理解，即把數學理解當作掌握知識、促進思考的工具。關系性理解是一種“知其然，且知其所以然”的理解，它需要具有對知識意義及結構上的認識，具備完整的探究過程。傳統概念教學從二維的角度觀察：其中概念、符號、命題等顯性內容與技能、方法、思想等隱形內容構成了數學理解的對象，而對上述對象進行的數學操作包括數學運算、幾何直觀、抽象思維、邏輯推理、對比分析、隨機調查等等。北師大綦春霞教授認為，數學理解更應體現從表象理解、解釋理解到建立聯系、進行思想運用的過程?；诖?，我們把概念領域的數學理解對象具體分成語詞、定義、內涵、外延四部分，然后保持原操作方式不變，結合五個理解層次對數學概念教學的結構模型作了描繪（圖1）。以下結合實踐具體探討：

一、操作形成表象理解

在一元二次方程概念教學中，教師首先出示一道題：學校開教代會要制作一個投票箱，現有長55cm、寬30cm的厚紙板一塊，需要在它的周邊切去四個小正方形，留下的五塊正好搭成一個無蓋方盒，然后再外加蓋子才能糊成紙箱，如果要使無蓋方盒的底面積是900cm2，那么紙板各角應切去邊長為多少的正方形？

“操作”二字在這里的含義并非一般意義上的手工活動，而是指針對現實問題的閱讀、實驗、畫圖、列式、運算等準備性活動。由于問題都來自校園生活，能增強操作的興趣。由于數量關系比較簡單直觀，學生能很快列出方程：（55-2x）（30-2x）=900，化簡后得到：2x2-85x-450=0，教師提問：我們所列的方程與大家以往所學的方程有什么不同呢？應該叫做什么方程呢？這樣可以促進回顧并形成初步的表象理解。

二、歸納形成語言理解

在上述表象理解的基礎上可以板書“一元二次方程”，那么能否馬上得出一元二次方程的定義呢？當然不能，因為此時學生的認識只是停留在表象階段，不能真正界定一元二次方程的內涵與外延。

定義是對概念的語言界定，必須具有嚴格的邏輯規范。對照現行教材的定義“象……這樣方程兩邊都是整式，只有一個未知數，且未知數的最高次數為2的方程叫做一元二次方程?！笨梢园l現，剛才的探究并未強調“整式”這一特殊條件，盡管學生在八下年級學習該塊內容時早已接觸整式與分式，但對于為什么要有這一條件界定且并未清楚。所以教師可以繼續提問：除了“①只有一個未知數、②未知數最高次數為2”這兩個關鍵特征外，大家還有什么發現？學生可能會說：“③都用等號連接?！雹艿仁絻蛇吙梢允嵌问?，一次式，或者一個數;⑤都是整式，⑥兩邊最多只含有一個字母。于是教師可以把這些零散的信息串聯起來讀給學生聽，學生發現非常啰嗦。逗樂之余，學生明白了應該用簡潔直白的語言來概括，通過不斷修整，最終就能得出一元二次方程的定義了。都說“語言是思維的外殼”，組織學生用語言概括并不斷調整字詞的過程不就是思維訓練的過程嗎？

三、辨識形成圖式理解

在前兩步操作的基礎上，我們把概念的處延作為重點研究對象可以進一步深化概念的內涵理解，這需要關注學生的最近發展區，通過有計劃的訓練把探究引向深入，把表象與語言的理解進一步修整，最終在學生頭腦中建立概念的圖式。

1.辨析

辨析一列對象是否在概念的外延范圍內，從而進一步明晰概念內涵。比如讓學生辨析：

下列函數關系中是反比例函數的是（? ? ）。 A.三角形面積一定，底邊與底邊上的高的關系。B.長方形的長與寬的關系;C.三角形底邊一定，面積與高的關系。 D.長方形在周長一定時長與寬的關系。

2.模仿。讓學生模仿寫出更多屬于概念的對象并加以辨析，有助于進一步明確概念的外延范圍。比如：請寫出4個大于11、小于12的無理數。有位學生就寫了? 5? +9，4π-1，? 10? +8， 10? 2 -3四個數，原來他是按照老師給出的方法來寫的，即估算一個無理數然后加一個整數來調整大小。

3.變式。變式是指通過改變概念呈現的非本質屬性而加深對本質屬性形認識的思維過程。實際教學中，為了加深學生對概念變式的理解，也可以呈現非概念的變式。如圓周角概念的變式訓練：如圖2所示的左圖中共有11個角（平角不在內），請將所有角的名稱寫入右圖。這一題幾乎包括了所有圓周角概念的變式，也列入了非圓周角的變式。

四、聯系生成結構式理解

現代認知心理學認為，學習者組織一個知識的聯系性網絡將有助于減輕大腦認知的工作強度，促進知識被科學理解、合理存儲與順利提取。

1.縱向聯系?？v向聯系是指當前所學概念與它的前概念及衍生概念間的聯系，還包括與之相關的同類概念間的聯系。比如學習反比例函數，就要聯系學生在小學學過的反比例，還要與初中學過的一次函數進行比較，同時還要與“平面直角坐標系”、“雙曲線”等概念相聯系。

2.橫向聯系。橫向聯系是不同范疇的概念間的聯系，這種聯系使我們可以看到兩種概念存在性質、學法上的異同。比如一元二次方程的解與二次函數函數圖像上的點存在相通性，一元二次方程與今后要學的一元二次不等式間的聯系。軸對稱與在“距離和最短”問題間的聯系。

當然，概念的聯系是一種不斷聯系與被聯系的過程，需要我們在日常教學中不斷教會學生形成這種意識。

五、反思促進思想性理解

教師引導學生在經歷縱橫聯系后進行及時反思，進一步促進概念學習的相關方法與思想的升華，培養學生的創新意識與創新能力。

總之，數學概念立體式教學是在傳統教學體系的平面模型之上增加了分層次教學，從而使概念教學的過程呈三維立體狀分布，這樣可使概念學習的過程性更加清晰，每一步的目的更加明確。盡管數學理解為我們理解數學概念教學打開了一扇窗戶，但是要真正獲得教學的自由與學習的高效，還需要教師不斷學習相關理論，并在實踐中總結與提高。

參考文獻：

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（作者單位：浙江省紹興市柯橋區安昌中學，浙江? ?紹興? ?312000）