圓錐曲線中的三種斜率結構及相關試題分析

唐正泉

摘 要：斜率是高中解析幾何模塊的重要概念，也是高考解析幾何問題的重要考點.本文對圓錐曲線中斜率之和、斜率之積的結構進行研究，總結了若干結論，并對相關試題進行了分析.

關鍵詞：圓錐曲線;斜率;試題分析

斜率是高中解析幾何模塊的重要概念，也是高考解析幾何問題的重要考點.本文總結了圓錐曲線問題中的三種經典的斜率結構的性質，并展示了基于這三種結構的若干試題.限于篇幅，本文主要圍繞橢圓進行探討，讀者不難將問題推廣到雙曲線、拋物線的背景中.

1 三種斜率結構

1.1 關于坐標軸方向對稱：斜率之和為零

結論1 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和兩定點K（x0，0），P（a2 x0，0），其中0

結論2 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上的定點P（x0，y0）.在橢圓上取兩點A，B滿足直線PA與PB關于x=x0對稱，則直線AB的斜率為定值，且該定值為橢圓在點P處的切線斜率的相反數.

這兩個結論的關鍵都是關于坐標軸方向對稱，用解析幾何的語言刻畫就是kPA+kPB=0.

結論1在2018年的全國Ⅰ卷中出現：

題1 （2018年全國Ⅰ卷理科第19題）設橢圓C∶x2 2+y2=1的右焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

結論2是2011年全國高中數學聯賽解析幾何問題的命制背景.

1.2 垂直結構：斜率之積為-1

結論3 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上的定點P（x0，y0）.在橢圓上取兩點A，B滿足PA⊥PB，則直線AB過定點（（a2-b2）x0 a2+b2，-（a2-b2）y0 a2+b2）.

該結論的關鍵是PA⊥PB，用解析幾何的語言刻畫就是kPAkPB=-1.

該結論在2017年的高中聯賽福建省預賽中出現：

題2 （2017年全國高中數學聯賽福建省賽區預賽）已知橢圓C∶x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）過點P（-2，1），且離心率為2 2.過點P作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A，B兩點（點A，B與點P不重合）.求證：直線AB過定點，并求該定點的坐標.

1.3 “第三定義”：斜率之積為-b2 a2

結論4 給定定點A（-a，0），B（a，0）.設動點P滿足kPAkPB=-b2 a2，則動點P的軌跡方程是x2 a2+y2 b2=1（y≠0）.

結論5 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上關于坐標原點對稱的兩定點A，B.在橢圓上取點P使得直線PA，PB斜率存在，則直線PA，PB斜率之積為定值-b2 a2.

結論4來自一個教材的習題，將這一結果稱為橢圓的“第三定義”，是因為用它可以以不同于第一定義、第二定義的方式定義橢圓.結論5是結論4逆命題的一個推廣，對點P和點A運用“點差法”可以簡捷地證明.

2019年的全國Ⅱ卷運用“第三定義”的方式給出橢圓：

題3 （2019年全國Ⅱ卷理科第21題第（1）問）已知點A（-2，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-1 2，記點M的軌跡為曲線C.求C的方程，并說明C是什么曲線.

2 基于三種斜率結構的試題分析

以上探討的三種斜率問題在處理上有很強的共性，即圍繞kPAkPB和kPA+kPB形式的結構進行一系列的對稱計算.相關問題涵蓋了軌跡方程、定點、定值等基本設問，也涉及了設而不解、韋達定理、點差法等常見手法，因此成為了設置考題的經典背景.為了使試題更具有創新性，命題者還可以在這些斜率結構的交匯處命題，下面給出若干例子.

2.1 結合“坐標軸方向對稱”與“垂直”

題4 （2020年泉州市高二上學期期末）已知△PAB的兩個頂點A，B的坐標分別是A（0，3），B（0，-3），且直線PA，PB的斜率之積是-3 2.

（1）是否存在定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值？

（2）設點P的軌跡為Γ，點C，D，E是Γ上互異的三點，且滿足AC，AD關于y軸對稱，AC⊥AE.求證：直線DE過定點.

解析 （1）軌跡方程為y2 3+x2 2=1（x≠0），定點為F1（0，-1），F2（0，1）.

（2）由于點C，D，E在Γ上，所以AC，AD，AE斜率存在.

由條件kAD+kAC=0，kAE·kAC=-1可得kAD·kAE=1.

設lDE∶y=kx+m，D（x1，kx1+m），E（x2，kx2+m），

則kAD·kAE=1（kx1+m-3）（kx2+m-3）=x1x2.

聯立直線和橢圓方程并消元，用韋達定理將上式化為m2-6 3m+15=0.

解得m=3（舍去）或m=5 3.

所以直線DE過定點（0，5 3）.

分析 本題第（2）問將斜率之和為0與斜率之積為-1兩個關系巧妙結合，構造了斜率之積為1的結構，使圖形更加新穎，也更有“幾何味”.

筆者經過探究發現，此題的結論可以進一步一般化為：

結論6 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上的定點P（x0，y0），在橢圓上取兩點A，B滿足kPAkPB=t，則直線AB過定點（-（ta2+b2）x0 a2+b2，（ta2+b2）y0 a2+b2）.

證明需要繁瑣的計算，這里略去.

2.2 結合“第三定義”與“垂直”

題5 （2019年全國Ⅰ卷理科第21題第（2）問）給定曲線C：x2 4+y2 2=1（y≠0），過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點E，連結QE并延長交C于點G.證明：△PQG是直角三角形.

證明 由結論5，kPGkQG=-1 2.（證明可采用點差法，此處略）

由兩點間的斜率公式可以看出，kQG=1 2kPQ.

綜合以上兩式得到kPGkPQ=-1，這表明PG⊥PQ，即△PQG是直角三角形.

分析 不難看出，此題正是從結論5的斜率乘積結構出發，以kQG=1 2kPQ為橋梁，構造了一個垂直結構.有了對以上幾種斜率結構的探討和對本題命題思路的分析，我們得到了上面的簡捷解法.

題6 給定橢圓C：x2 3+y2=1和圓O∶x2+y2=1，設點A，B為橢圓C的上、下頂點，過點A作直線l，l與橢圓C和圓O的另一個交點分別是點P，Q，則∠PBQ的最大值是.

解析 由結論5，klkPB=-1 3;又由l⊥QB，klkQB=-1，所以kQB=3kPB.

由圖形關于y軸的對稱性，不妨設kl<0.設kPB=t，則kQB=3t，其中t>0.

所以tan∠PBQ=3t-t 1+3t2=2 1 t+3t≤3 3，其中，當且僅當t=3 3時等號成立.

所以tan∠PBQ的最大值是3 3，即∠PBQ的最大值是π 6.

分析 此題巧妙設計圖形，綜合“第三定義”與“垂直”兩個結構，得到了kQB=3kPB的有趣性質.在這一性質上，該題結合三角函數、基本不等式等考點設置了一個最值問題，形式新穎，具有很高的區分度.

2.3 結合“坐標軸方向對稱”與“第三定義”

當我們同時有k1+k2=0和k2k3=-b2 a2時，我們會得到k1k3=b2 a2，這恰好是雙曲線的“第三定義”的結構.因此，結合“坐標軸方向對稱”與“第三定義”能夠使我們在圖形中溝通橢圓和雙曲線，得到一系列有趣的問題.限于篇幅，我們不加證明地展示一個簡單的例子.

題7 給定橢圓C1：x2 4+y2=1和雙曲線C2∶x2 4-y2=1，設點A，B為C1和C2的兩公共點，過點A的直線l與C1和C2的另一個交點分別是點P，Q，求證：∠PBA+∠QBA=π.

本文以橢圓為例，介紹了圓錐曲線問題中三個經典的斜率結構，并展示了基于這三種結構的創新式、綜合式的命題實踐.將綜合問題拆解為幾個簡單的背景，有利于解題者理解試題的內涵;而將簡單的背景組合成綜合問題，有利于命題者設置有區分度的試題.

（收稿日期：2020-02-27）