淺談高考中的數列求和問題

王雪

摘 要：數列在高中數學知識體系中的地位極其重要，通過對近幾年的高考試題的整理分析，發現數列求和問題在其中扮演著“樞紐”的作用.因此，本文對常見數列求和方法進行整理、分析，并歸納其適用題目所具備的特征.

關鍵詞：高考數學;數列;求和

高考中關于數列求和的考查較為常見，題型的主要方向有正向、逆向（由數列的前n項和求數列的通項公式或其他量）、數列求和與函數（將數列前n項和看作關于n的函數）、不等式綜合應用（求取數列和的最值或證明不等式成立）.

數列求和的常用方法有公式法求和、倒序相加法求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和、分組轉化法求和等.在解題中，學生常常分不清何時采用何方法，下面通過幾道典型例題，對幾種方法的適用特征進行總結.

1 公式法求和

若一個數列是等差數列、等比數列以及由等差數列、等比數列通過加、減運算構成的數列，則其可以使用相應的等差數列或等比數列的公式直接進行求和運算.

例1 （2016年全國Ⅰ卷文科第17題）已知an的通項公式an=3n-1，數列bn滿足b1=1，b2=1 3，anbn+1+bn+1=nbn.求bn的前n項和.

分析 此題在判斷出該數列為等比數列的基礎上，直接應用等比數列的前n項和公式進行計算，屬于簡單題.解題的關鍵在于熟練地掌握及應用公式.

解析 因為an=3n-1，所以（3n-1）bn+1+bn+1=nbn.整理，得bn+1=bn 3.

所以數列bn是首項為1，公比為1 3的等比數列.

設bn的前n項和為Sn，則

Sn=1-（1 3）n 1-1 3=3 2-1 2×3n-1.

總結 （1）等差數列前n項和公式Sn=n（a1+an） 2（公式1），Sn=na1+n（n-1） 2d（公式2）在解題時需要根據已知條件決定選用哪個公式更為簡便：若已知首項、末項和項數時，則選擇公式1;若已知首項、公差和項數時，則選擇公式2.

（2）等比數列的前n項和公式

Sn=na1， q=1，a1（1-qn） 1-q=a1-anq 1-q， q≠1.

易錯點 在解題時需要對q的取值進行分類討論.

拓展 由奇數項和偶數項分別構成的等差或等比數列以及等差數列各項的絕對值構成的數列、等差數列的通項乘（-1）n構成的數列可以適用公式法進行數列求和.

2 倒序相加法求和

若一個數列中與首末兩項等距離的兩項的和相等，則可使用倒序相加法來求此類數列的和.該方法的本質思想是消項.

例2 已知f（x）=x3 1+x3，求f（1 2020）+f（1 2019）+…+f（1）+f（2）+…+f（2020）的值.

分析 由于該式的第一項與最后一項互為倒數，第二項與倒數第二項互為倒數，依次類推.考慮f（x）+f（1 x）的結果，f（x）+f（1 x）=x3 1+x3+1 x3 1+1 x3=x3 1+x3+1 x3+1=1.

解析 令所求式子和為S，則S=f（1 2020）+f（1 2019）+…+f（1）+…+f（2020）.①

S=f（2020）+f（2019）+…+f（1）+…+f（1 2020） .②

兩式相加，得2S=1+1+…+14039個

所以S=4039 2.

總結 解決此題的關鍵是通過觀察題目所給的表達式的形式，發現問題的答案（f（x）+f（1 x）=1），此類問題的答案往往在問題之中，我們在解答時要注意從問題入手，之后應用倒序相加法求和.應用倒序相加法求和的步驟是：

（1）令所求式子和為S，S=a1+a2+a3+…+an;

（2）將S的表達式等式右端進行倒置：S=an+an-1+an-2+…+a1;

（3）將以上兩式相加得2S，進而求得S的值.

拓展 由此例題我們發現，若能在所給要求和的題目中得到某表達式的和為常數，例如f（x）+f（-x）=c， f（x）+f（1 x）=c，…此種情況下，我們可以應用倒序相加法來解題.

由此可以得出結論：非等差數列也可以使用倒序相加法進行求和[1].

3 錯位相減法求和

錯位相減法求和適用于an·bn型數列，其中an，bn分別是等差數列、等比數列（即cn=（an+b）qn-1（q≠1））.我們首次接觸錯位相減法是在推導等比數列的前n項和時，通過錯位相減法的應用，可使數列求和計算化繁為簡.

例3 （2016年山東高考理科第18題）已知數列an=6n+5，bn=3n+1，令cn=（an+1）n+1 （bn+2）n，求數列cn的前n項和Tn.

分析 此題經過化簡后發現是差比型數列，所以我們可以應用錯位相減法進行求和計算.

解析 由題意，可知cn=（6n+6）n+1 （3n+3）n=3（n+1）·2n+1.

則數列cn的前n項和Tn=c1+c2+…+cn.

所以Tn=3×[2×22+3×23+…+（n+1）×2n+1].①

2Tn=3×[2×23+3×24+…+（n+1）×2n+2].②

①-②，得 -Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）×2n+2]

=3×[4+4（1-2n） 1-2-（n+1）×2n+2]=-3n·2n+2.

所以Tn=3n·2n+2.

總結 應用錯位相減法進行數列求和的步驟是：

（1）寫出Tn=c1+c2+…+cn;

（2）等式兩邊同乘等比數列的公比q，即qTn=qc1+qc2+…+qcn;

（3）將兩式作差，轉化為等比數列，應用公式進行求和;

（4）兩邊同時除以1-q，整理得到最后結果.

易錯點 在書寫過程中，為了準確寫出Tn-qTn的表達式，提高解題的準確性，應特別注意將兩式“錯項對齊”.同時，要對等比數列的公比進行討論，若q=1，則不能應用錯位相減法進行求和.

拓展 學生在應用錯位相減法求和時，最大的困難在于最后結果的化簡整理.此處將拓展一個公式幫助學生進行計算：形如（An+B）·qn-1型數列求和，其結果為Sn=（αn+β）·qn-β，

其中α=A q-1，β=B q-1-A （q-1）2.（此公式只是驗證計算結果的輔助公式，不能寫在答題卡上）

4 裂項相消法求和

形如bn=1 anan+1（an為等差數列或an=1 n+k+n）型的數列可使用裂項相消法求和，其基本原理通俗來講是將數列的某一項拆分為兩項或多項，在求和時使前后項能夠相互抵消，達到消項化簡的目的.

例4 （2017年全國Ⅲ卷文科第17題）若an=2 2n-1，求數列an 2n+1的前n項和.

分析 解決此題的關鍵是通過對該數列的通項公式的觀察發現其分母可拆分，之后將其裂項相抵消.

解析 設數列an 2n+1的前n項和為Sn.

an 2n+1=2 （2n+1）（2n-1）=1 2n-1-1 2n+1.

則Sn=1 1-1 3+1 3-1 5+…+1 2n-1-1 2n+1=1-1 2n+1=2n 2n+1.

總結 在運用裂項相消法求和過程中，要注意以下幾個問題：

（1）在利用裂項相消法求和時，要檢驗裂項前后等式兩端是否相等，若不相等，可通過添加系數，使等式的左右兩端保持相等;

（2）在利用裂項相消法求和時，我們發現，前后剩余項數是具有對稱性的.

拓展 常用的裂項公式：

（1）1 n（n+k）=k（1 n-1 n+k）;

（2）1 （2n-1）（2n+1）=1 2（1 2n-1-1 2n+1）;

（3）1 n（n+1）（n+2）=1 2[1 n（n+1）-1 （n+1）（n+2）];

（4）1 n+n+k=1 k（n+k-n）;

（5）loga（1+1 n）=loga（n+1）-logan.

5 分組轉化法求和

此方法是針對一些特殊的數列，從它們的通項公式上來看，既不是等差數列也不是等比數列，但是，若將其拆分開來，可分為幾個等差、等比或常見數列.因此，對于這樣的數列在進行求和時，應該先將其拆分，之后分別求和，最后將其合并.

例5 （2015年福建高考文科第17題）等差數列an的通項公式為an=n+2，設bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值.

分析 解決此題的關鍵是將該數列的通項公式進行拆分后，發現其是等差數列與等比數列的和，之后分別應用各自的求和公式進行計算求和.

解析 由題意，可得bn=2an-2+n=bn=2n+n.

所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+…+（210+10）

=（2+22+23+…+210）+（1+2+3+…+10）=2×（1-210） 1-2+（1+10）×10 2=2103.

總結 能夠應用分組轉化求和法進行求和的數列類型[2]：

（1）an=bn±cn，bn，cn為等差或等比數列;

（2）通項公式為an=bn，n為奇數，cn，n為偶數，bn，cn為等差或等比數列.

6 結論

高考中對于數列知識的考查是必考點，近年來數列在高考中的地位更是突出，數列求和問題的考查頻率也很高，但是不難.因此，在平時的教學中，僅僅給出簡略的說明是不夠的，應該讓學生掌握每種方法適用題目所應具有的特征，這樣才能“對癥下藥”，順利解決數列求和問題.

參考文獻：

[1]秦秀紅.揭開“倒序相加法”的神秘面紗[J] .中學教研（數學），2008（07）：36-37.

[2]董興勇.高中數列求和的有效方法初探[J].數學學習與研究，2017（05）：142-143.

（收稿日期：2020-02-17）