理性恒久遠，思想永流傳

李傳峰

[摘? 要] 新一輪的課程改革以挖掘數學的文化價值為主旨，要求將數學文化滲透于高中數學教學的始終. 數學作為一種文化的傳承，對學生進行數學的文化教育是素質教學的一個重要內涵. 文章從多個案例出發，在課堂激趣、質疑問難、探究延伸等方面透析數學文化與數學課堂的融合，呈現出教學中處處可以滲透數學文化的特征，以期為廣大數學教師的教學提供指導，從而提高學生的整體文化素養.

[關鍵詞] 立體幾何;理性精神;教學難點

高中教材中立體幾何的主要內容源自古希臘的歐氏幾何，對歐氏幾何的存廢，當前數學教育界一直有爭議，有人認為歐氏幾何作為“死掉的數學”，以美國為首的西方中學數學教材已經基本刪除，我們也沒有必要再保留;也有專家認為，歐氏幾何對培養學生的邏輯推理能力和空間想象能力很有幫助，堅持在中學數學教材中保留有關內容.應當說，二期課改后教材中有關立體幾何內容的編選現狀基本體現了兩種觀點的妥協. 立體幾何真的死掉了嗎？為什么學生害怕學習立體幾何？如何在立體幾何教學中落實培養學生核心素養的要求？筆者試圖從立體幾何的學科本質出發，對立體幾何教學內容的數學本質進行解析，探索教學難點的突破，探索在立體幾何教學中落實核心素養的培養.

立體幾何真的死掉了嗎？

陳省身先生認為，數學分“好的數學”（指有意義，有創新）和“不好的數學”（指僅限于把他人工作推演一番）. 為了讓學生學習“好的數學”，國內高中數學教材對立體幾何內容進行了大刀闊斧的改革，刪除了大量的命題及證明，引入空間向量和坐標法，這些改革與發展“好的數學”的思路相符合.

筆者以為，我國高中數學教材的內容編選，從一期課改到二期課改，逐漸改變了因為照搬外國教材和時代發展造成的“繁、難、偏、舊”問題. 總體上講，內容編選越來越科學、越來越適應時代發展的需要和學生認知的特點.

隨著數學和時代的發展，刪掉教材中非核心的、過于技巧性的數學內容是應該的，但對核心的、思想性的數學內容應該保留，特別是完全刪除某塊數學內容，應當慎重.

歐氏幾何自公元前出現到現在已經2000多年了，它的發展對整個人類數學的發展都具有非凡的作用和意義.

盡管教材中立體幾何的許多文字表述和邏輯體系與《幾何原本》相比，發生了很大變化，但它所代表的古希臘傳承下來的理性精神和以演繹思維為基礎的邏輯推理方法卻散發著永恒的光輝. 因此，在中學教材中保留必要的歐幾里得幾何學的內容，既有傳承理性文化的意義，也有傳遞數學演繹思維的作用.

第二次世界大戰以前，微分幾何不是核心數學，甚至被認為“它已經死了”，但20世紀下半葉以來，微分幾何卻成了主流，且由它發展起來的數學至21世紀依然是核心數學.

所以，“非核心數學”可以發展成“核心數學”，同樣，“死掉的歐幾里得”曾經催生了非歐幾何的誕生和發展，誰又敢保證在未來某個時間它不會突然枯木逢春，重新煥發青春？

高中教材中立體幾何的內容特點分析

1. 空間問題平面化

（1）作圖上的空間問題平面化.歐氏幾何要把空間圖形在平面上（紙上）表達出來，這其實是一個不可能的事情，為了達到在平面上表達空間圖形的效果，我們必須在畫圖和讀圖上做到“以假為真”“以真為假”.借用《紅樓夢》里的一句話：“假作真時真亦假”.在紙上畫出來的空間結構都是假的，但我們要想辦法把它看成真的. 例如，我們說圖1表示正方體，其實它是畫在平面上的，這就是典型的以假為真;現實中的空間結構都是真的，但它在我們立體幾何的概念中卻是假的.例如，我們在立體幾何中談的正方體是對物理世界中正方體形狀的空間結構（如粉筆盒）的抽象，不考慮它的質量、顏色、表面光滑與否等. 所以，立體幾何里的正方體在現實中是不存在的，因而是假的.

（2）概念的刻畫上的空間問題平面化.在學習立體幾何以前，我們首先學習了平面幾何（《幾何原本》的前六章是平面幾何，第七章到第九章是算術（數論），第十章是不可通約量的理論，第十一章到第十三章才是立體幾何內容，空間結構的有關概念是用平面上的有關概念來刻畫的，這有利于問題的定量解決. 掌握了這個線索，有助于我們從整體上理解立體幾何知識脈絡和思想體系. 例如，有關角的概念，不管是異面直線所成的角，還是直線與平面所成的角，或者是二面角，均用平面上的角來刻畫.

2. 無限問題有限化

（1）內涵上的無限個轉化成判定上的有限個. 例如，若平面α外的直線l與平面α平行，則直線l與平面α內的無數條直線平行，但只需證明直線l與平面α內一條直線平行，就可以判定直線l與平面α平行.

同樣道理的還有：線面垂直判定轉化成“一條直線垂直于兩條相交直線”;面面平行判定轉化成“兩條相交直線與平面平行”，等等.

（2）外延上的無限個轉化成內涵上的有限個. 例如，從外延上，有無數條直線與平面所成角為60°，通過直線與平面所成角的定義，所有這些60°的線面角被概括抽象為一個內涵類型.這種通過概括抽象內涵來定義概念成為現在給概念下定義的一個非常重要的方式.

立體幾何學習的難點分析

1. 空間結構及其關系的圖形表述具有高度抽象性

由于利用平面表達空間造成立體幾何圖像高度抽象. 其突破的秘訣是：重視作圖規則，增強心理暗示.

立體幾何首先有一系列作圖的規則：正等側畫法、斜二側畫法、三視圖畫法等. 他們其實就是我們作圖、讀圖的“標準語言”，通過語言的統一，掃清了表達和閱讀的障礙. 所以，作圖時要嚴格按照作圖規則，不能認為立體幾何圖像是“以假為真”就可以隨意亂畫. 例如，直線與平面的交點不能畫在表示平面的平行四邊形的邊上;兩平面的交線要與表示平面的平行四邊形的邊平行，等等. 另外，在讀圖時心理暗示非常重要，為什么我們認為圖1是正方體，除了作圖的規范性以外，更重要的是我們暗示自己它是正方體.

2. 空間結構及其關系定性研究具有嚴密邏輯性

立體幾何的概念體系內容多且推理嚴謹，如何掌握這些概念及其推理？首先，教材（絕大多數國內教材）均在章節內容后面總結了該章的知識結構，研讀章節知識結構有利于我們理解知識之間的邏輯關系;其次，我們還可以根據歐氏幾何的演繹思維特點，自己尋找知識之間的邏輯線索，也能夠幫助我們理解和掌握知識結構;最后，通過向量，在幾何邏輯證明的基礎上結合代數運算證明也可以降低證明的難度.

3. 空間結構及其關系定量研究具有超強技巧性

立體幾何學習的第三個難點是其定量研究（即通過構造法求角和距離等）的強技巧性. 這個難點的形成也是因為在歐幾里得時代數學發展的滯后造成的. 如今，通過引入代數運算，特別是向量運算，不僅可以降低立體幾何定量研究的構造難度，還可以降低定性研究中證明的難度，需要說明的是，向量法不僅是向量坐標法，還包括向量的幾何運算.

結論

傳統的歐氏立體幾何體系太難且有缺陷，改革是必需的，引入向量（向量幾何）是一個不錯的方向. 立體幾何雖難學但有其價值，高中數學教材中應該給立體幾何留下一席之地，歐氏幾何的精髓是其理性精神和演繹思維的思想，其理性精神和演繹思維的思想通過其嚴謹的概念體系和研究方法體現，只有從數學本質的角度認真研究歐氏幾何的概念及其關系才能夠把握歐氏幾何的實質，才能夠在教學中實現培養學生核心素養的課程目標.