挖掘數學美，培養學生的直覺思維能力

潘水良

[摘? 要] 直覺思維是直接領悟的思維能力，沒有一項創造性思維活動離得開直覺思維，它是一切思維活動的源泉，很值得數學教師加以培養和發展.文章以數學審美為媒介，以合作探究為手段，以思維能力的養成為目標，在數學美的體現和培養學生的直覺思維方面做些闡釋.

[關鍵詞] 高中數學;數學美;直覺意識;直覺思維

直覺思維是思維方式中較為獨特的一種，其主要特征體現在它的迅捷性、果斷性和創造性，它一直扮演著介于邏輯與經驗間的一種特殊角色，是一項蒙著神秘面紗的創造性思維活動. 然而，目前在中學數學教學中，教師更多的是關注邏輯思維能力的培養，而缺少對直覺思維能力的培養，長此以往，對學生思維能力的整體發展十分不利. 事實上，直覺思維才是引領數學發現的關鍵步子，而直覺的形成，需要具有數學美的鑒賞力，經歷情感體驗. 下面，筆者將從數學美與直覺思維的關系以及用數學美來設計課堂思維的層面闡述直覺思維養成渠道.

溝通數學美與直覺意識，建構能力養成渠道

阿達瑪認為，數學直覺的本身就是“美的意識”;而龐加萊畢生事業就是追求“簡單與宏遠”;愛因斯坦最為欣賞宇宙的統一美與和諧美……科學家們都以美學來譜寫一篇又一篇的科學理論“篇章”，讓數學美承載著喚起數學直覺的重任.

不可否認，美的意識是促進數學直覺的源泉，審美能力的提升有助于激發學生對數學事物間的和諧關系的直覺意識，審美能力的高低與數學直覺能力有著直接的關系.高中生在進行數學學習時，基于對數與形的直接感受，再與自身的已有知識經驗相融合形成美的意識，不斷喚起一種數學直覺. 這就要求教師需轉變教學觀念，充分挖掘數學之美，通過促發美的意識這一有效載體，實現增強直覺思維能力的目的[1]■.

基于數學美，預設能力養成路徑

直覺思維能力應該以審美為載體，通過多種教學策略形成路徑. 我們都知道，能力的培養只有在體現能力的活動中才能實現，新課程改革立意下的數學教學本質就是要將課堂本位交于學生，讓學生的能力得以自然發展. 因此，教師可以引導學生基于整體觀察的視角，充分挖掘問題間的本質聯系，以數學的對稱美、和諧美、嚴謹美等美感為主軸，作為思維生長的載體，使學生通過多方位和多角度的聯想以及適時的總結和反思，搭建能力養成路徑.

1. 以“充分聯想”為源泉，鼓勵直覺思維

在問題的解決中，充分利用聯想，為學生的思維“推波助瀾”，促進多維立體交叉的思維信息網絡的形成，啟迪靈活多變的直覺思維，最終完成對問題的咀嚼.

例1：已知■<α<β<■，且sin（α+β）=■，cos（α-β）=■，則sin2α的值為_____.

分析：不少學生自然而然地去求解sinα和cosα，繁化了解題過程，導致了錯誤.若整體建構找尋出2α、α+β及α-β三者直接的關系，那么很快就可以將本題轉化為三角函數的基本運算，從而迅速獲解.

解：因為■<α<β<■，所以■<α+β<π，-■<α-β<0，據sin（α+β）=■，cos（α-β）=■，可得cos（α+β）=-■，sin（α-β）= -■，sin2α=sin[（α+ β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=■.

2. 以“整體洞察”為線索，促發直覺思維

相較于邏輯思維，直覺思維具有綜合性的特征，而非邏輯思維所展現出的細節分析，它更側重于探究內容與方向的整體把握和細致觀察. 這就要求學生在解決問題時，需整體洞察問題的結構特征、數式特征、圖形特征等，并通過聯想實現問題的化歸，擺脫思維定式的束縛，充分促發直覺思維的同時，實現思維的創新.

例2：設F1和F2為雙曲線■-y2=1的兩個焦點，且有雙曲線上的一點P滿足∠F1PF2=90°，試求出△F1PF2的面積.

分析：據題意，可得△F1PF2的面積S=■PF1·PF2. 又有PF1-PF2=4，①PF■+PF■=20，②

此時直接去探究PF1及PF2的值較為煩瑣，而此處需探求的僅僅是PF1·PF2的值.那么可以由②-①2變形可得PF1·PF2=2，因此S=■PF1·PF2=■×2=1.

3. 以“建立模型”為抓手，凸顯直覺思維

數學建模是一種基本的數學思想，還是大數據下生活中不可或缺的解決問題的工具之一，彰顯了數學知識間的聯系與應用，更是凸顯直覺思維的有效策略. 它所體現出來的是一種數學應用能力，學生在建立數學模型處理數學問題時，不僅凸顯了直覺思維，與此同時還實現了自身的知識結構的內化，提高了創新能力.

例3：點P為球O上的一點，過點P作三棱錐P-ABC，使得PA，PB，PC兩兩垂直，且點A，B，C在球面上，若設PA，PB，PC的長分別是a，b，c，試求出球的表面積.

分析：在考慮本題時，若學生的思維定位于三棱錐的圖形，那么解決起來難度較大. 可以從球的對稱性著手，補形該三棱錐為長、寬、高分別是a，b，c的長方體，該長方體的對角線為球的直徑，則有a2+b2+c2=4R2，所以S=4πR2=π（a2+b2+c2）. 本題的本質是將不規則圖形通過輔助線進行補形，從而挖掘出其中的隱含條件，簡化問題的解決過程，而在整個問題的解決過程中，數學的對稱美起到了極大的助推效果，其中直覺思維的參與也體現得淋漓盡致.

4. 以“靈活多變”為載體，拓展直覺思維

思維的發展往往是從問題開始的.教師在教學過程中可以“一題多解、一題多用、一題多變”為依托，引導學生沿著多個方向展開思考，采用多種方法和途徑，并多角度、多層次、全方位進行思考，從而拓展直覺思維的靈動性，達到培養思維敏捷性、發散性和創新性的目的[2]■.

例4：證明：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三點共線.

證法1：首先，求出過其中兩點的直線方程，再證第三點在該直線上，即可得證. 具體證明過程如下：據A（1，5），B（0，2），可得直線AB的方程為3x-y+2=0①，將C（2，8）代入方程①，成立，由此可證點C（2，8）在直線AB上，由此可得A，B，C三點共線.

證法2：通過證明過同一點的兩條直線的斜率相等，得出這兩條直線相重合，從而得證. （證明過程略）

證法3：據三點可確定三條線段，證明其中的兩條線段長之和與第三條線段相等，因此這三條線段無法構成三角形，從而得證. （證明過程略）

證法4：借助證明向量■與■共線，亦可得證. （證明過程略）

例5：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e必排在首位或末尾，試寫出所有排法.

變式1：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e均不可排在首位或末尾，試寫出所有排法.

變式2：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e不可相鄰，試寫出所有排法.

變式3：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e排在一起，試寫出所有排法.

變式4：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a必在e的左側（可相鄰，也可不相鄰），試寫出所有排法.

5. 以“充分反思”為依托，領悟直覺思維

基于思維培養的數學教學，不僅需要以知識經驗為基礎進行解題活動，更需注重解題后的反思，讓學生通過多角度和多方位的反思活動來修正錯誤，領悟錯誤的本質，從而達到領悟直覺思維的目的.

例6：一數學教師現有5張不同的試卷分發給4名學生，且每人至少領到1張，試求出有多少種不同的分配方式.

分析：因為直覺的引領，學生得出思路：首先，從5張試卷中取出4張，分別發給4名學生，然后將剩余的1張分別發給4名學生中的任意一個，因此得出A■A■=480（種），這是學生容易出現的錯誤.因此，教師可以引導學生簡化問題，探究“3張試卷分發給2名學生”的情形，運用列舉法不難得出得出結果“6種分法”，而從以上思路進行探究結果為“12種分法”，這樣一來，學生便體會到原解法是存在問題的. 在親歷思考、討論和反思后，學生找尋出錯誤根源在于原解法中存在著一定程度上的重復. 此時再從元素間的相互對應關系著手，答案就顯而易見了. 由此不難看出，通過理清錯誤根源，可以對數學的計數原理有更深層次的認識，可以提高直覺思維的批判性，可以讓直覺思維的培養得到有效落實[3]■.

總之，作為數學教師應追求高品質的培養學生直覺思維的過程，讓直覺思維從浮于表象的提升真正走向實質，讓學生在發現數學美、體會數學美、運用數學美的同時，得到思維的訓練和發展.讓數學課堂真正做到將學生能力的培養落實到數學活動的各個環節，讓數學學科的核心素養的培養得以落實.

參考文獻：

[1]? 李樹臣. 形成和發展數學能力的兩個根本途徑[J]. 中學數學教學參考，2002（09）.

[2]? 錢從新. 運用推廣與引申的方法培養學生的創新能力[J]. 數學教育學報，2003，12（1）.

[3]? 趙思林，朱德全. 試論數學直覺思維的培養策略[J]. 數學教育學報，2010，19（2）.