常用數學思維在地理學習中的應用

陜西 解鵬輝

“調動和運用地理知識”是《普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》(以下簡稱《考試說明》)關于地理學科的考核目標和要求之一，《考試說明》明確規定，除調動和運用所學地理知識、自主學習過程中獲得的知識外，還要求學生能夠選擇和運用中學其他相關學科的基本技能解決地理問題，一些簡單的數學運算和一些數學方法，常常能夠使復雜問題簡單化，從而達到快速解決地理問題的目的。

一、數學運算在解決地理問題中的應用

地理是一門生活化的科學，它與生活實踐密切結合，地理問題即現實生活中的問題，因此這些問題的產生是多方面綜合作用的結果。受不同因素的影響，影響的程度不同，就會出現不同的結果。

靈活運用數學中的基礎運算，有助于理清各因素是否對某地理事物產生影響、影響的程度大小、影響結果的走向，有助于快速、準確的解決地理問題。

(一)運用加減法可解決的地理問題

數學中的加減法運用在地理事物受兩個或兩個以上因素影響，這些因素之間通過加減關系共同影響地理事物的最終結果，在這些因素的影響下，地理事物呈現增加(上升)或減少(下降)的發展趨勢，最終結果取決于這些因素之間的加減關系。

具有加減關系的試題，應用范圍廣，不管是考查自然地理中的知識點還是人文地理中的知識點，都屢見不鮮。下面以2016年全國卷Ⅱ第9～11題為例進行說明。

【真題重現】某河流位于浙江東部，下游河床受徑流與潮汐共同影響：枯水期，以潮流帶來的泥沙淤積為主；汛期，上游下泄的徑流沖刷河床。如圖示意該河下游某地1962年兩個時期河床斷面形態，其中，甲是河床最低時期的斷面。1964年在該河上游建成水庫；2000年，在該河河口建成大型水閘。據此完成下題。

9.河床斷面形態從甲至乙的變化過程發生在

( )

A.1—3月 B.3—6月

C.6—9月 D.9—12月

【地理基礎知識】河床斷面形態與泥沙的淤積和徑流對河床的沖刷有關。潮流帶來的泥沙淤積，河床變平、升高；下泄徑流沖刷，河床降低、變窄。

【加減關系梳理】可簡單歸納為①河床形態=泥沙淤積量-沖刷量；②值大于0，河床升高；小于0，河床降低。

【答案整理】結合材料“甲是河床最低時期的河床斷面”，因此由甲到乙的過程其實就是由以沖刷為主的時期向以淤積為主的時期過渡。

結合材料“枯水期，以潮流帶來的泥沙淤積為主……”可知，該河流位于浙江東部，汛期大約9月份結束，因此答案選擇D選項。

(二)運用乘除法解決地理問題

乘除法中地理事物的最終結果也受兩個或兩個以上因素的影響，這些因素之間通過乘除關系共同影響地理事物的最終結果，在這些因素的影響下，地理事物呈現增加(上升)或減少(下降)的發展趨勢。例如城市化水平的高低、人口撫養比的大小、正午太陽高度與影長的關系、遮陽棚的安裝、比例尺的變化等，都可以運用此類方法。下面以2018年江蘇卷第28題第(2)問為例進行說明。

【真題重現】閱讀材料,回答下列問題。

材料一中國是世界第一大鐵礦石進口國和第一大粗鋼生產國,2015年粗鋼產量約占全球產量的50%,但高端鋼材生產不足。圖1為“2015年世界鐵礦石主要流向及流量略圖。

圖1

材料二有研究顯示,一個國家或地區的人均粗鋼需求增幅與人均GDP有一定的相關性2015年、2017年中國人均GDP分別為7 990美元和8 836美元。圖2為“人均粗鋼需求增幅與人均GDP”關系示意圖。

圖2

材料三產能利用率是指行業發揮生產能力的程度,是實際產量與設計產能的比率。一般認為,鋼鐵行業產能利用率處于78%～83%時較為合理,低于75%則為產能嚴重過剩。圖3為“我國2010年～2015年粗鋼產能和產能利用率統計圖”。

圖3

(2)推測我國未來粗鋼需求量將出現的變化及其根本原因。

【乘除關系梳理】產能利用率=實際產量/設計產能

【答案整理】在2010到2015年期間，我國的粗鋼產能(實際產能)不斷上升。從圖中來看，從2010到2012年產能利用率不斷提高，說明隨著我國經濟的發展，對粗鋼需求量不斷變大；從2012到2015年產能利用率低，說明實際產量小于設計產能，雖然經濟進一步發展，對粗鋼的需求量大，但隨著產業結構的調整、升級，粗鋼供過于求，導致產能過剩。

本題答案為“先升后降；經濟水平提高、產業升級轉型”。

二、數學思想在解決地理問題中的應用

常用的數學思想有數形結合思想、方程與函數思想、建模思想、分類討論思想和化歸與轉化思想等。這些數學思想方法主要來源于觀察與實驗、概括與抽象、類比，歸納和演繹等，因此，很多的數學思想對解決地理問題有著舉足輕重的作用。

(一)數形結合思想在解決地理問題中的應用

數形結合作為一種數學思想方法，其應用大致可分為兩種情形，借助于“數”的精確性來闡明“形”的某些屬性；借助“形”的幾何直觀性來闡明“數”之間某種關系。

其在地理上的應用表現在以下方面，通過對不同時空、不同條件下觀測、實驗等方法收集到的數據作圖，得出這些條件在不同時空、不同條件下對同一地理事物產生的影響，以及影響的大小，并通過圖形的發展趨勢，預測未來或者地理條件發生變化的情況下，地理事物的發展情況，為人們的生產、生活的一些決策提供依據?？梢哉f，數形結合思想的靈活應用，是地理實踐力的體現。

地理上最常用的就是把數字或者文字轉化成圖形，來揭示地理現象或地理規律。下面以2017年全國卷Ⅰ第37題(1)(2)小問具體說明。

【真題重現】閱讀圖文資料，完成下列要求。

山地垂直帶內部的分異規律，日益為地理學研究所重視。在山地苔原帶，植物多樣性存在隨海拔升高呈單峰變化的規律：在山地苔原帶下部，少數植物種類通過種間競爭獲得優勢，植物多樣性較低；隨著海拔升高，環境壓力變大，種間競爭減弱，植物多樣性升高；在更高海拔區域，適宜生存的植物種類減少。地理科考隊調查某山峰的苔原帶(海拔2 000～2 600米)時發現，該苔原帶部分地區存在干擾，導致優勢植物數量減少，植物多樣性異常；陰、陽坡降水量與坡度差別不大，但植物多樣性差異顯著(如圖)。

(1)確定該苔原帶遭受干擾的坡向和部位，以及干擾強度的垂直分布特征。

(2)判斷在未遭受干擾時，陰坡與陽坡苔原帶植物多樣性的差異，并說明判斷依據。

【數形結合】根據材料中“在山地苔原帶……呈單峰變化的規律”，“在山地苔原帶下部……多樣性較低；隨海拔升高，多樣性升高；在更高海拔區域，適宜生存的植物種類減少”可知，不呈單峰變化的陽坡就是遭受干擾的坡向，陰坡植物多樣性的最高點也是陽坡植物多樣性的最高點，以該最高點為頂點，在2 000到2 300米之間做陰坡植物多樣性的平行線(如下圖)。

【答案整理】該線與圖中虛線相比，從2 000米到2 300米，間距不斷縮小，說明干擾強度在此海拔范圍內隨海拔升高而不斷減小。兩條單峰線相比，陰坡高陽坡低，說明未受干擾時，陰坡植物多樣性高。

(1)遭受干擾的坡向和部位：陽坡，苔原帶的下部(中下部，2 000～2 300米左右)。干擾強度分布特征：隨海拔升高而降低(海拔越低，干擾越強烈)。

(2)(未遭受干擾時)陰坡較陽坡植物多樣性高。依據：(按單峰變化規律)陽坡苔原帶植物多樣性最高值應在中部(2 300米左右)，低于陰坡最高值。

【思考】本題運用數形結合的思想，把文字轉化成圖形，使復雜的地理問題迎刃而解，同時也使學生意識到，人類活動對地理環境有一定程度的影響。

三、數學方法在解決地理問題中的應用

為了對地理事物有深刻的認識和深入的研究，應用、判讀出自然地理環境和人文地理環境各事物之間的關系，這就需要借助于數學方法。數學方法多種多樣，有邏輯學中的方法、如反證法，數學中的一般方法、如圖像法，數學中的特殊方法、如公式法，這些方法在地理問題的解決上常能收到事半功倍的效果。

地理學習和解題中應用最廣泛的數學方法是比較法。下面以比較法為例，談談比較法在地理分析中的應用。

比較法，就是根據一定的標準，把彼此有某種聯系的事物加以對照，從而確定其相同與相異之點，便可以對事物作初步的分類。

在地理問題的研究中，比較法可以從多個角度，對兩個或多個地理事物進行同一時間異同的比較、還可按照時間對同一地理事物在不同階段的形成過程進行比較，既可以進行定性分析，又可以進行定量比較。如果要解答的問題材料沒有明確給出相關信息，那么就對已有信息進行分析，求同存異，然后再對地理事物的相同點和不同點展開比較，最終找到解決問題的思路。下面以2018年江蘇卷第3題為例進行說明。

【真題展示】下圖為“某地二分二至日太陽視運動示意圖”。讀圖回答下題。

3.線①所示太陽視運動軌跡出現時的節氣為

( )

A.春分 B.夏至 C.秋分 D.冬至

【比較分析】相同點：

已知信息：都是太陽高度最大時刻即正午時，太陽位于南方天空。

結論：判斷該地位于北回歸線以北。

不同點：

已知信息:3條線中，①線正午太陽高度最小。

結論：北回歸線以北地區正午太陽高度最小時，太陽直射南回歸線，①線代表冬至日。答案選擇D選項。

數學作為一門基礎學科，它是其他一切學科的基礎，地理也不例外。中學生在地理問題的研究和解決上，如果能夠把數學上已經學到的基本運算、基本思想和基本方法，熟練、靈活地運用到地理問題的解答中來，那么對于廣大的學生而言，學好地理將不再是一件難事。