二次函數在高中數學中的重要作用

方梅香

摘 要：二次函數作為高中數學的重點內容，多年來在高考中占據著重要地位。本文分析了函數的概念，并通過多道練習題探討了高中數學中二次函數的重要作用。

關鍵詞：二次函數;高中數學;重要作用

前言：

在高中階段，學生已經基本掌握了一些函數知識。其中最重要的是二次函數，了解了它的圖像和基礎特征。但僅限于形式，側重于定量分析和計算，在高中教材中，函數的概念是用映射來描述的，比較抽象，更注重對函數本質的研究。抽象程度和學習方法均高于初中教科書要求，難度系數更大，學生很難學習。而函數是高中數學中最基礎、最重要的定義。學習函數的內容，將為學習所有高中數學打下堅實的基礎。為更好地降低學習的難度，輔助學生學習函數，在本學科課堂教學中，靈活運用學生已基礎掌握的二次函數知識是關鍵的一環，本文將對其進行探討。

一、二次函數的概念及特點

一般而言，變量x與自變量y之間存在相關性，如：y=ax2+bx+c（a、b、c為參數，a≠0，二次函數的開方向在于a.當a>0時，開口位置上升，當a<0時，開度位置下降，|a|的大小會影響二次函數的開口，|a|越大，越小開，反之，|a|越小，開越大。則稱y為x的二次函數。二次函數的最大頻率必須為2。二次函數的圖像是中心對稱平面平行于y軸或與y軸重疊的雙曲線。如果表達式左側的y值等于0，則得到一個二次方程。該方程的解稱為二次函數的零點。

二、二次函數的圖像

2.1二次函數基本圖像

在平面圖的直角坐標中，做二次函數y=ax2+bx+c的圖像。我們可以看到，當函數域的取值范圍沒有指定時，二次函數圖是無限雙曲線。我們可以根據運動雙曲線y=ax2的圖像，得到與二次函數y=ax2+bx+c相匹配的圖像。

2.2二次函數的軸對稱性

二次函數圖是軸對稱圖。從二次函數的通式可知，中心對稱為平行線x=-b2a。中心對稱與二次函數圖像的唯一交點是二次函數圖像的終點。特殊情況：當b=0時，y軸（即平行線x=0）中心對稱。

2.3決定二次函數位置的元素

在二次函數的通式中，一階系數b和二階系數a共同決定了中心對稱位置。我們可以記?。鹤筮吺且粯拥?，右邊是不同的。即當中心對稱在y軸左側時，二次項系數a和第一項系數b同號（ab>0）;當中心對稱在y軸右側時，二次項系數a和第一項系數b具有相同的符號（ab<0）。注：一階系數b有其自身的幾何意義。在二次函數圖像與y軸的交點處，二次函數圖像的泛函解析公式（匹配線性函數）的斜率k值被破壞。

2.4二次函數的作圖方法

有畫點法和五點畫法（五點草圖法）。五點畫法是二次函數中常用的畫法。就是基于五個唯一點（終點、與x軸的交點、與y軸的交點、關于中心對稱的對稱點）來闡明函數圖。

三、進一步理解函數概念

在初中教材中，已經對二次函數進行了較為細致的研究，但由于初中生缺乏基礎知識，理解和接受能力有限，二次函數的學習過于機械化。在高中階段，再次將基礎要素進行學習，并對二次函數、圖像、有界性、奇偶性、單調性等基礎要素深入學習，鼓勵學生進一步把握函數的概念和特點，強調在理解二次函數的基礎上靈活運用。二次函數是從組合A（函數域）到組合B（函數值域）的映射f：A→B，促進了組合中元素y=ax2bxc（a≠0）的組合A與組合A元素X匹配，記為f（x）=ax2bxc（a≠0）。這里的ax2bxc表示函數域中元素X在函數域中的圖像，以及對應的規律，使學生對二次函數的概念有一個相對既定的認識。學生掌握了函數的標記后，可以進一步解決類似問題如下：

問題1：已知f（x）=5x22x7，求f（x1）在解釋這類問題時，f（x1）應該理解為x1作為變量的函數，而不是當x=x1函數。

問題2：已知f（x1）=3x2x5，而求f（x）的本質是求對應律，即在已知對應律f下，當函數中的元素圖像為3x2x5時，求該域中元素X的圖像。有兩種方法可以獲取此類問題：

題型一：選擇適應性較強的自變量代換法。設t=X1，則x=t-1，因為（t）=3（t-1）2（t-1）5=3t2-5t7，然后得到f（x）=3x2-5x7。

題型二：將題型給出的表達式表達為x1f（x1）=3x2x5=3（x1）2-5（x1）7的代數公式，然后用x代替x1得到f（x）=3x2-5x7。

除了以上兩個課題，高中數學學習階段還涉及二次函數單調性的學習。規定學生在（-∞，-b/2a）部分具有二次函數y=ax2bxc并用[-b/2a，∞上的單調結果]來定義嚴謹和充分的討論，以便它可以建立在嚴格的基礎理論的基礎上。同時，要靈活運用函數圖像的生動性，進一步為學生提供有效、適當的接觸，讓學生主動地利用圖像來學習與二次函數相關的一些函數的單調性。單調性的一般定義和含義在初中數學中已經有所觸及，但當時并沒有經過嚴格的合理性定義和討論。高中數學中二次函數的學習為單調性提供了理論來源。二次函數的單調性分為兩部分，兩部分稱為與雙曲線中心的邊界線，一側單調增加，另一側單調減少。學生在學習的過程中，將圖分析結合起來，對具有變量類別且難以區分的分段函數進行一種可視化是一種很好的方式。

四、高中數學中二次函數的重要作用

二次函數是最基礎的指數函數。它具有極其豐富的內涵和外延。它可以代表著對函數性質的研究，并在不等式、方程及其含義之間建立密切的關系。從而拓寬了靈活多樣的數學問題。因此，二次函數的目的是考察學生的綜合數學素養和數學基礎知識，特別是從深入的解釋層面，可以合理區分學生的數學思維、知識和數學思維，從而準確地反映學生的思維訓練。因此，在高中數學中，二次函數具有重要的作用。同時，根據對高考試卷的分析可以發現，今年高考對二次函數的調查和應用已經深入到各個知識點的銜接，如解析幾何及其導函數和二次函數的組合，二次等量的應用等?？疾榈年P鍵在于不等式的范疇，零點函數，方程根的分布，等價轉換相關函數的最大值，二次函數的圖像和特征等等。文章整合了今年高考二次函數相關的常見話題，進一步探討了二次函數在高中數學中的必要性。

4.1進一步討論二次函數的單調性和圖像

在高中階段學習單調性時，一定要讓學生對二次函數的單調性和結果進行嚴格的討論，使之建立在基礎上嚴謹的基礎理論。另外，進一步靈活地使用函數圖像，對學生進行適當的訓練，使學生逐漸使用圖像學習與二次函數相關的一些函數的單調性。類型一：函數單調遞減。求實數的取值范圍。解：由于函數圖像的中心對稱為平行線，在截面上單調遞減，即類型II：繪制如下函數圖像，其單調性基于圖像研究。這里要讓學生注意這種選區與二次函數的區別和聯系。一定要使用分段函數來表示標有平方根的函數的數量，然后繪制其圖像。

4.2接軌一元二次不等式

在數學學習的整個過程中，毫無疑問，觸及了一個未知數的二次不等式的內容。即根據一致不等式求類別。第一步是先看判別式。第二步，暫時把不等式當作公式，求出變量類型。第三步，根據二次項的正負極來區分口，畫出函數的大致圖。最后，查看圖像以找到指定的自變量類別。畫圖識別的第三步就是充分利用二次函數的知識求不等式。這一步很重要，如果簡化不等式超過零，則從圖像的上部選擇自變量的取值范圍。如果簡化不等式小于零，則自變量的取值范圍選擇圖像的下部。另外，要特別注意選擇是否等于零，最后一組不等式解決方案是標準答案。

五、二次函數使用過程的注意事項

基礎知識是處理二次函數相關問題的關鍵階段。因此，在學習中，一定要認真完成每一個重點知識點。即使是一個很小的定義也不要忽視，并在大腦中留下深刻的印象。知識的學習和訓練不是簡單的記憶和理解，而是要能夠運用基礎知識處理具體問題。當遇到二次函數相關的題型時，不必慌張，反而要理智，仔細琢磨，看題型與二次函數的基礎知識有關，這樣才能達到事半功倍的實際效果。同時，也可以塑造學習二次函數的信心，讓學生了解二次函數的必要性，從而養成積極分析、積極研究的好習慣。在實際活動的應用中，不能盲目跟風選擇知識，而是要根據具體要求，選擇合適的具體方法解決困難，才能達到事半功倍的實際效果。二次函數的單調性和最大值特性都可以處理具體問題，在考試中經常遇到。如果把數的單調性和最大值特性把握好，問題就可以很實用的解決了，但是如果把握不好，會覺得不知所措，不知道從何下手，然后丟分，這不僅會影響學習的信心，還會不斷造成學習厭倦的心理狀態。

結束語：

由以上分析可知，二次函數以其靈活多樣的考查方式，以及與其他知識點的融合，成為歷年來高考的重點內容。作為一名高中數學老師，只有對二次函數給予足夠的關注和重視，靈活地將其與其他知識點聯系起來，這樣才能有效地幫助學生更好地掌握二次函數的知識，從容應對高考試題。

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