謝麗娜
摘 要:高等數學“定分幾何應用求面積”這一節微元法的教學內容比較抽象,本文利用情景導入法,創設問題,采用師生互動的教學模式去突破本節重難點。通過這樣的教學設計,達到了較好的教學效果。
關鍵詞:定積分;微元法;求平面面積;教學設計
一、教材分析
《定積分幾何應用》第一課時選自薛利敏主編《高等數學》第五章第六節。本節首先探索定積分解決實際問題的方法----- 微元法 ,進而利用微元法求解一些曲邊多邊形面積問題。由于本章第一節學習定積分概念時是通過實際問題引入的,因此本節課是前幾節的概括和升華。
二、學情分析
該課程的授課對象是機電一體化技術專業一年級的學生。具有一定的數學素養和團隊協作溝通能力。同時,已經掌握了不定積分概念及運算、定積分概念及幾何表示,定積分計算等,為本任務的學習打下了良好的基礎。但學生對抽象知識的理解能力相對較弱,學起微元法會很吃力,而且數形結合意識不強,利用微元法求解一些曲邊多邊形面積問題還是有一定的難度。
三、目標分析
1.知識目標
使學生掌握定積分微元法解決幾何問題的基本技巧,并使學生學會用微元法(元素法)去解決各種領域中的一些求平面多邊形的面積問題;
2.能力目標
培養學生數形結合的思想,以及觀察問題、提出問題等方面的能力。
3.情感目標
通過任務驅動,合作探究的學習過程,培養了學生思考、探究等方面的數學素養。
4.思政育人目標
激發了學生學習的興趣;增強了學生團隊合作意識;培養了吃苦耐勞的精神。
四、重點難點
重點:用微元法求平面圖形的面積;
難點:如何選擇積分變量和確定被積函數。
五、教法學法
教法: 任務驅動法和演示法;
學法:小組探究法和合作學習法。
六、教學過程
6.1? 創設情境,激發學生興趣(課件同步展示)
1)百歲山的廣告你們知道其中的寓意嗎?(教師講述)
2)心形線圍成的封閉圖形面積如何求得?(學生討論,教師總結)
求心形線面積不能像中學求圓、矩形、梯形等面積,可利用現有的公式,但我們知道定積分概念是通過求曲邊梯形面積過程獲得的,所以及時設疑:
3)你們能從定積分概念的獲得過程,探討一種求心形線面積的方法嗎?(學生討論,教師總結)
總結:
學習定積分概念時,是通過分割、取近似、求和、取極限這四步得來的,通過這個過程不難發現能用定積分解決的問題每次都用分割、取近似、求和、取極限過程非常復雜,而且關鍵是取近似、取極限,那么有沒有什么較好的方法去實現這兩步呢?(及時提出問題,引出微元法。)
6.2? 微元法(課件同步展示)
1)復習前面學習的微分,引出概念。
假如A是非均勻連續分布在區間上的量,在區間上任取一點x,我們把分布的量記為,則:
,
且在上? ,有:
利用微分定義,即有:
又由牛頓-萊布尼茨公式:
定義:這種將所求的量表示成微元積分的方法稱為微元法(元素法)
在實際應用時,我們根據具體問題選取一個適當的自變量(積分變量)例如x,若用 表示任一小區間(區間微元)上的窄曲邊梯形的面積,取點x處的函數值為高,dx為底的小矩形面積為(面積微元,也稱面積元素記為dA),所以:
即:
也即:
同學們,到此,你能講出利用微元法求平面圖形面積的步驟嗎?(進一步加深學生對微元法的理解,并為后面處理具體問題埋下伏筆。)(學生分組討論,教師和學生共同總結,)
總結:用微元法解決實際問題的關鍵步驟是:
第一步:在分布量區間上找一個小區間,找這個區間上的微元,即寫出;
第二步:微元積分。
6.3 解決課堂一開始提出的問題,首尾呼應,而且讓學生深刻感受數學課堂的邏輯性,應用性。(課件同步展示)
求心形線所圍成平面圖形的面積?(學生分組解答,教師最后點評)
總結:通過了解數學文化,進而解決實際問題,使得學生和老師共同感悟數學之美。
6.4 練習反饋,鞏固新知。(課件同步展示,學生分組練習,比速度,比正確率,激發學生學習興趣)
例1:求拋物線?? 與x軸所圍平面圖形的面積.
解:求拋物線與x軸所圍平面圖形如下圖,它與x軸交點為(0,0),(2,0),取x為積分變量,則? 在 任取一小區間 對應的面積微元為 :
,
于是所求面積:
例2:求橢圓??? 與x軸所圍平面圖形的面積.
解:橢圓的參數方程??? ,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積,于是所求面積
例3:求曲線 與直線 x=0,x=π所圍平面圖形的面積.
解:如圖所示,它們交點為? ,取x為積分變量,則 ,在取一小區間,對應的面積微元為,在任取一小區間 ,對應的面積微元為,于是所求面積:
例4:求擺線 一拱與直線 x軸所圍平面圖形的面積.
解:如圖所示,取x為積分變量,則 ,在上任取一小區間,則對應的面積微元為,
于是所求面積:
總結:用微元法求平面圖形面積具體解題步驟:
1)畫出草圖,求得曲線的交點坐標;
2)根據圖形特點選擇適當的積分變量;
3)把函數變形成積分變量的函數,從而確定被積函數和積分區間;
4)找微元;
5)計算定積分,求出面積。
(利用微元法去解決實際問題,讓學生充分體會到比“分割,取近似,求和,取極限”要方便得多。)
6.5 知識拓展。(培養學生發現問題,用數學去解決自己專業問題的能力。)
你們專業中遇到有求面積問題嗎?請舉出實例,并用微元法加以求解。
6.6 課堂結束語。(為學生學習數學指明方向,并且認識到數學與生活息息相關。)
定積分這個概念盡管抽象難懂,似乎與我們的生活相距甚遠,但通過本節課的學習,我們知道它可以解決生活中的一些實際問題,且作為一種工具,與我們的生活緊密相連。所以,數學無處不在,定積分無處不在。
6.7 教后反思。(“教然后知不足”,不僅有利于提高教學水平,而且認識也會提高到一個新的高度。)
課堂一開始同學們就對“一封另類的情書”產生濃厚的興趣,通過教師的講解引發他們對數學問題的思考,循序漸進,一環扣一環像畫布一樣展開課堂,最終完成了本節課的教學任務。
本節課教學流程符合學生的認知發展規律。通過教師設疑,教師與學生探討,學生分組討論,教師和學生共同總結等環節,讓學生輕松理解微元法,并學會了用微元法求不規則平面圖形的面積。
經驗始于實踐。在以后的課堂教學中,我將從以下幾個方面持續改進:一是從生活實例出發,將“枯燥乏味”的數學知識盡可能與實際生活充分聯系,讓學生身臨其境,感受到數學不僅來源于生活,而且用于生活;二是多了解學生的專業知識,課堂盡量引入專業實例,發掘數學為其專業服務的職責;三是充分利用網絡學習資源,盡可能發揮互聯網對學生學習的積極作用。
參考文獻:
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