淺析轉化思想在高中數學解題中的應用

◎ 蔣 剛

高中階段的數學習題，重點考查了學生思維的靈活性與邏輯性。許多高中生的解題思維比較簡單，面對例題時，常常會覺得這些題的思路比較明確，而在遇到類似的習題時，則又出現無從下手的情況。針對學生的解題問題，轉化思想得到了深入應用，它可以將復雜的問題簡潔化，幫助學生迅速聯想到熟悉的知識點，以減輕解題難度，提高學生做題的準確率。

一、化繁為簡

許多數學問題看上去十分復雜，找不到解題的突破口，但只要適當地將題目進行轉化。擊碎外表那層神秘的“面具”，學生就能一目了然的看清其中的本質。應用轉化思想，可以將題目化繁為簡，幫助學生捕捉到解題的切入點，從迷霧重重過渡到柳暗花明。

例如:已知有x，y兩個未知數，滿足函數=0，試問的取值范圍為多少? 對于這個問題，學生們往往會感到十分費解，從表面上分析，想要求出的取值范圍，就要分別求出x和y的取值范圍。而在這個函數中，x的最大值和最小值是否能正好對應y的最大值和最小值，似乎還需要通過圖像來進一步判定。由此，這道題的解析思路就變得十分復雜。如果通過轉化思想，應用換元法來重新變換這道題目，就能起到化繁為簡的目的。

比如，假設k=則y=k(x-2)+2，代入到原式之中，就等于，將原式重新整理，就能聯立出x與k之間的函數關系式(1-k2)x2—2(2k2-k+1)x-(4k2-4k-1)=0，隨后，令△≥0，就能進一步得出關于k的不等式，從而求出最后的取值范圍。由此可見，巧妙應用轉化思想，可以將看似復雜的題目轉變成單純的二次函數運算，幫助學生快速找到解題的路徑。

二、數形結合

對于高中時期的習題而言，大部分題目都需要采用數形結合的方法來進行解析。而運用數形結合，同樣可以將復雜的“數”類問題轉化成直觀的圖形，以起到簡化解題思路，提高解題效率的目的。

例如:已知有兩個實數x，y，滿足某函數(x-2)2+y2=1，試求的最大值為多少? 學生在面對這道題時，很容易產生困惑，因為這道函數題與二次函數最值問題的思路截然不同。似乎無法通過對稱軸的方式來判定最大值所處的地方。此時，學生就要轉換思路，思考這個函數滿足什么類型的圖像，能否從對應的圖像上找到解題的切入點。

從函數的特點上進行分析，該函數明顯屬于圓心為(2，0)，半徑為1 的圓形圖像。因此，可以在坐標系中繪制出圖像(如圖一)。通過圖像，不難發現可以表示為換言之，也就是過圓上一點(設為A)與原點相連的直線OA的斜率，并求該斜率的最大值。從圖形上可見，當直線OA與圓相切時，斜率值最大。此時OA⊥AG，通過計算，不難求出斜率的最大值為

三、正逆轉化

觀察部分高中數學題，題干的答案往往有非正即反的特點。學生在解題過程中，發現如果按照正面的思路，需要進行大量的分類討論，解題過程十分復雜。而應用逆向思維，可以另辟蹊徑，從未知的角度入手，反向推導出隱藏的已知條件。因此，學生們在解題中遇到困境時，不妨從反面的角度入手，應用轉化思想，鍛煉逆向思維，從而有效突破難題。

例如:從某個四面體中，提取所有的頂點，以及每一條棱的中點，共能找出10 個點，如果從10 個點中選取4 個不共面的點，那么一共有多少種取法? 學生在解答這道題目時，若采用正面思維，分類討論的情況將十分復雜，不易進行分析。而將題目的特點進行細致剖析，則可以得出以下結論:除了4 個點不共面以外，其他的情況一定是4 個點共面。因此，學生只要從反面進行思考，找出所有4 個點共面的情況，再從所有的取法中減掉，就能求出該題的最后答案。

通過分析，4 點為同一面的情況可以分為三種情況。第一種:這四個點恰好為四面體的同一個面，而四面體的任意一面都為三角形，根據題意，包括三個頂點和三條邊的中點，一共6 個點。那么代入公式計算，共有個4 點同面的情況。第二種:先保證三點為一邊，也就是四面體的同一條棱上，剩下的最后一點選擇對面棱的中點。這四點滿足共面的要求，因為四面體有6 條棱，所以有該情況有6 種可能。此時學生需要注意，不能選擇與該棱相近棱上的任意一點，不然會與第一種情況出現重復。第三種，找出四面體中各個三角形面的中位線，也就是相鄰兩條棱中點的連線。將這些中線進行組合，正好可以構成三個平行四邊形。綜合以上分析，上述幾種情況都不滿足題意要求，應當從總數中進行刪減，經計算，不難求出最后的答案為141。

四、主次變換

在解答數學題的過程中，通常會遇到主要變量和次要變量。一般來說，主要變量是題干要求解答的目標，而次要變量屬于題目中的關鍵信息。在實際解題中，如果學生直接針對主要變量，計算的過程往往比較復雜。而采用主次變換的方式，調換兩種變量的位置，原本繁雜的題目就能變得清晰明了。

如:已知4x+1≥m(x2-1)對于m∈[-3，3]恒成立，試求x的取值范圍為多少? 通過這個題目可以判斷，主要變量為x，也就是本題所要求解的最終目標。而m為次要變量，也就是題干中給出的關鍵信息。想要求得x的范圍，按照傳統的解題思路，通常會將m代入進去，以進行求解。而這種解題方式需要花費大量的精力來完成運算，且很難保證絕對的準確度。因此，需要換一種思路，通過轉換思維，來轉換兩種變量的定位。

解題過程如下:首先，建立關于m的函數f(m)，則f(m)=m(x2-1)-4x-1。此時f(m)≤0 恒成立，且m∈[-3，3]。由此可見，當兩種變量的主次發生了轉變，這道題目就巧妙的轉化成了一次函數的圖像問題。在此基礎上，再進行細致的分析，根據一次函數的公式y=kx+b來進行分類討論，探究該一次函數圖像在[-2，2]之間的單調性問題。通過以上解題過程，學生們不難梳理解題思路，求出最后的答案。

總之，在高中數學解題過程中運用轉化思想，可以幫助學生突破固有的解題思路。教師要在解題教學中積極滲透轉化思想，讓學生能規避掉數學題中的“礁石”，成功化繁為簡，從而準確求解出答案。