湯幼強
(南昌縣蓮塘第一中學 江西 南昌 330200)
黃亦斌
(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)
質點系的動能定理其實不止一種,正如質點系角動量定理可以對靜點,亦可對質心,不止一種一樣.我們先來梳理一下質點系動力學.
對于一個一般的質點系,可以對其中每個質點列出質點動力學方程(動能定理、動量定理和角動量定理),其中每個方程的左邊涉及到力(包括內力和外力),而右邊則涉及對運動的描述(動能、動量和角動量).將這些方程相加,左邊就是內力和外力的貢獻,右邊則出現系統的總動能、總動量或總角動量.
下面是牛頓第三定律上場.這個定律似乎存在感不強,其實相當重要.正是由于這個定律,使得一對內力的沖量之和為零,力矩之和為零.這就使得質點系的動量定理和角動量定理的左邊不出現內力,只有外力.多大的簡化!遺憾的是,一對內力的做功問題要復雜.由牛頓第三定律,一對內力做功之和不一定為零,但也簡單到僅依賴于兩相互作用質點的距離變化.于是有質點系動能定理:外力功和內力功之和等于系統動能的變化
(1)
A內+A外=dK
接下來,我們進入力學量的分解.對任意質點系都可以定義質心,注意這里沒有任何前提條件.質心是質點系的平均位置,是各質點以質量為權的加權平均位置
(2)
由此自然引申出質點系的平均速度——質心速度和質點系的平均加速度——質心加速度
(3)
顯然,質心運動代表著質點系的整體運動.此外,每個質點還存在對質心的相對運動
ri=rC+r′ivi=vC+v′iai=aC+a′i
(4)
質心運動和相對運動有時又稱為外部運動和內部運動,在剛體情況下也稱為平動和轉動,或公轉(軌道運動)和自轉(自旋運動).
我們知道,對于一般的質點系,利用速度分解式(4),可以得到動能分解的柯尼希定理
(5)
K=KC+K′
恰好是式(1)右邊的分解,其中右邊兩項分別是質心動能和相對動能,在剛體情形又分別叫做平動動能和轉動動能.左邊是不是也可以分解呢?定義了質心后,質點系動量定理等價于質點系質心運動定理
(6)
其中左邊只有外力,沒有內力.將上式兩邊點乘質心位移drC,可得到
(7)
此式右邊是質心動能的增量,故這就是質心動能定理.在這個定理中,內力根本不出現,而各外力所點乘的位移并不是式(1)中各自受力點的位移,而是統一為質心位移.式(1)中左邊的外力功又可依式(4)變為
(8)
此式可理解為外力功的分解.聯立式(1)、(5)和(7),馬上得到相對動能定理
(9)
其中外力點乘的位移是各自受力點相對于質心的位移,而內力功部分的位移仍為兩質點間的相對位移:dr′ji=drji.相對位移與慣性系還是質心系無關.
以上內容可以總結如下
(10)
其中,3個橫式分別為質點系的(總)動能定理、質心動能(平動動能)定理和相對動能(轉動動能)定理,3個豎式分別為內力功、外力功和動能的分解式.可以看出,每個外力功可分解為質心運動部分和相對運動部分,而內力功則只有相對部分,這是因為內力不會影響質心速度和整體運動.
作為對比,我們看看對角動量定理的分解.對靜點的質點系角動量定理為
(11)
其中,右邊存在角動量分解(類似于動能的柯尼希定理)
(12)
兩項分別為質心角動量(將整個系統的質量集中于質心后對靜點的角動量)和相對(于質心的)角動量.而左邊的合力矩可依式(4)分解為
(13)
式(12)、(13)中,左邊是對應的[見式(11)],右邊第二項也是對應的(即對質心的角動量定理),故有如下表示
(14)
其中,3個橫式分別為質點系的(總)角動量定理、質心角動量(軌道角動量)定理和相對角動量(自轉角動量)定理,兩個豎式分別為力矩和角動量的分解式.與式(10)不同的是,此處沒有內力項.
以常見的一道柔鏈題為例[1]進行分析.題目如下:
一柔鏈條長為L,單位長度的質量為λ,鏈條放在有一小孔的桌面上,一端由小孔稍伸下來,其余部分堆在小孔周圍,如圖1所示.由于某種擾動,鏈條因自身重量開始下落.求鏈條下落速度與落下距離之間的關系.所有摩擦不計.
圖1 柔鏈放置圖
可以看出,由于存在完全非彈性碰撞(上部的靜止鏈條被下部的運動鏈條突然拉扯),此系統機械能不守恒.文獻[1]給出多種方法,此處用質心動能定理求解.
質心動能定理中的功是“質心功”,有兩個要素:一是只有外力,沒有內力;二是位移只是質心位移.此題中的外力是支持力和重力,其中支持力做(總)功為零,但其質心功為負(質心下移);重力當然包括上部的重力和下部的重力,然后還要乘以(整個系統的)質心位移,故都做正功.
此題的關鍵是要確認:系統所受外力之和等于下部的重力.考慮一微元過程:上部相接處的一小段鏈條被下部拖動.此過程中,該小段與上部之間并無相互作用,只存在該小段與下部之間的拉扯,故上部所受的支持力除了抵消上部的重力外無額外的部分.于是,支持力與上部重力之和為零,二者的質心功之和為零,只剩下下部重力的質心功——下部重力(λyg)乘以整個系統質心的位移(dyC).于是,根據質心動能定理,有
(15)
容易計算出
代入式(15),化簡即得
文獻[1]對此題進行了詳盡的分析,給出多種解法以及一些概念辨析.可以看出,本文上述解法實質上就是文獻[1]的解法三,只不過該解法在那里被誤判了.