巧用正弦定理解決動態平衡問題

蔣國俊

(惠州市仲愷中學，廣東 惠州 516029)

1 問題及經典解法

(1) 問題提出.

圖1

如圖1,柔軟輕繩ON的一端O固定,其中間某點M拴一重物,用手拉住繩的另一端N,初始時,OM豎直且MN被拉直,OM與MN之間的夾角為α(α>90°)．現將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變．在OM由豎直被拉到水平的過程中[1]

(A)MN上的張力逐漸增大.

(B)MN上的張力先增大后減小.

(C)OM上的張力逐漸增大.

(D)OM上的張力先增大后減小.

(2) 兩種經典解法.

圖2

解法1(正交分解).受力分析如圖2所示．設OM與豎直方向夾角為θ,M點繞O點做圓周運動,沿切線方向:[1]FMNcos(α-90°)=mgsinθ.

沿半徑方向:FOM=FMNsin(α-90°)+mgcosθ.

當θ=α-90°時存在極大值,故FOM先增大再減小,(D)項正確．

圖3

解法2.利用矢量圓,如圖3所示.[1]重力保持不變,是矢量圓的一條弦,FOM與FMN夾角即圓心角保持不變,由圖知FMN一直增大到最大,FOM先增大再減小,當OM與豎直夾角為α-90°時FOM最大．[1]

2 用正弦定理巧解

(1) 正弦定理內容: 在任意△ABC中,角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,三角形外接圓的半徑為R,直徑為D．則有[2]

圖4

解法3.遷移知識,解決問題.設將OM拉到與豎直方向的夾角為θ,M點受力如圖4所示,則有

β=π-θ-(π-α)=α-θ.

FOM=F合1.

圖5

因此,我們可以得到一個力的三角形如圖5所示.由正弦定理我們可以得

利用數學的三角函數規律可知

sin(π-α)=sinα.

將變量FMN和FOM都表達為不變量mg解析式,可得

因為α不變,所以sinα保持不變．θ從0°增大到90°過程中,sinθ一直在增大,故FMN增大,所以選項(A)正確.

因為α>90°,在θ從0°增大到90°過程中,(α-θ)先從一個鈍角減小到90°,再從90°減小為銳角,而sin90°=1,是最大的,所以sin(α-θ)先增大后減小,故FMN先增大后減小,選項(D)正確.

3 3種解法的比較

第1種解法(正交分解法)是學生平時常用的方法,但在本題中使用此法有兩個關鍵點: ① 巧選沿切線方向為x軸,沿半徑方向為y軸; ② 熟練運用數學三角函數模塊的積化和差公式．這兩個

關鍵點也是兩個難點,兩個難點疊加在一起,學生要順利的得出結果就比較困難

第2種解法是將mg對應的有向線段放在一個圓中,從而確保變化過程中α不變．這個方法通過M點在圓中的動態變化很容易就得出兩個力的變化情況．然而,將有向線段放在一個圓中這個關鍵點學生很難想到．

第3種解法利用學生熟悉的平行四邊形法則構建一個力的三角形,運用正弦定理建立方程,進而得出兩個待求力的解析式,最終得出兩個力的變化規律．平行四邊形法則是學生很熟悉的,三角形中的正弦定理也是高中數學重點學習的內容,因此學生很容易將正弦定理遷移到力的三角形中解決物理問題．