巧破解，妙拓展

張新村

摘 要：解析幾何是高中數學中重要的知識點之一，也是歷年高考中的重點和難點。以橢圓和雙曲線為背景的高考解答題，思路雖然明朗，但運算要求靈活嚴謹，對代數運算的要求比較高。以拋物線為背景的解析幾何問題，拋物線方程特點鮮明，幾何特征簡潔明了，只要找到恰當巧妙的切入點，巧妙運用一些經典、簡單的結論，在解題時就有事半功倍之效。以一道拋物線兩條切線交點問題作為切入點，在課堂教學中進行拓展探究，拋磚引玉，以期為新高考復習備考提供些許幫助。

關鍵詞：拋物線;探究;韋達定理

一、問題呈現

問題：已知拋物線C：x2=4y。過拋物線C上兩點A，B分別作拋物線的兩條切線PA，PB，P為兩條切線交點，O為坐標原點。若■·■，則直線OA，OB斜率之積為（ ）

分析：本題主要考查拋物線標準方程及性質，直線與拋物線相切，考查學生的運算能力和抽象概括能力，也考查學生的核心素養數學，其中涉及的運算工具是導數和向量。

二、問題破解

解法一：（特殊位置定結論）

本題是選擇題，并且是圓錐曲線動態中求定值問題，

點評：解法一由特殊得到一般結論，對于動態下求定值或定點問題，往往可以由特殊位置或特殊值鎖定結論，然后再對一般情況進行論證;解法二則是通過解析法論證解法一的結論。兩種解法中兩個關鍵切入點：導數幾何意義應用和向量數量積的轉化。學生處理這個問題薄弱的地方就是沒有想到利用導數求切線斜率，大多數學生采用的是解法一。

三、拓展探究

對這個拋物線問題的講解如僅僅停留在本題表面的求解，那么就錯失了一次很好的探究機會，教學中嘗試通過反問和提問來激發學生的思考。

問題2：本題中兩條動直線相交于一點P，且垂直，除了直線OA，OB斜率之積為定值，是否還存在定性的結論？

學生能夠根據解法一求出點P坐標（0，-1），從而猜想點P可能在定直線y=-1上運動，接下來就是證明切線的交點P在定直線y=-1上，即證兩切線交點P的縱坐標為定值-1。

問題3：若拋物線方程不變，P是直線y=-1上動點，過點P的直線分別與拋物線相切于A，B，試問直線AB是否過定點？

以拋物線焦點在y軸上為例，通過以上拓展問題的研究可以總結出如下有用信息：在直線與拋物線位置關系的問題中，若直線恒過定點，則必可以找到x1+x2與x1·x2的線性組合的式子;反之，若題目中給出的條件能化簡為關于x1+x2與x1·x2的線性組合的式子，則可證明直線過定點，且定點不一定在坐標軸上。

四、教后感悟

總之，如何在新高考模式下是高三復習真正高效，我想需要我們重新認識課堂的教學建構，目標和過程不能僅限于學生當前的感受，需要思考從哪個切入點調動學生的活躍思維;需思考以哪個獨特的知識點去感染學生，引發思維碰撞;也需想好從哪里延伸開去，使學生思維活動繼續，讓學生的思維得到充分的鍛煉，形成良好的數學品質，培養核心素養。

參考文獻：

司林森.多角度巧思維：一道拋物線最值題的破解[J].高中數理化，2019（10）.