基于數理結合的跨學科思維審視高考物理試題

楊培軍　王偉民

摘 要：高考評價注重能力考查，掌握科學的思維方法是解決問題的關鍵.數理結合的跨學科思維的突出特征是思維上融合貫通.以2021年全國物理高考試題為例，分基礎型和發展型兩類，從數理結合的跨學科思維角度剖析問題，提出合理化的建議.

關鍵詞：思維方法;數理結合;跨學科思維;高考試題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：B 文章編號：1008-4134（2021）23-0047-04

《中國高考評價體系》明確指出：高考考查的素質教育目標凝煉為“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”的“四層”考查內容.其中“學科素養”承接核心價值的方向引領，統攝關鍵能力與必備知識;“關鍵能力”是支撐和體現學科素養要求的能力表征[1].學科素養包括“學習掌握、實踐探索、思維方法”三個一級指標，其中“思維方法”是指學習者在面對生活實踐或學習探索問題情境時，進行獨立思考和探索創新的內在認知品質.“思維方法”是思維品質、方式和能力的綜合，是個體高質量地解決生活實踐或學習探索情境中的各種問題的基礎.思維方法包含三個二級指標：科學思維、人文思維、創新思維[1].科學思維的指標表現是采用嚴謹求真的、實證的邏輯思維方式應對各種問題.能夠根據對問題情境的分析，運用實證數據分析事物的內部結構和問題的內在聯系.以抽象的概念反映客觀事物的本質特征和內在聯系.運用抽象與聯想、歸納與概括、推演與計算、模型與建模等思維方法來組織、調動相關的知識與能力，解決生活實踐或學習探索情境中的各種問題[1].隨著高考評價與教育育人目標的有機聯通，需要我們運用融合的科學思維方式去面對，運用好類似數理結合的跨學科思維是值得深入研究、探索的話題.

1 數理結合的跨學科思維的認識

數理結合的跨學科思維是指在物理與數學中不囿于學科邊界，重視學科內部、外部的知識交叉、融合，通過跨界去整合知識，從而解決問題的思維方式，它的突出特征是思維上的融會貫通[2].

對于物理學與數學的關系，楊振寧先生曾用長在一棵根莖上的“雙葉”加以形容.一片葉子是物理學，另一片葉子是數學，兩者生長在同一根莖上，這充分說明了數學與物理學的同源關系.不論物理知識在學習建構過程中，還是物理知識運用過程中，數學和方法論問題都起到重要的紐帶作用[3].由于數學方法應用的廣泛性、普適性以及數學理性思維的不可替代性，無論是人文社科領域，還是自然科學領域，與數學的交叉與融合都具有普遍性.總之，培養學生數理結合的跨學科思維是非常必要的.由于學科教學的分立，教師教學中過于習慣固守學科邊界，很難主動進行學科間知識的融通，造成了思維的局限性.在物理教學過程中，老師要主動示范，引導學生運用數學的思維方法去分析物理概念、規律及物理公式和圖像的物理結論，既考慮定性分析，又重視定量計算.真正利用數理結合的跨學科思維讓知識之間有了聯系，便于遷移，讓知識鮮活、流動起來，從而使師生既看見“樹木”，又看到“森林”.

2 利用數理結合的跨學科思維分析案例

近幾年高考物理重視學生綜合素質的考查，試題突出知識間的聯系和學科間的融合，以社會生活、生產和科學創新的情境為依托，考查學生能否綜合運用學科知識和多種思維方法，從不同角度思考、發現、分析和解決問題.由于物理與數學的密切關系，高考試題的變化倒逼我們加強數理結合的跨學科思維能力的培養，引導學生主動用跨學科思維方法去分析、解決物理問題，更好地達成知識間、能力間的融會貫通.根據數理結合的復雜程度，把相關高考試題分為基礎型和發展型，下面結合2021年全國高考物理（乙卷）試題作案例分析.

2.1 基礎型

例題1 （2021年全國物理高考乙卷 20題）四個帶電粒子的電荷量和質量分別為（+q，m）、（+q，2m）、（+q，3m）、（-q，m）.它們先后以相同的速度從坐標原點沿x軸正方向射入一勻強電場中，電場方向與y軸平行，不計重力，下列描繪這四個粒子運動軌跡的圖像中（如圖1），可能正確的是分析：該題以不同荷質比的帶電粒子在同一電場中偏轉為情境設置問題，主要考查學生根據拋體運動規律，確定不同帶電粒子運動軌跡圖形形狀的判斷能力.在x軸上粒子的運動位移為x=v0t;在y軸上，粒子運動的加速度和位移分別為a=qEm和y=12at2，所以，帶電粒子在電場中運動的軌跡方程為y=qE2mv20x2.由粒子運動的軌跡方程可知，帶電粒子運動軌跡的形狀與荷質比qm的大小有關.此題需要建構所學拋體運動的軌跡方程，利用數學中的函數圖像特點去進行分析、判斷.學生如果缺乏建立軌跡方程的意識，沒有跨學科思維的習慣，就難以形成解決問題的方法和路徑.這類題目在歷屆高考中也曾反復出現過.

評析：此類高考試題的解答，多從具體物理問題出發，經過知識的梳理需要延伸到利用數學工具去解決.教師在教學中應多引導學生從數理結合的角度，運用聯想、類比、遷移、逆向思維等方法去處理物理問題，尤其注重挖掘并發現隱含的數學元素，逐步培養學生運用數理結合的跨學科思維方式去解決相關的物理問題.

2.2 發展型

例題2 （2021全國高考物理乙卷 34題（2））用插針法測量上、下表面平行的玻璃磚的折射率.實驗中用A、B兩個大頭針確定入射光路，C、D兩個大頭針確定出射光路.O和O′分別是入射點和出射點，如圖2（a）所示.測得玻璃磚厚度為h=15.0mm;A到過O點的法線OM的距離AM=10.0mm，M到玻璃磚的距離MO=20.0mm，O′到OM的距離為s=5.0mm.

（?。┣蟛ＡТu的折射率;

（ⅱ）用另外一塊材料相同，但上下表面不平行的玻璃磚繼續實驗，玻璃磚的截面如圖2（b）所示.光從上表面入射，入射角從0°逐漸增大，達到45°時，玻璃磚下表面的出射光線恰好消失.求此玻璃磚上下表面的夾角.

分析：插針法是一種測量結果相對比較精確，而操作過程又非常簡單的測量透明物質折射率的實驗方法.例題2是2021全國高考物理乙卷選考題最后一題（34題）的第（2）小題，以插針法測量玻璃折射率為背景設置的題目.通過考生對該題目的解答，可以考查學生對折射率的含義、全反射的條件等知識點的掌握情況，以及靈活運用數學知識解決復雜物理問題的能力.

第一問，利用題目給出的相關線段的長度作為條件，在圖2（a）Rt△OAM和Rt△OO′N中可以分別求出∠AOM和∠OO′N的正弦值，再根據折射率的定義即可確定組成玻璃磚材料的折射率為2.應該說，題目的第一個小問題屬于基礎性問題，只要學生掌握折射率的定義，利用題目條件容易確定問題的答案.相比于第一個問題，第二個小問題的難度要高一些，不僅要求學生掌握全反射的條件，而且還要有較強的分析問題和解決問題的能力.根據題目條件，在圖中作出相關輔助線之后（如圖3）——

可以看出，本題目的兩個小問題，不僅考查的知識點全面，而且有明顯的難度梯度，具有區分考生能力高下的功能，這也是作為選拔性考試題目應該具備的一個條件.

能夠發現，這道高考題目給出的幾個長度數據條件比較“特殊”，利用三角函數經過計算剛好使得相關的角度為特殊角（分別是15°、30°和45°這些特殊角），這肯定是編者精心設計的結果，目的是使考生便于根據題目給出的長度數據進行相關角度的計算.我們從數理結合的視角去思考，如果該問題給出線段的長度數據是任意的，對應的相關角度就可能不再是特殊角，那么，一般情形下這一物理問題的求解，在數學關系上是否存在確定的規律？

2.3 擴展條件 尋找規律

例題3 如圖4所示，玻璃磚的上下兩個側面PQ和RS不平行，讓一束光線按圖示方向以較小的入射角從空氣照射到玻璃磚上表面PQ上的確定點O，并逐漸增大入射角，發現當入射角增大到θ時，進入玻璃中的折射光線OB射到玻璃下側面時剛好發生全反射，若玻璃的折射率為n，試求玻璃磚上下兩個側面PQ和RS夾角α的大?。捎梅慈呛瘮当硎荆?

分析：這道高考變式題目，是在原高考題目的基礎上更改一些條件之后，將原高考題目給出的特殊角下的物理問題推廣到一般情形，各相關角度成了任意角，所以，這道變式題目的解決方法和對應答案更具普遍意義.

該結果正是例題2給出條件下玻璃磚上下表面的夾角，這也從一個側面說明我們推得的公式α=arcsin1n-arcsinsinθn的正確性.

與原高考題目給出的問題相比，這一變式給出的一般情形下問題的求解，能夠更好地利用數理結合的跨學科思維方式培養學生的科學推理能力.

2.4 開拓思路 創編新題

例題4 如圖6所示，半球狀玻璃磚球心為O，底面水平放置，OM是垂直于底面的直線，玻璃的折射率為233，ON是過O點的另外一條直線，它與OM的夾角為α，在兩條直線確定的平面內，光線AB以很小的入射角從空氣射向玻璃磚球面上的點B，保持入射點位置不變，逐漸增大入射角，當角度增大到確定值θ時，折射入玻璃磚中的光線再射向底面時剛好發生全反射，已知C是A在直線OB上的正投影，AC=1，BC=2.

（1）求法線ON與直線OM夾角α的大小;

（2）如圖7所示，當入射光線ED對應法線OP與豎直線OM的夾角為=15°時，為使折射入玻璃中的光線再射向玻璃磚的底面時能夠發生全反射，入射角θ′的最小值為多大（結果可用反三角函數表示）？

解析：（1）圖6中過光線AB的入射點B作球面的切線，交底面于S，如圖8所示，則∠S=∠BOM=α，由已知條件可求得sinθ=33，則光線從B點由空氣入射時，相當于光線從兩側面為平面且夾角為α的玻璃磚的一個側面由空氣入射的情形，運用例題2推導的公式可得

（2）圖7中，對入射光線ED而言，要使折射光線再射到玻璃磚的底面時發生全反射，必須滿足：

答：（1）法線ON與直線OM夾角α的大小30°;（2）為使折射入玻璃中的光線再射向玻璃磚的底面時能夠發生全反射，入射角θ′的最小值為θ′=arcsin63.

評析：上面給出的高考試題原題和對應變式的解答，能夠利用數理結合的跨學科思維方式解決相關問題，從例2到例3，體現了歸納推理的基本思想，從例3到例4，展現了演繹推理的思維方式，這些問題的解決可以提升學生的科學推理能力.教師要有對此類高考題背后的數學規律挖掘的意識和行為，多帶領學生靈活使用數理結合的跨學科思維去深化對物理規律的認識，引導學生思考知識內部的關聯規律，提升學生深度分析問題的能力[4].

3 結束語

數理結合的跨學科思維立足于運用物理知識，結合數學工具去解決相關的實際問題，既要考慮物理條件的約束，又需注意數學處理時的邊界問題，這對教師的專業素養提出了更高的要求.建議教師在業余時間多學習數學教材的相關內容，經常與數學教師溝通交流，找準數理結合顯性和隱性的“鏈接點”.教師應身體力行，言傳身教，在平時的教學過程中，尤其是習題課教學時，應引導學生有意識地運用數理結合的跨學科思維解決相關的物理問題.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京： 人民教育出版社，2020.

[2]黃翔，童莉，史寧中.談數學課程與教學中的跨學科思維[J].課程·教材·教法，2021，41（07）：106-111.

[3]邢紅軍.中學物理教學法[M].北京： 北京大學出版社，2020.

[4]楊培軍.追根溯源 瑕不掩瑜——2016年高考全國卷Ⅰ物理第35題賞析[J].物理教師，2017，38（01）：81-83.

（收稿日期：2021-09-03）

基金項目：安徽省教育科學研究項目2020年度課題“新人教版高中物理單元教學設計的實踐研究”（項目編號：JK20040）;人民教育出版社課程教材所“十三五”課題“基于智慧課堂的新版高中物理實驗教學的實踐研究”（項目編號：KC2020-007）.

作者簡介：楊培軍（1970-），男，安徽阜陽人，本科，中學高級教師，物理教研員，研究方向：課堂教學;

王偉民（1964-），男，安徽阜陽人，本科，中學高級教師，研究方向：中學物理教學.