對一道極值點偏移題的分析

李曉敏

導數問題（極值點偏移問題）往往體現出較強的區分度和選拔功能，經?？疾閷W生的推理論證能力、運算求解能力、分類與整合能力，考查函數與方程的思想、劃歸轉化的思想。下面結合例題給出幾種不同解法及學生答題情況的分析。

例題：已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性；

【問題分析】

（1）考查的知識點：利用導數研究函數單調性，其中運用到導數公式和導數運算法則。

解：（1）f（x）=x（x-lnx），x∈（0，+∞）

∴f′（x）=1-lnx-1=-lnx

∴x∈（0，1），f′（x）＞0，

x∈（1，+∞），f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減.

【解法研究】

先利用導數公式求得導函數，結合導函數的圖象解出大于零小于零的解集，寫出函數的單調區間。第（1）問比較簡單，屬于送分題，而且對第（2）問有暗示。

（2）方法一：構造對稱性函數

【問題分析】

題目（2）是極值點左偏問題，最常見的做法是構造對稱性函數，考慮函數y=f（x）在極值點1附近的偏移情況并結合其單調性構造不等式。

要證x1+x2＞2，即證x2＞2-x1，∵0＜x1＜1∴1＜2-x1＜x2（不易證，利用函數單調性，轉化為證明函數不等式）

即證f（x2）＜f（2-x1）（盡量減少自變量的個數）

即證f（x2）＞f（e-x1），即證f（x1）＞f（e-x1）

x∈（0，x3）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，x3）單調遞增.

x∈（x3，1）時，h′（x）＜0，h（x）在（x3，1）單調遞減.

x→0，h（0）→0，x=1時，h（1）=f（1）-f（e-1）＞0

【解法研究】

大部分學生沒有從函數角度去考慮不等式，導致無從下手，其實題（2）思路形成的關鍵是必修一函數單調性等價形式：若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調遞增（減）則分考生考慮到了以上方法，不過在轉化已知條件時轉化不徹底，把已知條件轉化為新函數g這個函數與已知函數f（x）=x（1-lnx）沒有任何關系，需要重新研究函數g（x）單調性、極值，計算量增大，費時費力，不過也能證得結論成立。

方法二：增量法

【解法研究】

方法三：切割線放縮法

不妨設0＜x1＜1＜x2

∵在區間（0，1），f（x）=x（1-lnx）＞x

∴f（x1）＞x1

過（e，0）點切線斜率為k=f′（x）｜x=e=-1

切線方程為q（x）=-x+e

令V（x）=q（x）-f（x）=-x+e-x（1-lnx），x∈（1，e）

【解法研究】

切割線放縮法需要畫出函數圖象結合割線放縮、切線放縮，還要與要證的不等式相結合才能解答此題。此方法優點是過程簡單計算量小，不足是思維量大，要有很強的數形結合能力，能較準確地畫出圖象，還要有極限思想，對考生數學能力要求比較高，不容易想到。

第（2）問抽象性、綜合性較強，能力要求比較高，技巧性強，區分度較大，但只要能認清本質，抓住關鍵，立足通法，善于轉化，靈活運用導數及分析法就能解決本題，優秀學生是可以拿到高分的。極值點偏移問題在歷年高考中反復出現，比如2010年天津卷、2011年遼寧卷、2013年湖南卷、2016年全國卷等，希望引起大家的重視。