有限角CT成像研究進展

趙云松， 李宏偉， 張 朋

(1. 首都師范大學 數學科學學院， 北京 100048； 2. 首都師范大學 北京高等學校檢測成像工程研究中心， 北京 100048)

0 引言

X射線CT能夠無損地呈現被成像樣品內部的三維結構[1-3]，自20世紀70年代被發明以來，在醫學(組織器官、生理代謝過程成像)、藥學(藥效檢測、新藥開發)、材料學(新材料的開發)、工業(各種器件的質檢和探傷)、農業(木材和種子的質檢和分析)、工程(建筑材料內部孔隙度、連通度和滲透性分析)、珠寶(真偽識別和最佳切割方案設計)、考古(化石的結構和成分分析)等領域發揮了重要的作用[4]。隨著CT軟、硬件技術的進步，其應用范圍也越來越廣泛。為此，X射線CT被列為20世紀的十大發明之一。

X射線CT成像即由投影重建圖像，通過采集被成像樣品不同角度的投影數據，利用特定的成像算法由投影數據重建出被成像樣品線性衰減系數分布的圖像[5]。理論上，對于一般樣品要想精確重建圖像，獲得的投影數據需要滿足數據完備性條件。在探測器尺寸足夠大的假設下，Smith指出：被掃描樣品能夠由錐束CT掃描數據精確重建的充分必要條件是“與被掃描樣品相交的每個平面，都與射線源的軌跡有交點”[6]。因此，為獲得完備的投影數據，就要在實際CT掃描中，對射線源的掃描軌跡進行適當的設計。但是在一些實際應用中，由于出于對患者掃描劑量的考慮，或是由于樣品本身以及CT系統的限制，有時候并不能得到完備的投影數據。這種由于掃描角度限制導致的數據不完備，我們稱為有限角數據；相應的成像問題，稱為有限角CT成像問題。此外，實際CT系統的探測器尺寸總是有限的。有限的探測器尺寸也可能會導致被掃描樣品中一些點沿特定方向的掃描數據不能采集到，從而導致有限角CT成像問題，如外問題[7]。

典型的有限角CT掃描有：①圓軌跡錐束掃描[8-9]。如圖1(a)所示，射線源的軌跡構成一個平面圓形。該種掃描模式不滿足Smith精確重建條件，因為任一平行于射線源軌跡但不與之相交的平面，都不能與射線源軌跡相交。但是該種掃描模式容易實現，在錐角不是特別大的時候能得到較好的重建圖像，因此，仍廣泛應用于工業CT和顯微CT系統中。②Tomosynthesis掃描[10-11]。如圖1(b)所示，該種掃描模式廣泛應用于乳腺成像和人體全身的層析成像，其掃描角度很少，一般只有十幾度或幾十度，所以掃描劑量很低，特別適用于對X射線比較敏感的乳腺等部位的成像。③Computed Laminography(CL)掃描[12-13]。仔細對比圖1(a)、(c)會發現，從幾何上講CL掃描模式與錐束圓軌跡掃描模式是等價的，只是其錐角更大一些，一般要大于30°。該種掃描模式的突出優點是掃描樣品可以充分靠近射線源，獲得較大的放大比，適用于平板狀樣品的高分辨成像。其他一些常用的有限角掃描模式，可參見文獻[13-15]，本文不再贅述。

圖1 典型的有限角CT掃描(a)圓軌跡錐束掃描模式；(b)Tomosynthesis[16]；(c)Computed Laminography[17]

由于投影數據不完備，有限角CT成像問題高度病態，采用傳統算法重建的圖像中會存在嚴重的有限角偽影，影響CT圖像的閱片和判讀。但是由于有限角CT成像適用于一些特定而重要的應用場景，該問題還是得到了國內外學者廣泛的研究。本文首先簡要介紹了有限角CT圖像偽影的特點；然后重點綜述了過去近50年間有限角CT圖像重建算法的研究進展，包括作者所在團隊所做的相關研究和探索；最后概述了目前存在的問題，以及對進一步研究的展望。鑒于作者水平所限，加之時間倉促，綜述中難免有疏漏的地方，引文也不可能面面俱到。因此，歡迎讀者批評指正，并與我們探討和交流。

1 有限角CT成像算法綜述

有限角重建一直是CT成像領域的難點問題之一，其研究可以追溯到20世紀70年代。在國內外學者的持續努力下，有限角重建的研究不斷取得進展。近年來，隨著非凸優化及深度學習等方法和技術的興起，有限角重建的研究被提升到了一個新的高度。

改善有限角重建質量的基本思想是盡可能地挖掘和利用先驗信息，并整合到重建模型和算法中。本節首先介紹有限角CT圖像的偽影特點，然后綜述有限角CT成像算法，包括數據插值方法、正則化方法，以及近年來熱點研究的深度學習方法。

1.1 有限角CT圖像偽影

1977年，Smith采用奇異值分解方法研究了有限角CT成像問題解的唯一性和穩定性，證明了在一定條件下有限角CT成像問題的解是唯一的，但該問題高度病態，尤其是當掃描角度范圍小于120度時，病態程度會隨著掃描角度范圍的減小逐漸呈指數增長[18]。

基于傳統方法重建的有限角CT圖像會出現固有偽影。1986—1988年，Louis、Quinto等[19-20]學者證明了沿著與射線垂直的方向，圖像的邊界較難重建。沿著這一思路，Quinto等于2015年基于微局部分析(microlocal analysis)理論提出了“可見邊界(visible boundaries)與不可見邊界(invisible boundaries)”的重要概念，并對有限角重建投影數據與重建圖像之間的關系進行了深入刻畫[21]。根據可見邊界與不可見邊界的特點，應用傳統重建算法(如FBP[22]，SART[23]等)重建的有限角CT圖像中，沿著與射線相切方向的圖像(被掃描樣品)邊界是可見的；而沿著與缺失射線相切方向的圖像邊界是不可見的。此外，他們的分析表明，重建的圖像還會出現條狀偽影(streaks artifacts)，且這些偽影都分布在與初始和結束掃描角度相平行的方向上。圖2(b)為圖2(a)所示的矩形模體利用SART方法從120°投影數據重建的CT圖像，可見圖像中沒有被掃描角度覆蓋的邊界出現了模糊現象，尤其是水平邊界，已完全消失了。此外，重建的圖像上也出現了嚴重的條狀偽影。

圖2 仿真模體及其重建CT圖像(a)矩形仿真模體；(b)利用SART方法從120°投影數據重建矩形模體(a)的圖像

根據可見邊界與不可見邊界理論：豎直邊界有射線與其相切，因而是可見的；而水平邊界沒有射線與其相切，因而是不可見的。重建圖像沿著y方向上出現了嚴重的模糊現象，同時也出現了沿特定方向分布的條狀偽影。

1.2 數據織補方法

數據織補是非常自然的想法，也是文獻上最先提出的方法。這類方法主要利用投影數據的兩種先驗信息：局部光滑性[24]以及H-L一致性[25-26]。采用的挖掘和利用方式主要有解析延拓[27]、貝葉斯估計[28]、變分優化模型[29]等。投影域織補等價于數據“外插”，本身不夠穩定。此外，類似于Fourier 頻域空間濾波，投影數據的局部改變會在重建圖像上產生全局影響。故投影域織補容易導致重建圖像產生偽影以及結構信息丟失。近年來，關于投影域織補的研究相對較少。

1.3 正則化方法

正則化方法是近年來研究最多的一類方法。在很多應用領域，CT圖像可以用分片常數函數來近似表示，因而在某些變換域，CT圖像具有稀疏性。這一先驗信息被許多圖像域正則化方法加以利用，以設計相應的優化模型和算法。TV(total variation)正則化常被用來表達分片常數圖像。2006年，潘曉川教授等將其引入CT圖像重建領域，并提出了ASD-POCS算法來求解包含TV正則項的優化模型[30]。2012年，CP(Chambolle-Pock)算法被引入到CT重建中，可求解包含不同形式的正則項及數據項的能量泛函[31]。與TV所采用的梯度變換類似，小波緊框架[32]、曲波變換(curvelet)以及剪切波變換(shearlet)等，也被用來表達稀疏性[33-35]。這些正則項的引入，在一定程度上改善了有限角CT重建圖像質量。

各向異性TV(ATV)重建是有限角CT重建的一個重要進展[36]。ATV對傳統的各向異性TV做了擴展，除x,y方向外，它還考慮了非坐標軸方向。對于不同方向上的TV，ATV分配不同的權重?？梢哉J為，在一定程度上，ATV利用了可見邊界作為先驗信息。采用與ATV類似的思想，文獻[37]研究了CT重建中的外問題。外問題也可認為是有限角重建問題，只不過在圖像不同的位置處，缺失的掃描角度不同而已。故而在圖像不同的位置處，可見邊界的分布方向也不同。為反映這一特點，文獻[37]采用了較為復雜的權重分布方式。

DART是有限角重建的一個典型迭代方法[38]。該方法沒有相應的優化模型，但也可理解成在傳統的重建算法中，融入了分片常數先驗信息。對于分片常數圖像來說，所有像素的灰度值限定于取有限個不同的常數。在每一次迭代中，DART包含了兩個過程：SART重建(或其他重建方法)以及閾值分割。分割的目的是修正重建的圖像為分片常數圖像。如果把分割也看成一種變換的話，DART同樣也是利用了變換域的稀疏性。TVR-DART[39]是DART的一個擴展算法，取消了DART對于圖像灰度級集合已知的假定。采用圖像分割的方式來利用先驗信息的工作還可見文獻[40-41]。

隨著非凸優化在圖像處理領域的興起，非凸模型也被應用到CT重建中。其中TVp(0≤p<1)正則項被廣泛采用。非凸正則項對于稀疏性的表達要優于凸正則項。對于有限角CT成像，采用TV0代替TV1, 可有效提升有限角重建的圖像質量[42-43]。TV0在表達分片常數函數的能力上比TV1更為有效。如在文獻[44]中，作者證明了TV0可以精確恢復邊界位置和對比度。實驗表明，在保邊界能力上，TVp(0≤p<1)都比TV1要好。TV的另外一項進展：RTV(reweighted total variation)也被用于有限角重建。通過在迭代中不斷的更新TV的權重，RTV逼近一個非凸正則項，因而可以更高效地挖掘圖像稀疏性[45-46]。

文獻[47]提出了分方向保邊擴散和保邊光滑的有限角重建模型及算法(AEDS)，深入研究了如何充分利用可見邊界作為先驗信息來提升有限角重建圖像的質量，具體參見本文2.1節。采用類似的保邊擴散思想，文獻[17]提出了EIDR(edge information diffusion-based reconstruction)算法，有效消除了大錐角錐束CT沿z軸方向的模糊，大幅度提升了CL掃描模式下重建圖像的質量。2021年，潘曉川教授課題組又進一步發展出了DTV模型[48]，能夠由很小掃描角度范圍的數據重建出理想的CT圖像。

此外，還有文獻把圖像域的先驗信息和投影域的先驗信息整合到一個優化模型中，通過雙域正則化實現重建圖像質量的進一步提升[49-50]。

1.4 深度學習方法

除了傳統正則化方法外，近年來，深度學習也被應用于CT重建。因為訓練用的標簽數據通常包含了投影以及相對應的重建圖像，故基于深度學習的重建可歸類于雙域正則化方法。此外，由于采用了非線性激活函數，深度學習重建屬于非凸優化范疇。

2016年，王革教授對深度學習重建做了鼓舞人心的展望[51]。國內外眾多學者投入到了基于深度學習的CT重建研究中。2018年5月，X射線CT成像領域的國際頂級期刊《IEEE Transactions on Medical Imaging》推出了機器學習重建特刊,進一步推動深度學習重建的研究熱潮。深度學習最初只用于圖像后處理，與重建過程并無關系[52-54]。最近發展的深度學習重建方法已經與重建過程深度融合[55-57]，都采用了“數據驅動+模型驅動”的方式，即通過迭代展開或者Plug-and-play[58]的方式，把設計的重建算法“映射”成深度網絡。然后通過大數據訓練，最大限度地挖掘投影域和圖像域所蘊含的先驗信息。更多關于深度學習的有限角重建研究可見文獻[59-60]。

2 作者所在團隊的相關研究進展

作者所在團隊多年來一直從事X射線CT成像理論和應用研究以及CT設備的研發。近幾年，在有限角CT成像算法方面也做了初步嘗試，取得了一些進展，并在此基礎上研發出了應用于板狀物分層成像的兩類平板CT設備。以下簡要介紹本團隊的相關研究工作。

2.1 AEDS算法[47]

AEDS是Alternating Edge-preserving Diffusion and Smoothing的縮寫，即交替保邊擴散和平滑。該算法的突出優點是在考慮待重建圖像先驗信息的同時，考慮到有限角CT圖像中偽影與掃描角度的相關性，因此，能更有效地消除CT圖像中的有限角偽影。AEDS算法得到了著名CT專家潘曉川教授的充分肯定，稱其團隊的DTV模型是在該算法啟發下提出的[48]。與AEDS模型[式(1)]不同，DTV模型將圖像先驗信息顯式地表達為兩組不等式約束。所以，DTV模型可以看成分方向TV正則化情形下AEDS模型的約束表示形式。采用不等式約束表達先驗信息帶來的優點是：對一些特定的掃描樣品，模型參數更容易確定。關于DTV模型的具體形式和求解算法可參考文獻[48]。

AEDS方法的基本思想是基于如下觀察：圖2(b)展示了矩形模體[圖2(a)]利用SART算法由有限角投影數據重建的CT圖像，掃描角度為[30°,150°]。從圖中可以看到，雖然掃描角度不完全，模體的豎直邊界仍然能夠較好重建出來，而水平邊界未能重建，出現了嚴重的模糊現象。這與可見邊界與不可見邊界的理論相符合，是由于獲得的投影數據中缺少了圖像豎直方向的頻率成分?；谶@一觀察，我們提出通過水平保邊擴散利用豎直邊界處可靠的像素值恢復內部像素值的方法。但由于忽略了豎直方向上相鄰像素間的相關性，水平保邊擴散會在重建的CT圖像中引入水平的條狀偽影。為了消除條狀偽影，我們又增加了豎直方向上的保邊光滑操作。最后我們得到如下優化模型：

(1)

圖3 模擬數據有限角重建結果注：最后一行為AEDS算法重建結果

2.2 EIDR算法[17]

EIDR是Edge Information Diffusion-Based Reconstruction的縮寫，是針對CL掃描提出的一種三維圖像重建算法。其基本思想與AEDS類似，也是通過重建出的邊界信息逐步恢復圖像的內部信息；不同之處在于，CL掃描導致的圖像模糊是垂直于水平斷層的，我們通過在每個斷層圖像內求解一種保邊界擴散方程來恢復圖像內非邊界處的信息，具體細節請參考文獻[17]。我們利用SART算法和EIDR算法重建的一塊PCB板的圖像，如圖4所示。從圖中可以看到，SART算法重建的結果中存在嚴重的層間混疊偽影，導致PCB走線無法看清；而EIDR算法有效消除了數據不完全引起的圖像混疊偽影，使得PCB走線清晰可見。但是，EIDR存在與AEDS算法類似的問題，重建的斷層圖像應該盡量與PCB走線，以及屏蔽層平行。此外，收斂速度慢也限制了該算法的工程應用范圍。

圖4 CL掃描數據重建結果(a)SART重建結果；(b)EIDR重建結果

可以看到，EIDR算法有效消除了CT圖像層間的模糊。

2.3 其他相關工作

針對上述算法優勢和不足，作者所在團隊從多個角度嘗試了改進，主要工作包括以下內容。

針對AEDS算法收斂速度慢的問題，趙樹森等提出通過硬閾值方法對重建圖像水平方向的導數圖像進行截斷，然后再利用截斷后的導數圖像恢復CT圖像[61]。具體實施過程中利用了Fourier變換的微分性質，有效提高了計算速度。此外，該方法還綜合考慮了投影數據的噪聲模型，降低了投影數據中噪聲對重建結果的影響。

掃描數據中的噪聲會影響AEDS算法重建的效果，為提高算法的穩定性，鄧小娟等提出一種以廣義收縮算子作為正則化算子的重建方法[62]，采用P-shrinkage算子所隱式定義的廣義罰函數替換AEDS方法中的l0和l1范數正則化項，更好地平衡保邊界能力以及對噪聲或偽影的抑制能力，降低重建模型中正則化參數的敏感性；盛文娟等提出一種基于序列正則化的有限角CT圖像重建算法[63]，將加權方向梯度約束和標準TV約束序列化使用，在協同抑制偽影的同時相互抑制對方產生的負面影響，從而提高重建圖像的質量。

AEDS算法對CT圖像中的水平邊界具有很好的恢復能力，但是對傾斜邊界的恢復能力就要弱一些。針對該問題，魯昕等提出一種廣義的TV正則化有限角CT重建算法[64]，該算法設計了一種對圖像梯度自適應加權的方法，來調整像素值的擴散方向和擴散速度，從而顯著改善了AEDS方法對于非垂直或非水平邊界不能很好恢復的問題。此外，由于擴散方向更有利于去除有限角偽影，該方法也有更快的收斂速度；薛曉等提出一種曲率約束的有限角CT重建算法[65]，通過在正則項中增加曲率項來限制圖像內部邊界的長度，從而消除已有算法恢復出的圖像邊界存在鋸齒狀偽影的問題。該算法對非水平和豎直的邊界有較好的恢復效果。

利用神經網絡從數據中學習圖像特征是目前的一個熱點研究方向，作者團隊在該方面也做了初步嘗試。馬根煒等利用卷積神經網絡替換AEDS方法中人工構造的正則化項，通過迭代展開的方法構造了一種交替保邊擴散、平滑網絡結構(AEDSNN)[66]，對仿真數據和實際數據均取得了較好的重建效果。

徐金秋等將保邊擴散、平滑的思想應用于外問題成像[67]。由于外問題重建CT圖像中的圖像模糊是沿極角方向的，因此，在外問題圖像重建中的保邊擴散、平滑操作分別沿極徑和極角方向進行。

3 存在問題及進一步研究

隨著圖像處理領域挖掘和表達先驗信息的方式和手段的進步，近幾年來有限角成像的理論和算法取得了較大進展。盡管如此，成熟的應用依然不多。傳統模型驅動的算法一般需要上千次迭代才能夠收斂，難以滿足對于實時性要求高的實際應用需求。此外，由于問題的嚴重病態性，傳統模型的重建結果對于模型及其求解算法中的參數有一定的敏感性。深度學習方法應用于實際問題時也存在著標簽數據集難以獲取和構建的困難，以及深度網絡模型的泛化能力不足帶來的可靠性困擾。

針對標簽數據難以獲取的問題，文獻上提供了兩種思路：其一是采用無監督(弱監督)學習方法，其二是采用生成模型學習不配對數據集的聯合分布或者條件概率分布，從而生成配對的訓練數據集。N2N(Noise2Noise)[68-69]系列方法展示了無監督學習在圖像去噪問題上的優異性能，且Noise2Inverse[70]、Noise2Sim[71]等方法初步表明，N2N方法也可用于CT圖像重建。但如何將該思想用于有限角重建依然需要進一步探索。對抗生成網絡(GAN)以及變分自動編碼器(VAE)是流行的兩種生成模型，已有大量應用。此外，Normalizing flow提供了利用深度網絡構建生成模型的新途徑，Deflow[72]和LUD-VAE[73]展示了采用生成模型構建配對訓練數據集并用于圖像復原的可能性，文獻[74]表明，生成模型可用于低劑量CT圖像去噪。但是，利用生成模型構建的數據集與真實數據集之間的匹配度依然難以保證。針對深度網絡的泛化能力不足問題，文獻上提出了遷移學習、域自適應(Domain adaption)以及域泛化(Domain generalization)方法。但目前這些方法的應用大多還局限于計算機視覺和圖像處理領域。

隨著人工智能技術的進一步發展，深度學習方法或將為有限角成像研究注入新的活力，促進有限角CT成像技術的廣泛應用。

謹以此文緬懷邱佩璋先生逝世一周年。