基于核心素養的高中數學教學設計

摘 要：核心素養指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》中也倡導促進學生數學學科核心素養的形成和發展[1]。學校和教師依據國家頒布的課程標準才能更好地進行教學，在這個背景下，本文以集合的概念為例，給出了核心素養下的高中數學教學設計，希望給廣大教師一些參考。

關鍵詞：核心素養 高中數學 教學設計 案例

集合是刻畫一類事物的語言和工具，學生步入高中后接觸到的第一個知識就是集合，集合的重要性不言而喻，學習集合的概念，對培養學生的數學抽象素養具有重要意義。因此，在課堂教學中，如何落實核心素養就成了我們需要思考的問題。教師可以從“教什么”和“怎么教”兩方面來落實核心素養[2]。

1 教材分析

集合的概念是數學教材必修第一冊中第一章第一節的內容。課標中也對本節內容作了相應的要求：通過具體的例子了解集合的含義;體會集合中的元素與集合的“屬于”關系;能夠針對不同的具體問題選擇合適的集合的表示方法。集合是簡潔、準確地表達數學內容的基本語言，是整個高中數學內容學習的基礎。

本節的內容比較基礎，在考試中經常作為題目的一部分與其他知識一起考察，其中元素與集合的關系、用列舉法和描述法表示集合等內容是考察的熱點。

本節內容所涉及的主要核心素養有：數學抽象、邏輯推理、數學運算等。

2 學情分析

學生在小學、初中階段的學習中已經接觸過一些集合，只是沒有系統有效地使用集合語言，有了這些基礎，再加上學生在生活中發展起來的數學運算、邏輯推理等素養，在學習這部分內容時會比較得心應手。

在學生學習的過程中，學生可能存在以下認知障礙：一是對集合中元素的特征把握不準確，主要原因是這一塊內容的考察方式很靈活，需要學生具備一定的邏輯推理素養;二是在使用描述法時易混淆代表元素的意義，主要原因是思考問題中的慣性以及審題不仔細。

3 教學目標

（1）通過具體的例子，使學生了解集合與集合中元素的含義，體會從具體例子中抽象出集合共同特征的過程，發展學生思維和數學抽象核心素養。（2）體會元素與集合之間的屬于關系。（3）了解集合中元素的確定性、互異性、無序性。（4）能選擇合適的集合語言描述相關的數學對象，并能夠做到表述方法的轉換。（5）調動學生學習的積極性，培養學生的抽象概括能力。

4 教學重難點

重點：集合的含義與集合的表示方法.難點：合理選擇恰當的表示方法。

5 教學方法

講授法、問答法。

6 教學過程

6.1 復習引入

（1）在初中的代數部分，我們接觸過哪些集合呢，你可以給出一些集合的例子嗎？（2）在初中的幾何部分，你是否也能給出一些集合的例子呢？

【師生互動】

師：引導學生回憶，讓學生之間進行討論交流，教師根據學生的交流情況給予相應的反饋和評價。

生：老師，我記得在不等式的解集中有過集合的提法。

師：很好，還有其他同學補充嗎？

生：老師，我知道在定義圓的概念時也提到過集合。

【設計意圖】

回憶之前學習過的知識，引出集合的概念。

6.2 概念形成

出示一組實例：

（1）1～10之間的所有偶數;（2）立德中學今年入學的全體高一學生;（3）所有的正方形;（4）到直線l的距離等于d的所有點;（5）方程x2-3x+2=0的所有實數根;（6）地球上的四大洋。

問題：你能概括出以上這6個例子的共同特征嗎？得到元素與集合的概念。

【師生互動】

師：上面的6個例子中有什么共同的特點呢？同學們分組交流討論一下。

生：學生進行思考、討論。

師：我們從每個小組中選擇一位代表，給大家分享一下各個小組的討論成果。

生：討論交流后，發表觀點。

師：補充學生觀點，為了解集合的含義做鋪墊.大家對集合是怎樣理解的呢？

生：學生思考，最后在教師的幫助下，學生總結出元素與集合的含義。

師：你能分別說出以上各個例子中集合的元素是什么嗎？

生：學生給出回答。

【設計意圖】

集合是一個原始的、不定義的概念，我們只能給出關于集合的描述性說明，通過具體的例子，讓學生體會集合概念生成的過程，通過學生的思考，得出集合的概念，同時培養學生的抽象素養。

6.3 概念深化

（1）繼續觀察上述實例，思考：集合中的元素有什么特點？（2）通過給出常見例子，引導學生，歸納出集合中元素的三個基本性質。（3）明確相等集合的概念。（4）讓學生明白元素與集合的從屬關系以及相應符號的寫法及應用。（5）給出常用數集的記法。

【師生互動】

師：“我們班里數學學習好的同學”、“我們班里跑得快的同學”能分別組成一個集合嗎？

生：思考交流。

師：請“我們班數學學習好的同學”站起來。

生：有的同學站起來，有的同學沒有站起來，還有一些同學在徘徊，不知道自己該不該站起來。

師：為什么咱班同學不確定自己是否應該站起來呢？

生：因為不知道怎樣才算數學學習好？

師：很好。也就是說，數學學習好沒有一個明確的標準，我們不能確定自己是不是數學學習好。因此，在研究集合時，這個集合里面的元素必須是確定的。

生：老師，我明白了，“我們班里跑得快的同學”不能組成集合，因為不能明確知道跑得多快才算跑得快，它不滿足集合中元素的確定性。

師：非常好。這就是集合中元素的第一個性質——確定性.如果我們班的所有學生組成一個集合，同學們思考一下集合中的元素還有什么性質呢？

生：我們班里每一個學生都有自己的特點，都是互不相同的。

師：對，我們班里的每一個同學都是不一樣的，這就是集合中元素的第二個性質——互異性。

師：描述我們班的所有學生組成的集合時，先說哪一位同學，對我們最后的集合有影響嗎？

生：沒有，即使順序不一樣，描述的也都是同一個集合。

師：很好，無論順序如何，組成這個集合的元素時不變的。這就是集合中元素的第三個性質——無序性。

師：同學們要牢記集合中元素的三個性質，明白它們的含義。

師：你能說出上述6個例子中的元素分別是什么嗎？討論一下元素與集合之間有什么關系？

生：學生思考討論后回答。

師：引出元素與集合的從屬關系，讓學生理解并牢記相關符號。

師：帶領學生認識常用數集的記法。

【設計意圖】

給出身邊的常見例子，通過例子抽象出集合中元素的三個性質，讓學生對集合有更加深入的理解;通過集合中元素的無序性，引出相等集合的概念;通過上面的6個例子，讓學生更加深刻地理解元素與集合的從屬關系。

各種常用數集符號在后續學習中會經常碰到，一定要牢記。

6.4 應用舉例

除了用自然語言描述集合，還能用其他的方法表示集合嗎？

（1）引出集合的另一中表示方法——列舉法，通過例1題目鞏固列舉法。（2）給出一個用列舉法無法表示集合的例子讓學生思考，引發學生認知沖突，為引出描述法作鋪墊。（3）給出描述法的定義，鞏固，并注重兩種表示方法之間的轉換。

例1用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然數組成的集合。

（2）方程x2=x的所有實數根組成的集合。

思考：可以用列舉法來x-7<3表示不等式的解集嗎？

例2用列舉法和描述法兩種方法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有實數根組成的集合A。

（2）由大于10小于20的所有整數組成的集合B。

【師生互動】

教師直接給出列舉法的定義，讓學生理解記憶，并給出對應例題：

例1解（1）設小于10的所有自然數用集合A來表示，由于集合中元素的無序性，集合A也可以用不同的列舉方法表示例如：

A={0，1，3，4，5，6，7，8，9}或A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}。

（2）設方程x2=x的所有實數根組成的集合為B，那么B={0，1}。

教師讓學生解決“思考”中的問題學生發現不能用列舉法表示，引出描述法。

教師指出用描述法表示集合應注意的問題：

（1）有時也用冒號或分號代替豎線，寫成{x∈A：P（x）}或{x∈A;P（x）};

（2）在花括號內，豎線兩側分別表示的意義;

（3）我們約定，如果從上下文的關系看，x∈R，x∈Z是確定的，那么x∈R，x∈Z可省略，只寫其元素。

例2解（1）設x∈A，則x是一個實數，且x2-2=0.因此，用描述法表示為A={x∈R|x2-2=0}

方程x2-2=0有兩個實數根，因此用列舉法表示為。

設x∈B，則x是一個整數，即x∈Z且10<x<20.因此，用描述法表示為。用列舉法表示為B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。

【設計意圖】

拋出問題，引導學生解決問題，通過例題1加深學生對列舉法的理解。

通過思考題中的問題讓學生發現：有些集合用列舉法表示很不方便，引發認知沖突，引出描述法。

通過例題2的具體題目讓學生明白各個表示方法的特點和適用范圍。

6.5 當堂檢測

舉例說明用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點，完成練習：

6.5.1 判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由

（1）所有的直角三角形;（2）寫字寫的好的高中生。

6.5.2 用符號“”或“”填空

0N;-3N;0.5Z;Z;Q;πR。

6.5.3 用適當的方法表示下列集合

（1）由方程x2-9=0的所有實數根組成的集合;（2）不等式4x-5<3的解集。

【師生互動】

師生對本節課所涉及的實例進行分析，討論總結出各自的優點及適用范圍。

練習題部分，先讓學生獨立思考，逐個回答，再請其他學生評價，最后教師講解、點評。

【設計意圖】

練習題1考察學生對集合的概念的理解，練習題2考察元素與集合的關系，練習題3考察學生對集合的表示方法的理解，鞏固所學知識。

6.6 課堂小結

（1）集合中元素的基本性質。（2）元素與集合的關系有多少種。（3）集合的表示方法及各自的適用范圍。

【師生互動】

師：引導學生思考，概括。

生：思考后進行整理，表述概括的結果，其他同學補充。

【設計意圖】

歸納整理本節課所學知識.關注與培養學生數學抽象這方面的素養。

6.7 布置作業

課后完成以下作業：

6.7.1 用符號“”或“”填空

（1）設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國A，美國A，印度A;

（2）若，則-1A;

（3）若，則3B。

6.7.2 把下列集合用另一種方法表示出來

（1）{2，4，6，8，10};

（2）;

（3）中國古代四大發明。

【師生互動】

學生課后獨立完成。

【設計意圖】

練習題1考察元素與集合的關系，練習題2考察學生對集合的表示方法的理解，鞏固新知。

7 板書設計

8 教學反思

教材中也只是給出了集合概念的一個描述性說明教師要借助具體的例子引導學生概括出元素和集合的含義，注重概念的生成過程，有意識地關注、提升學生的數學抽象素養，并在具體運用中逐漸熟悉元素、集合的字母表示以及它們之間的關系在教學過程中，要注意“”和“”的開口都是朝著集合的方向，一定要讓學生書寫規范，用列舉法和描述法表示集合的時候要注意區分寫法的不同，不能混淆。

在核心素養下的教學設計中有以下幾點思考：

（1）教什么：在教學設計中，首先我們要明確我們的教學目標是什么，有了目標也就有了方向，我們要依據課標合理選擇所要教學的內容，在教的過程中，不僅僅有看得見的顯性目標，也要注重隱性目標，數學核心素養不能停留在內隱層面，不能只是空洞的概念，隱性的目標可以借助顯性的數學活動來體現[3]。

（2）怎么教：學生在學習的過程中要以自身的認知發展水平為基礎，高中數學知識具有較強的抽象性，教師在教的過程中可以多結合一些實例，輔助學生理解抽象的數學知識.教師還可以借助一些教學工具，例如多媒體，幾何畫板軟件等等，輔助教學，發展學生的核心素養，教師要精心設計問題，在問題中注重思維的養成。

（3）學什么：學會用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界[4]。

（4）怎么學：要注重概念的辨析，多進行比較，在掌握知識經驗的基礎上同化新的概念[5]可以借助思維導圖進行學習，理清知識之間的關系，構建知識框架，還要多實踐，實踐是檢驗真理的唯一標準，將學習到的數學知識應用到生活中，數學來源于生活。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 胡云飛.“教什么”和“怎么教”是課堂教學落實核心素養的關鍵維度——以“直線與圓的位置關系”為例[J].數學通報，2019，58（11）：33-37.

[3] 徐解清.數學核心素養：從內隱走向外顯——《直線和平面平行的判定》的教學思考[J].數學通報，2017，56（07）：24-27.

[4] 史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（01）：35-37.

[5] 李俊玲，謝紅梅.從概念教學中落實學生數學核心素養的發展[J].兵團教育學院學報，2021，31（02）：65-70.

作者簡介：

李兆慶：（1998.10—），男，漢族，山東濟寧人，教育碩士。