計及下垂控制的潮流計算研究綜述

易文飛， 卜強生

(國網江蘇省電力有限公司電力科學研究院，江蘇 南京 211103)

0 引言

潮流計算是電力系統分析的基礎。利用潮流計算得到的潮流分布，可對電網運行控制與電網狀態進行在線分析與預測，因此電力系統要不斷發展就必然要求潮流計算技術不斷更新[1]。

隨著電力市場化改革的不斷推進、光伏與風力發電等分布式電源(distributed generation，DG)的大規模并網，以DG為代表的下垂控制設備占比逐漸增高，電力系統發生了以下變化：(1) 配電網潮流由輻射型網絡變為多電源點型網絡、由單向潮流變為雙向潮流；(2) 運行特性的改變具有不確定性；(3) 以下垂控制方式運行時頻率不再固定，相關線路參數隨頻率發生變化[2]。由此可見，DG接入雖給電網帶來供電新活力，為電力負荷高峰提供支持，但其運行特性的多變性導致數學模型變得更為復雜，給潮流計算工作帶來了挑戰。當計算含有下垂控制特性設備的電網潮流時，現有研究都是先建立相應設備的精確模型[3]；再考慮不同類型的設備在運行特性上的區別，將具有下垂控制特性的設備或節點處理成常規潮流計算中的節點類型，即PQ節點、PV節點、平衡節點；最后列寫潮流功率方程，選取合適的計算方法進行求解。

文中從電力系統中下垂控制的基本原理出發，首先分析了現有潮流計算對下垂控制節點的處理方法，然后從下垂控制模型、網絡方程構建、元件參數頻率變化、計算方法4個維度進行分析和總結，指出了現有建模和求解方法存在的問題。最后，結合電力系統潮流計算新需求，提出在建模方面建立統一化計算模型，在求解算法方面可采用數學規劃方法進行求解，但須結合實際場景進一步完善。

1 電力系統下垂控制及其潮流計算

1.1 電力系統中的下垂控制

下垂控制是電力系統中微型電源的一種控制方式[4]，通過模擬傳統同步發電機的外特性曲線(即有功-頻率和無功-電壓一次下垂曲線)，實現系統中各微型電源的功率平衡。

下垂控制方式運行下的設備只需要測量有功、無功、電壓幅值、電壓相角與頻率等運行參數，按照給定的下垂控制曲線調整有功、無功輸出，在無信息交互的情況下就可讓電網頻率穩定在給定數值范圍內，同時各裝置的電壓符合各自的要求，并且有功、無功出力平衡；新增下垂控制的設備也只需按照該微電網參數制定下垂控制曲線，即可加入該網絡運行。下垂控制是一種可以實現“即插即用”模式的控制方式[5—6]。

以正序網絡中的P-ω、Q-V型下垂控制方式為例，其控制方程為：

(1)

式中：ωi為節點i的運行角頻率值；Vi為節點i的電壓幅值；ωi0，Vi0分別為節點i空載運行時的角頻率與電壓幅值；mPi，nQi分別為節點i的P-ω、Q-V型下垂控制系數；PGi，QGi分別為節點i注入電網的有功與無功功率。

由式(1)可知，下垂控制設備注入節點i的有功、無功功率為：

(2)

P-ω、Q-V型下垂控制特性曲線與控制框圖分別見圖1、圖2。其中，f=ω/(2π)；U0，f0分別為空載運行時的電壓和頻率；Pin，Qin分別為輸入有功和無功功率；ωout，Uout分別為輸出角頻率和電壓。

圖1 P-ω和Q-V型下垂控制特性曲線Fig.1 P-ω and Q-V droop control characteristic curves

圖2 P-ω和Q-V型下垂控制框圖Fig.2 Block diagram of P-ω and Q-V droop control

此外，下垂控制還有P-V、Q-ω型控制方式，其特性曲線、控制方程及框圖與上述類似。為建立更貼合電力系統實際運行的模型，下垂控制策略也在不斷發展。文獻[7]改進了P-ω型下垂控制，使得微電網孤島運行中的瞬時有功功率分配更加合理；文獻[8—9]考慮了設備下垂系數取值不固定，在求解過程中不斷修正下垂控制系數；文獻[10—12]則是針對不同類型的下垂控制設備，提出了計算與確定相應下垂系數的方法；文獻[13]改進了下垂控制，使其能適應電力系統功率突變場景，保證系統平穩運行；文獻[14]提出了在下垂控制曲線中設定合適的控制死區；文獻[15]提出了應用于高壓直流系統的改變電壓基準的自適應下垂控制；文獻[16]則是對引入虛擬阻抗的下垂控制進行了研究。

1.2 下垂控制潮流與動態潮流計算

對于一個給定網絡結構、參數與運行限值的電力系統，常規潮流計算選取該系統穩態運行的某一時刻。假定該時刻系統頻率為工頻、系統中功率已由平衡節點平衡、各節點狀態量遵循約束，則可通過常規潮流計算求解出這一時刻系統的詳細運行狀態[17]。

文中所述的計及下垂控制的潮流計算則是面向含有下垂控制設備的電力系統的詳細運行狀態求解。同樣選取系統穩態運行的某一時刻，該時刻系統功率平衡，狀態量遵循約束。不同于常規潮流，下垂控制潮流計算系統頻率非固定，系統功率由有調節能力的電源共同平衡,且電源調節時遵循各自的下垂控制曲線。

同樣涉及系統頻率變化的還有動態潮流計算。動態潮流計算是假定在系統運行的某一時刻源-荷間仍存在不平衡功率，且不平衡功率由全體有備用容量的發電機與負荷共同調節，同時狀態量滿足必要約束，經過一個較小時間段后[18]，系統重新達到功率平衡這一過程的求解。

考慮下垂控制的潮流與動態潮流相同之處在于引起頻率變化的不平衡功率不再由平衡節點單獨承擔[19]；動態潮流中不平衡功率的一次調頻分配策略與文中所述的交流系統中的P-ω型下垂控制相似[20—21]。不同之處在于，動態潮流主要考慮電力系統中源-荷有功功率不平衡及頻率變化，且主要針對電網中的交流系統，而在計算過程中較少涉及電網電壓變化[22—23]；考慮下垂控制的潮流計算則是對加入下垂控制設備的系統在某一時刻詳細運行狀態的求取，包括系統電壓和無功功率。計及下垂控制的潮流計算面向電力系統源網荷儲的各個環節，如P-V型下垂控制的新能源發電系統[24—25]、主配一體化電網、交直流混合電網、儲能電站等。

1.3 下垂控制潮流計算的應用場景

根據電力系統中不同的網絡規模及運行方式，計及下垂控制的潮流計算主要應用于以下3種場景：

(1) 含下垂控制設備的配電網。下垂控制設備的規模相對較小，因此直接通過公共連接點(point of common coupling，PCC)接入配電網。下垂控制設備的接入對配電網運行影響較大[26—27]。

(2) 微電網并網運行。DG所在地理位置比較集中時，可以考慮用一定的控制策略將其與部分網絡及負荷整合為一體，稱為微電網[28]。微電網主要有交流微電網與交直流混合微電網2種類型。對于大電網而言，以微電網的形式接入配電網運行可視為只增加了一個節點，較為容易處理。

(3) 微電網孤島運行。微電網自成獨立系統，脫離大電網運行，此時微電網頻率不再固定[29—30]。對于微電網孤島運行中的下垂控制設備處理方式較多，現有研究表明孤島運行時的計算方法已取得較多成果，但仍須改進。

2 下垂控制設備的模型與潮流方程

2.1 下垂控制設備及處理

電力系統中具有下垂控制特性的設備種類繁多，而在計及下垂控制潮流計算的現有研究中主要考慮風力發電、光伏發電、微型燃氣輪機、燃料電池電站、分布式儲能裝置、電壓源型換流器(voltage source converter，VSC)等。按照運行方式的不同，上述設備主要分為P-Q型、P-V型、P-I型、P-Q(V)型、下垂控制型5種類型[31—32]。

下垂控制型設備注入電網的有功、無功功率按式(2)計算，將式(2)進行變形得到：

mPiPGi=ωi0-ωi

(3)

由于穩態時系統中只有一個頻率，故對于各個節點，式(3)必須成立，即同一系統內的下垂控制型設備需要滿足如下條件：

mP1PG1=mP2PG2=…=mPiPGi

(4)

在常規潮流計算中，電力系統的節點一般按照運行特性分為PQ節點、PV節點、平衡節點3種[2]。在計及下垂控制的潮流計算中，對外呈下垂控制特性的節點可稱為下垂節點，下垂節點的有功、無功功率可按式(2)加入網絡方程。

2.2 考慮下垂控制的網絡設備潮流模型

對考慮下垂控制的交流系統進行潮流計算時，所采取的數學模型與傳統模型的設定基本一致，線路與變壓器均采用π型等值電路。

交流系統中的負荷模型采用靜態負荷模型[1]，引入下垂控制時須考慮頻率與電壓的變化，此時電網負荷模型表示為：

(5)

式中：PLi，QLi分別為節點i的負荷有功與無功功率；PiN，QiN分別為節點i的額定有功與無功功率；f，fN分別為節點i的實際頻率與額定頻率；Kp f，Kq f分別為頻率對有功、無功的影響系數；α，β分別為電壓對有功、無功的影響系數。直流系統中的負荷考慮電壓變化，不考慮頻率變化影響，即直流負荷模型為式(5)除去頻率項的形式。

現有涉及下垂控制潮流計算的文獻中，交直流混合系統的VSC設備均使用脈寬調制(pulse width modulation，PWM)技術，如圖3所示，未見其他調制方式，其模型表示如下：

(6)

式中：UVSC,AC，δVSC,AC分別為交流側的電壓幅值與相角；UVSC,DC，δDC分別為直流側的電壓幅值與相角；M為PWM技術中的調制比。VSC的有功、無功功率可以參考發電機的功角特性方程進行求取。圖3中，C為電容值;UDC為直流側電壓；ZAC為交流側輸入阻抗；S1、S2為VSC。

圖3 VSC等效電路Fig.3 Equivalent circuit of VSC

2.3 計及下垂控制的潮流方程

電力系統中節點功率方程一般表示為：

(7)

式中：FPi，FQi分別為節點i注入的有功功率之和、無功功率之和；Pi，Qi分別為其余節點注入節點i的有功、無功功率。

交流系統的節點功率方程具體表示為：

(8)

式中：Pis，Qis分別為節點i電源有功和無功功率；Gij，Bij分別為支路ij阻抗和導納；ei，fi為節點i電壓的極坐標值；ej，fj為節點j電壓的極坐標值。

下垂控制設備對所在節點注入如式(2)所示的功率，則該節點功率方程可以表示為：

(9)

式中：PDis，QDis分別為下垂控制設備輸出的有功、無功功率。

當系統為交直流混合系統時，交直流系統聯結處功率方程則變為：

(10)

式中：PGi,AC，QGi,AC分別為交流側節點i注入的電源有功、無功功率；PLi,AC，QLi,AC分別為交流側節點i注入的負荷有功、無功功率；Pi,AC，Qi,AC分別為交流側其余節點注入節點i的負荷有功、無功功率；PVSC，QVSC分別為交直流系統聯結處換流器的有功、無功功率(以VSC為例)。

3 下垂控制對潮流計算的影響

當電力系統考慮下垂控制后，潮流計算須考慮出現新變化量所產生的影響。直流系統中狀態量較少，下垂控制對其潮流計算影響相對較??；而交流系統計及下垂控制后，常規潮流計算中平衡節點的電壓與系統頻率由恒定變為可變。第3章歸納了現有研究對交流系統中這2個變化的處理。

3.1 平衡節點問題

下垂控制設備并網運行或微電網并網運行時，不必考慮系統中的平衡節點問題。在計及下垂控制的潮流計算方法研究中，當含下垂控制設備的微電網孤島運行時，按照有無常規潮流計算中的平衡節點可分為2種方式。

(1) 取消平衡節點的設定。方程列寫方式與常規潮流計算方程有所不同，頻率作為變量需要在潮流計算中求解，因此雅克比矩陣中也相應增加有功、無功關于頻率的一階偏導數[33]。此外，系統仍需一個電壓相角參考節點作為潮流計算結束后各節點相角更新的參考，一般取節點編號完成后的1號節點，參考相角設為0或自定義[34—35]。

(2) 保留平衡節點的設定。該種方式在微電網孤島運行時使用較少，并網運行時使用較多。文獻[36]選取容量較大的DG節點作為潮流計算中的平衡節點，電壓幅值與相角給定，與常規潮流計算的平衡節點一致；文獻[37]也保留了平衡節點，但僅在潮流計算環節中設定平衡節點的電壓幅值與相角不變，在下垂控制更新狀態量環節中，平衡節點仍須修正電壓幅值，即該文中的平衡節點對于整個計算過程而言僅作為其他節點的相位參考。

3.2 系統頻率的更新

在電力系統潮流計算中，隨著下垂節點的引入，常規潮流計算未提及的頻率問題勢必要納入考慮范圍。下垂控制的潮流計算主要分為下垂控制設備接入配電網運行、組成微電網后并網運行、組成微電網后孤島運行3種情況?，F有研究成果顯示，僅最后一種運行方式考慮了系統的頻率問題。

系統頻率成為變量時，計算或迭代須及時更新系統頻率。一個交流系統只有一個穩態頻率[2]，在現有研究中，頻率更新的主要方式有以下2種。

(1) 系統有平衡節點時，需要計算平衡節點的等效有功功率，根據平衡節點的下垂控制曲線更新系統頻率。由上文可知，同一系統內以下垂控制特性運行的設備須滿足式(4)，令下垂節點總數n>2，取其中一個下垂節點k作為平衡節點，則有：

(11)

每個等式兩邊各自同乘等式左邊節點外剩余節點的有功下垂控制系數，并將所有等式的左右兩邊累加，整理得到PGk為：

(12)

式中：l為下垂節點數。算得PGk之后代入式(1)，更新系統的頻率。

(2) 系統中無平衡節點，在列寫潮流方程時，各元件模型均考慮頻率特性，將頻率作為一個變量加入方程進行求解，現有研究中這種更新方式使用較多。以一個總計n個節點的含下垂節點型DG的電網系統為例：系統中前m個節點是PQ節點，節點m+1到m+k是k個PV節點，節點m+k+1到n是d個下垂節點，取節點1作為系統電壓相角參考點(可設δ1=0)，系統頻率參與計算。

根據式(7)、式(8)可以得出上述系統的節點功率方程組為：

(13)

式中：FP(·)，FQ(·)分別為節點有功、無功功率的函數；ω，Um，δn分別為對應節點的角頻率、電壓和相角。式(13)的功率方程總數為n+m+d，系統待求量總數為n+m+d，兩者數量相等，通過牛頓-拉夫遜法(簡稱牛拉法)或其他求解方法可以求得待求量，系統頻率作為其中一個待求量能得到更新。

3.3 元件參數的頻率變化特性

電力系統潮流計算中，交流網絡的線路參數、變壓器參數、電力負荷均與系統頻率密切相關。含下垂控制設備的配電網或微電網并網運行時，不需要考慮頻率變化的影響；而微電網孤島運行時頻率不再恒定，此時必須考慮參數隨頻率的動態變化。

當線路頻率變化時，其參數變化為：

(14)

式中：ωN為電網額定頻率；ωt-1為迭代t-1次后的頻率；xl,t，bl,t分別為第t次迭代開始時的電抗與電納值；xl,0，bl,0分別為額定頻率下的電抗與電納值。

變壓器考慮頻率變化時，其等值參數計算涉及到的短路電抗則同式(14)中的線路電抗一樣處理。

現有研究在進行潮流計算時，對計及下垂控制時的元件參數隨頻率變化這一方面關注較少，大部分研究均默認線路參數(導納矩陣)不變。文獻[33]中電力負荷模型考慮了頻率效應，但并未提及線路參數與頻率的關系；文獻[38]提及了線路參數隨頻率變化的關系，但后續給出的計算流程中并未體現出導納矩陣隨頻率更新的環節。雖然計及下垂控制的潮流計算得到的是最終處于穩態時的各節點狀態，可以一定程度上忽略頻率對元件參數的影響，但應當考慮潮流計算過程中因頻率變化所致的參數變化對單次迭代計算結果、計算速度及收斂性能造成的影響。

4 下垂控制的潮流方程求解方法

計及下垂控制的潮流計算方法是在常規潮流計算方法中考慮了下垂控制關系。含下垂控制設備的交流系統節點功率表達式中含有系統頻率與節點電壓，考慮到潮流計算是對某一時刻潮流分布的求解，一般默認這類節點的功率與電壓在單次迭代中不發生變化，因此可在單次迭代過程中令有功功率與無功功率(或有功功率與電壓幅值、電壓幅值與相角)恒定。在求解過程中這類節點可被視為常規潮流計算中的PQ節點(或PV節點、平衡節點)，從而列寫潮流方程進行求解。

如文中1.3節所述，計及下垂控制的潮流計算場景中微電網主要有并網運行、孤島運行2種模式，因此現有研究多以某一種運行模式與某一系統類型為出發點，研究的計算方法有：以直接法、前推回代法、序分量求解法等為代表的計及配電網特性的計算方法；面向單一網絡類型的經典牛拉法；以信賴域算法為代表的新型求解方法。上述求解方法所面向的對象存在一定程度的交叉與重合，故文中從數學方法角度將計及下垂控制的潮流計算方法分為統一迭代求解法、分步式求解法及數學規劃求解法3類，如圖4所示。

圖4 下垂控制潮流計算方法Fig.4 Calculation methods for droop control power flow

4.1 統一迭代求解法

統一迭代求解法是將整個系統的狀態量(包含系統頻率)作為變量，建立統一的潮流方程，進行迭代求解。統一迭代求解法主要用于系統類型較少的大電網場景，最常見方法為牛拉法，其主要原理是將非線性方程逐次線性化逼近求解[39]，求解式(15)的線性方程。

F(X(t))=-J(t)ΔX(t)

(15)

式中：F(X(t))為潮流函數；J(t)為求解系數；ΔX(t)為狀態變化量。若式(15)滿足式(16)中任一條件即可判定為潮流收斂，完成潮流的求解。

(16)

計及下垂控制的潮流求解時，系統頻率作為待求量在方程組中求解，計算時下垂節點可按先前所述，視為PQ節點、PV節點或平衡節點中的一種或幾種，則牛拉法的潮流方程矩陣形式為：

(17)

式中：ΔP，ΔQ分別為每次迭代過程中有功、無功變化量；ΔU，Δδ，Δf分別為迭代過程中電壓、相角和頻率變化量。矩陣方程中的雅克比矩陣元素L，M，N，H含義與常規潮流計算相同，新增元素E與F分別為：

(18)

式中：ΔPi，ΔQi分別為每次迭代過程中節點i的有功、無功變化量。系統有下垂節點時須相應增加功率修正方程，頻率須在方程組中求解，所以狀態變化量中多出Δf這一待求量。

在現有含下垂控制的潮流計算方法的研究中，文獻[40]將牛拉法用于計算孤島運行時的交直流混合微電網；但也有部分研究對牛拉法進行改進，使之更適合含下垂節點的潮流計算，如文獻[33]在常規潮流計算節點的設定上去除了平衡節點，由具備調節能力的下垂控制電源共同承擔不平衡功率，但在微電網孤島運行中該方法可能存在雅克比矩陣奇異導致潮流不收斂的情況。文獻[41]在牛拉法的基礎上考慮潮流中的遞階控制，并對雅克比矩陣進行重新推導，提高了牛拉法的收斂性，但該方法單次計算量大、單次計算時間長。為應對牛拉法易出現的雅克比矩陣奇異問題，文獻[42]提出了引入加權系數的牛拉法，單次計算時間略長于經典牛拉法，但迭代次數減少，整體收斂時間優于經典牛拉法；文獻[43]則引入最小二乘求解的輔助因子，提升了計算效率與初值魯棒性，減少了迭代次數。文獻[44]提出了一種三相解耦的序分量求解方法，減少了雅克比矩陣的計算量，提高了求解速度。進行三相解耦的求解方法可以適應三相不平衡的配電網，但其求解對象為穩態潮流且未考慮微電網孤島運行時節點狀態量與元件參數變化，有進一步研究的空間。文獻[45]以帶新型線性搜索三步LM算法(three-steps Levenberg Marquardt algorithm with a new line search，NTLM)為基礎建立統一潮流模型以解決雅克比矩陣可能發生奇異的問題。

統一迭代求解法作為系統整體迭代求解的方法，考慮了不同系統或狀態量間的耦合關系，使得建立的統一模型更加精確，故單次迭代求得的解相比其他方法更靠近真實解。隨著電力系統的發展，不同類型系統之間的耦合關系也更加復雜，建立統一模型的難度將不斷增加，且單次迭代計算量較大。當系統規模擴大時，其計算量的迅速擴大將成為難題。對于復雜的下垂控制潮流，統一迭代求解法更適合為新的求解方法提供收斂速度與計算效率的參照。

4.2 分步式求解法

統一求解法對于含不同類型子系統的混合電力系統的建模難度較大，現有研究中提出一種將電力系統中的子系統解耦，以交替迭代方式進行求解的分步式求解法。該方法優勢在于子系統解耦后單獨建模難度顯著降低，主要用于處理交直流電網耦合環節VSC以及交直流混合電網中含下垂控制設備的直流電網的場景。

文獻[46]將直流系統的下垂控制以節點電流關系求解，從VSC處進行交直流系統解耦，與交流系統的牛拉法進行分步迭代；文獻[47]則更充分地考慮了VSC模型與控制方式，解耦后分步交替迭代進行求解；文獻[48]處理直流系統的下垂控制并進行交直流系統解耦后，交流系統使用改進XB型快速求解法，提升了整體的求解速度；文獻[49]不僅對交直流系統解耦進行了分步求解，還對交流系統中的電壓穩定與無功平衡進行了分步處理求解，更好地控制了混合電網的電壓。

此外，還存在一種借鑒奔德斯分解思想的[50]、將處于下垂控制關系的變量進行解耦后交替迭代的分步式求解法。該方法主要面向考慮下垂控制的單一類型系統，根據計算過程中系統是否設置實際平衡節點，將其分為2類。

(1) 含實際平衡節點的分步式求解法。將單次迭代過程分解為2個步驟，即：步驟一，常規迭代計算；步驟二，系統頻率更新與基于下垂控制方程的設備功率計算。為減少雅克比矩陣階數以提升計算速度，在步驟一中可以選擇一個下垂節點作為平衡節點，其余下垂節點均視為PV節點[37]。PV節點的有功功率與電壓幅值、平衡節點的電壓幅值與相角為上次迭代中步驟二的更新值；步驟二根據下垂控制曲線用步驟一求得的功率更新系統頻率與節點電壓。此外，第一次迭代時狀態量為給定的系統初值。步驟二系統頻率更新時使用的平衡節點有功功率按式(12)求得，求得系統頻率后按式(2)更新PV節點的有功功率；步驟一中求得的無功功率根據式(2)更新PV節點的電壓幅值，2個子問題交替迭代進行求解。

文獻[37]使用了含平衡節點的解耦分步方法求解算例，如圖5所示。潮流收斂所需迭代次數較少，在其第二步下垂控制更新中存在一個問題未交待清楚：含平衡節點的潮流計算可以直接求得平衡節點的功率，而文中卻以推導得出的式(12)作為平衡節點的有功功率，并未說明2種方式所求有功功率的差異或直接求得的平衡節點有功功率不能用來更新頻率的原因。

圖5 含平衡節點的兩步式求解Fig.5 Two-step solution with balance node

(2) 虛擬平衡節點的分步式求解法。該方法在系統中設置虛擬平衡節點，設置點一般為微電網并網點或微電網某一節點附近。求解時首先將虛擬平衡節點視為微電網的平衡節點，進行常規潮流計算，求得虛擬平衡節點功率；然后，由全體有調節能力的DG平衡該功率，按各自的下垂控制曲線進行功率分配；最后，完成系統頻率與各節點電壓幅值的更新，進行交替迭代，完成潮流的求解。該方法被用于計及下垂控制的配電網潮流計算中，如文獻[51]在進行變量解耦后，以前推回代法進行計及下垂控制的配電網潮流計算；文獻[35]則是分步后以直接法計算含下垂控制的配電網三相不平衡潮流。

如上所述，現有研究中的分步式求解法基本可分為子系統解耦與節點狀態變量解耦2個維度。研究表明交直流系統解耦后的交替迭代求解法相比統一迭代求解法能更好建立模型與方程，更適合求解多類型子系統混合電網。將下垂控制變量進行解耦，降低了求解過程的復雜程度，在進行常規迭代計算時可借鑒現有的計算方法，僅須增加下垂控制功率分配與頻率電壓更新環節，減小了編程實現的難度。常規迭代計算部分可使用常規潮流計算方法，若用快速求解法可縮短潮流整體收斂時間。

4.3 數學規劃求解法

數學規劃求解法為在給定限制區域中尋求給定目標函數的最小或最大值的一種數學方法，一般可分為線性規劃法和非線性規劃法2種。

數學規劃求解法穩定性高，主要用于無平衡節點或初值較差等原因導致等式方程求解類方法不易求解的潮流計算場景。計及下垂控制的潮流方程一般為非線性方程，可將潮流方程轉化為目標函數，即將非線性方程求解問題轉化為非線性規劃極值的求解問題，此時可將非線性規劃法的求解方式應用到下垂控制潮流計算中?，F有研究中相關問題所使用的非線性規劃求解法有內點法[52—53]、信賴域法[34,54]等。

潮流計算由非線性方程組求解問題轉變成非線性規劃問題，可表示為minF(X)。常規潮流求解時的潮流函數F(X)可由式(6)與式(9)的功率方程進行構造，而計及下垂控制的潮流計算新增了下垂節點，可將下垂節點按式(2)加入方程，參考式(12)進行構造，最終方程可表示為：

(19)

式中：X為狀態變量矩陣，X=[x1x2…xn]；i為PQ節點、PV節點的編號；d為下垂節點的編號。

非線性規劃法的特點為潮流求解過程不易發散，對初值敏感程度較低，在潮流方程為病態的情況下也易求得解，潮流無解時也會收斂至某個值或在可行域內不斷尋解。該方法所呈現的求解結果可以為潮流有無解提供判斷依據[39]。

文獻[34]中的BFGS信賴域法就是一種無約束非線性規劃求解方法，其收斂性能優異且對初值不敏感，避免了牛拉法初值不當無法求解的問題。但該方法須重新計算每次的海森矩陣，即使文中構造了海森矩陣的近似矩陣，計算量仍大于牛拉法的雅克比矩陣，且收斂判據精度高時迭代次數較多，因此求解效率低于牛拉法。文獻[54]對信賴域算法進行了以雅克比矩陣代替海森矩陣構造信賴域子問題的改進，較文獻[34]提高了收斂速度且保持了方法本身的其他優點。

數學規劃求解法是在給定約束條件內找到極值或最優解，相對非線性潮流等式方程更易求得解，但該類方法計算效率較低，在尋解方式選擇不當時更為突出，有進一步研究的空間。

5 未來研究展望

現有研究所提出的計及下垂控制的潮流計算方法各有優缺點，其精確建模與準確計算的方法正在日趨完善，可以進一步研究與考慮以下內容：

(1) 對于統一迭代求解法，可進一步研究迭代算法的優化處理，降低其對初值敏感度并縮短單次迭代計算時間。此外可研究PQ分解法、改進牛拉法等快速求解方法對于計及下垂控制的潮流計算的適應性；研究相應計算方法的具體改進措施，使之能在計及下垂控制的潮流計算中應用。

(2) 當下垂控制設備接入交流系統，認為系統頻率可變時，對于某一種潮流計算方法，若計算時考慮元件參數頻率變化特性，則每次迭代過程中導納矩陣均隨頻率變化，其性能會受到一定影響。因此，須進一步研究這一情形對求解方法性能及導納矩陣變化所得的計算結果的影響程度。

(3) 電動汽車、儲能與新能源發電等設備大量并網。由于這些設備數量眾多且分散地域廣，不易統一控制，下垂控制成為這類新型設備參與電網互動的首選控制方式，因此未來計及下垂控制的潮流計算也需要將這些新型設備納入計算當中。

(4) 虛擬同步發電機、虛擬電廠等技術的發展進一步拓展了下垂控制的應用場景，后續也需要針對性地開展相關研究。

6 結論

隨著下垂控制設備的大規模并網、電網中的變化因素逐漸增多，一定程度上為電力系統運行與分析帶來新考驗，而計及下垂控制的潮流計算將是電網運行與狀態分析的有效手段。文中從下垂控制模型、網絡方程構建、元件參數的頻率變化、計算方法4個方面對現有研究進行綜述，可得出以下結論：

(1) 目前計及下垂控制的潮流計算的應用場景主要為孤島運行模式的微電網。微電網中不同運行特性的下垂控制設備參與潮流計算需要不同的處理，但目前尚未有統一的下垂控制設備潮流模型構建方法。

(2) 對于單類型電網系統，可以使用變量解耦的方式將頻率從控制關系中取出，單獨進行求解更新，或將頻率等下垂控制變量放進潮流目標方程以數學規劃求解法進行求解。對于主配一體化、交直流等多類型混合電網可以使用統一迭代法、分步式求解法與數學規劃求解法。

(3) 統一迭代求解法建模精度高，其中牛拉法應用較多、收斂速度快，但對初值要求較高且存在雅克比矩陣奇異問題。因此，需要進一步研究牛拉法的優化方法及其他適合統一迭代求解的計算方法。

(4) 分步式求解法對于混合系統而言建模難度低，解耦處理合適時潮流收斂效率高于統一迭代求解法，但存在交替迭代誤差、迭代次數較多的問題，有進一步研究空間。

(5) 數學規劃求解法目前在下垂控制潮流的應用較少，相對于非線性潮流等式方程求解類方法，對初值相對不敏感，更易求得有效解，但存在迭代次數多與計算量較大的問題，可進一步研究尋解與優化方式。

隨著國家碳達峰與碳中和工作的穩步推進，新能源發電與電動汽車等新型設備在電網中的滲透率不斷提高，下垂控制及其潮流計算方法將得到進一步完善與發展，未來有望在實際工程中得到廣泛應用，為電力系統安全可靠運行提供有力支撐。