突出主干知識，強化核心素養

欒功 黎福慶

【摘 要】文章以2022年全國新高考I卷數學試題為例，分析試題命題特點與意圖，提出以考促教，助力教學方式變革；以生為本，突破數學運算瓶頸；以減增質，重視關鍵能力提升的新高考備考建議。

【關鍵詞】新高考I卷；數學試題；核心素養；主干知識

2022年教育部教育考試院命制了6套高考試卷，其中全國新高考I卷數學試題供廣東、福建、湖北等7個省份使用，試題基于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標）和《中國高考評價體系》，依據數學學業質量水平要求和“四層”“四翼”的考查要求，對引導教學和服務選才提出了新的要求。筆者以2022年全國新高考I卷數學試題為例，分析試題命題特點與意圖，以期為教師教學提供參考。

一、試題特點

1.試卷結構趨于穩定，“四層”“四翼”有機融合

隨著高考改革的不斷深入，新高考數學試卷結構基本趨于穩定，以8道單選題、4道多選題和6道解答題構成，試題內容融必備知識、關鍵能力、核心素養的考查為一體，例如試卷第1，2，3，5，9，13，14，17，19題考查基本概念、基本方法，第11，18，20題深入考查解決相關問題的通性通法，第7，12題綜合考查函數、方程、不等式問題，第4題以我國重大建設成就南水北調工程為情境考查學生直觀想象、數學運算等核心素養。整體來看，試題對“四層”“四翼”進行有機融合，在強化基礎性和綜合性的同時體現對創新性和應用性的考查。

2.模塊占比穩中有變，主干知識更加突出

通過對2020年山東卷，以及2021 — 2022年全國新高考I卷的模塊占比比較分析（如圖1），發現2022年新高考I卷中六大基本模塊共計135分，占比達到90％。試題對主干知識的考查逐年增加，其中函數與導數所占比例從2020年的14％增加到2022年的21％，立體幾何從15％增加到18％左右，解析幾何穩定在18％。主干知識的考查更加突出，這與新課程改革和對學生關鍵能力的考查要求相吻合。因此，教師在教學中應引起重視。

3.服務高校人才選拔，核心素養凸顯水平

學業質量標準是以本學科核心素養及其表現水平為主要維度，結合課程內容，對學生學業成就表現的總體刻畫。依據喻平教授對數學核心素養3個水平的劃分，筆者繪制了2022年新高考I卷考查的各個核心素養水平分布表（見表1）。從橫向看，在高考試題的考查中更凸顯數學運算、數學抽象、直觀想象核心素養，即試題更注重考查學生的關鍵能力和思維品質，以更精準地服務高校選才。從縱向看，水平1和水平2共占85％，水平3占15％，符合數學學業質量水平與高考考試評價的要求。值得關注的是，數學學業質量水平3占15％，達到自主招生與各省市競賽水平的要求。核心素養的凸顯和對數學學業質量水平3考查比例的增大也是學生普遍反映試題偏難的原因之一，這也是新高考的變化，即重視學生關鍵能力和核心素養的考查。

二、試題評析

1.設置現實情境，發揮育人作用

高考評價體系最重要的創新之一，是通過“四層”考查內容將學科能力考查與思想道德滲透有機結合，利用學科素養這一關鍵連接層實現融合知識、能力、價值的綜合測評，從而使立德樹人真正在高考評價實踐中落地生根。情境正是實現這種“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合考查的載體［1］。

例1 （2022年全國新高考I卷第4題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180 km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（[7]≈2.65）（? ）

A. 1.0×109 m3? ? ?B. 1.2×109 m3

C. 1.4×109 m3? ? ? ? ? D. 1.6×109 m3

評析：試題以現實生活中的水庫為載體，考查學生對立體幾何基礎知識的掌握情況，要求學生能在所給現實生活情境中抽象出棱臺的相關概念。如兩個海拔之間的高度即為棱臺的高，兩個海拔相應的水面面積其實是棱臺的兩個底面積。在抽象出棱臺的相關概念后，學生便能順利求出體積。試題以我國重要建設成就南水北調工程為載體，考查學生直觀想象、數學運算等核心素養，引導學生關注社會主義建設成果，增強社會責任感。

2.加強教考銜接，發揮引導作用

《中國高考評價體系》明確指出高考必須堅持引導教學，以理順教考關系，增強“以考促學”的主動意識，完善德智體勞美全面培養的育人體系。高考命題逐漸淡化技巧，回歸數學本質，重視基本概念、定理、原理的考查，旨在引導教學回歸教材，夯實必備知識。

例2 （2022年全國新高考I卷第3題）在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2DA，記[CA]=m，[CD]=n，則[CB]=（? ）

A. 3m-2n? ? ? B. -2m+3n

C. 3m+2n? ? ? D. 2m+3n

評析：該題主要考查平面向量的概念、平面向量的運算、平面向量的基本定理等基礎知識和基本方法，解法靈活多樣。試題源于新人教A版高中數學必修第二冊第26頁例1：“如圖2，[OA]，[OB]不共線，且[AP]=t[AB]（t∈R），用[OA]，[OB]表示[OP]?！保?］，該例題的答案為[OP]=（1-t）[OA]+t[OB]。當t=3時，[OP]=-2[OA]+3[OB]，便是該試題的答案。當然，學生也無須死記硬背結論，只要掌握例題所揭示的問題本質，便可從多個視角輕松解答。試題源于教材例題，旨在理順教考關系，引導教學回歸本原，尤其能去除高三復習備考中“重教輔、輕教材”的功利化傾向。

3.提升邏輯推理，關注思維品質

新課標明確指出，在數學高考的考試命題中，要適度增加試題的思維含量，關注數學學習過程中思維品質的形成［3］。在新高考I卷中，這一要求體現得更加明顯。

例3 （2022年全國新高考I卷第7題）設a=0.1e0.1，b=[19]，c=-ln0.9，則（? ）

A. a

評析：試題以指數、對數運算為背景，將運用導數研究函數單調性的考查融入比較函數值的大小問題中。該問題解決的關鍵是如何建立起a，b，c三個數之間的聯系。我們觀察到，a是與0.1有關的數值，那么，b和c能否改寫成與0.1有關的形式呢？可以看出，b=[19]=[0.10.9]=[0.11-0.1]，c=-ln（1-0.1），于是，a，b，c三個數的值可以看作三個函數f（x）=xex，g（x）=[x1-x]，h（x）=-ln（1-x）在x=0.1處的函數值。因此，比較a，b，c的大小，只需考查函數f（x），g（x），h（x）在x∈（0，0.1］的圖象變化。試題聚焦學生的邏輯推理能力、數學運算求解能力，對學生的思維品質提出了較高的要求。

例4 （2022年全國新高考Ⅰ卷第8題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤3[3]，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

A.[18，814] B.[274，814] C.[274，643] D.［18，27］

評析：試題以學生熟悉的正四棱錐的外接球為背景，設計動態情境下求四棱錐體積的范圍問題。試題的正確解決必須依靠邏輯推理構建體積V與側棱長l之間的函數關系，并且選擇合適的視角求解目標函數的最值。下面具體分析解答過程中兩個關鍵的思維過程。

如圖3，記點O為該正四棱錐外接球的球心，PO1=h，BO1=r，則OP=OB=R=3，則l2-h2=r2，R2-[h-R]2=r2，從而可得h=[16]l2，r2=l2-[136]l4，V=[13]Sh=[1182]l4（36-l2），目標函數V=[13]Sh=[1182]l4（36-l2）取值范圍的求解思路源于教材，學生可以從多個角度進行求解，讓不同層次的學生都有發揮能力的機會。

視角1：利用三元均值不等式，即V=[181]·[l22]·[l22]（36-l2）≤[181]×[13l22+l22+36-l2]=[643]，當[l22]=36-l2，即l=2[6]∈［[3，3]］時取等號，又V（3）=[274]，V（3[3]）=[814]，故選C。

視角2：利用導數研究函數的最值，令l2=t，t∈［9，27］，V（t）=[1182]（36t2-t3），V′=[1108]（24t-t2），當t∈［9，24］時，V′>0，當t∈［24，27］時，V′<0，從而V在［9，24］單調遞增，在［24，27］單調遞減，且又V（9）=[274]，V（27）=[814]，V（24）=[643]，故選C。

以上設計面向全體學生，有效檢測了學生的立體幾何基礎知識，以及邏輯推理能力和運算求解能力，起到了壓軸小題甄別學生思維層次的作用。

4.注重通性通法，凸顯數學運算

新課標在高考命題建議中明確指出，考查內容應圍繞數學內容主線，注重數學本質、通性通法、淡化技巧，凸顯數學運算。數學運算作為解決數學問題的基本手段和數學學科核心素養之一，在2022年的新高考Ⅰ卷中明顯增加，下面以解析幾何模塊的考查為例進行分析。

解析幾何模塊在以往的考試中都是以“兩小一大”的題量呈現，其中兩道小題主要考查圓錐曲線的定義、性質，學生只要熟練掌握便可解決問題。但2022年新高考Ⅰ卷中解析幾何模塊試題明顯有了變化，兩道小題均出現在選擇題和填空題“壓軸”的位置，都考查了直線與圓錐曲線的位置關系，要解決該題需聯立直線方程與圓錐曲線方程，這使得運算量增大，問題的難度驟增。

例5 （2022年全國新高考Ⅰ卷第11題）已知O為坐標原點，點A（1，1）在拋物線C：x2=2py（p>0）上，過點B（0，-1）的直線交C于P，Q兩點，則（? ）

A. C的準線為y=-1? ?B.直線AB與C相切

C.[OP]·[OQ]>[OA]2? D.[BP]·[BQ]>[BA]2

評析：試題以多項選擇題的形式呈現，考查拋物線的定義，以及直線與拋物線的位置關系，注重通性通法。A選項考查拋物線方程、準線的基本概念；B選項考查直線的方程，以及直線與拋物線的相切的位置關系，其既可以聯立通過判別式求解，也可以通過導數的幾何意義求解；C、D兩個選項以直線與拋物線的位置關系為背景，設計了與兩點間距離有關的問題，考查學生用坐標法解決解析幾何問題的一般程序，對學生的邏輯推理、數學運算核心素養有一定的要求?？梢钥闯?，前兩個選項考查基礎知識與基本方法，面向全體學生；后兩個選項考查學生運用坐標法求解直線與拋物線相交弦長等問題的基本經驗和關鍵能力，有利于高校人才的選拔。

例6 （2022年全國新高考I卷第16題）已知橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0），C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F2，離心率為[12]，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，[DE]=6，則△ADE的周長是? ? ? ? 。

評析：試題以橢圓的定義為背景，設計了與焦點三角形有關的周長問題。問題的解決始于構圖轉化，把△ADE的周長問題轉化為橢圓的定義，最后回歸到求解a的值，即依靠弦長[DE]=6求解a。該解題過程并沒有太多的解題技巧，而是從通性通法入手，考查學生的邏輯推理、數學運算等核心素養。

5.創新試題設計，考查關鍵能力

任子朝指出，全新的考試理念和考試目標需要全新的題型去實現和完成，設置開放性試題，通過設置不唯一的答案，鼓勵學生靈活運用所學知識，啟發多角度認識和分析問題，把學生從標準答案中解放出來，給學生充分思考與發揮的空間，使其能展示能力發展的水平［4］。

例7 （2022年全國新高考Ⅰ卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程________。

評析：試題貫徹高考改革內容，創新命題方式，設置不唯一的答案，甄別學生思維層次，考查學生分析問題、解決問題的能力。如圖4，不難發現兩圓外切，均與直線x=-1相切，當然，學生也可以根據直線與圓相切的性質求得另外兩條切線的方程。

6.圍繞知識主干，加強縱向聯系

由前文分析可知，2022年全國新高考Ⅰ卷加大了對主干知識的考查。仔細研究，發現圍繞主干知識命制綜合性試題成了一大新的特點。例如第7題以指數對大小比較為知識情境，綜合考查運用導數研究函數性質的能力；第8題圍繞立體幾何為背景，以動態情境命制了四棱錐體積的最值問題，將立體幾何與函數、導數、不等式融合在一起，深入考查學生學科核心素養；第18題以三角函數為背景，將正余弦定理、三角恒等變換、基本不等式等知識融合，考查學生的必備知識和關鍵能力。相比歷年試題，新高考圍繞主干知識間的聯系命制綜合性問題已成為新的熱點。

三、教學建議

1.以考促教，助力教學方式變革

在新舊高考過渡階段，部分高中仍然存在以教師為主的“滿堂灌”、大量機械重復的刷題應試和忽視學生高階能力發展等問題。從近2年新高考試題的命制來看，旨在破解當前以“考分”為目標的刷題應試的困局，助力課程教學方式的改革，引導一線教師大膽實踐，勇于創新教學方式，如基于“生本理念”的小組合作交流，以“問題為導向”的自主學習等能驅動學生內生力，激發學生自主學習的教學方式，從根本上解決教與學的問題。因此，高考備考不是高三才做的應試準備，而是長期基于教與學的積累。在教學中，教師要以考促教，改進教學方式，優化學生學習習慣，提升學生的核心素養。

2.以生為本，突破數學運算瓶頸

2022年新高考數學試卷的特點之一是明顯加大了數學運算能力的考查，這也是學生普遍認為試題偏難的原因之一。數學運算是數學學習的基本功，如何提升學生的數學運算能力成了一線教師在高考備考中要突破的重點問題。西北師范大學張定強教授在解析數學運算素養中的理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果的表現形態，提出了相應的教學建議［5］。結合新高考對數學運算素養的考查要求和對張定強教授提出的教學建議的理解，在課堂教學中，我們要堅持以生為本，從教師講、教師算、教師演練轉變為學生做、學生討論、學生解決，教師在學生的爭論點和疑難點適當介入引導。在學習活動中，教師應充分展示學生解題的思維過程，暴露學生運算的關鍵卡點，讓學生尋找運算失敗的根源，探索突破運算的途徑，在交流互動中逐漸剖析運算背后的數學本質。

3.以減增質，重視關鍵能力提升

在高考結束后，很多學生反映試題偏難，仔細分析，原因在于試題加大了對學生關鍵能力的考查。例如第7題，如果學生不能建立起a，b，c之間的聯系，問題將很難解答；第8題通過正四棱錐和外接球中截面圓的性質建立V與l的函數關系是解決問題的關鍵所在。像這樣的例子很多，比如第6、16、18、21題等，需要學生具備分析問題和解決問題的關鍵能力，才能驅動整個問題的解答。在新一輪高考備考中，學生切忌大量的刷題，建議圍繞主干知識深入挖掘試題價值，通過一題多解、一題多變、多題一解等高階思維活動，剖析問題的數學本質，提升解決問題的能力，減輕學生的學業負擔。

參考文獻：

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 必修 第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］任子朝，趙軒，陳昂.深化高考內容改革助推素質教育發展：新高考改革中的關鍵問題與解決措施［J］.中國高教研究，2019（1）：38-42.

［5］閆佳潔，張定強.高考試題中的“數學運算素養”解析：以近五年新課標全國理科卷Ⅱ為例［J］.中學數學雜志（高中版），2018（6）：49-53.

（責任編輯：陸順演）