以“雞兔同籠”為例談小學數學單元整體教學策略

【摘 要】“雞兔同籠”是《孫子算經》中的一道著名問題，是我國古代的經典趣題。文章從教材及學情分析入手，準確定位“雞兔同籠”問題的目標價值，重新劃分課時，重組單元教學結構：第一課時，回歸初心，引入列舉法，為后續學習奠定基礎;第二課時，拉長過程，滲透假設法，實現思維培育;第三課時，溝通融合，傳授綜合法，提升學生的思維能力。由此通過三個課時的螺旋遞進式教學，實現提升學生解決問題能力的目標。

【關鍵詞】小學數學;“雞兔同籠”;單元整體教學;策略

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0118-03

“雞兔同籠”是我國古代的經典趣題，難度較大。在實際教學中，教師一致認為這個內容特別難教，反復講、反復練，學生的錯誤率還是很高。教材建議用兩個課時教學這部分內容，而實際教學中基本上都需要增加課時?！半u兔同籠”問題的目標定位應該側重什么？列舉、假設、畫圖等方法孰輕孰重？怎樣滿足不同層次學生的學習需求？帶著這些問題，筆者所在的教研團隊對“雞兔同籠”問題進行了單元整體教學實踐。

1? ?“雞兔同籠”單元整體教學研討思路

1.1? 比較不同教材，明晰價值定位

“雞兔同籠”在不同版本的小學數學教材中都有所體現，當筆者所在的教研團隊對這一教材內容進行對比時，發現教材都主張用列舉法、畫圖法、假設法、方程法來解決“雞兔同籠”問題。而列表法又是幾種版本教材都共同采用的解題方法，這就體現了列表法的重要作用。從本質上說，列表法、畫圖法、假設法都遵循“假設—對比—調整”的思路。列表法不僅僅是與假設法并列的一種解題方法，更是假設法產生的基礎。從本質上來說，假設是列舉的特例，學生有了列舉的經驗，發現了隱含的替換規律（如將一只兔子換成一只雞，腿少兩條），才能真正理解假設法的原理。另外，大部分教材均未體現畫圖法，但這種方法能讓解決問題的過程更加直觀形象，能激發學生的興趣，加深學生對所學知識的印象，因此畫圖法適合作為解釋假設法的支架。因四年級學生未學習過方程知識，因此本單元將方程法刪去，在五年級的方程單元再編排相應習題。

“雞兔同籠”問題的教學價值不僅僅在于讓學生掌握不同的解題方法，也可以使其了解我國古代數學文化，更重要的是能夠引導學生嘗試用不同的思路解決新問題，明確各種不同方法之間的聯系，滲透枚舉思想、假設思想、數形結合思想、建模思想等數學思想方法[1]。

1.2? 前置學情調研，實施差異教學

為了更準確地把握學情，教研團隊分別對一所城區學校、一所農村鄉鎮中心學校的四年級學生進行了前測，發現學生解決“雞兔同籠”問題比較困難，正確率不超過25%。很多學生雖然在課外接觸過“雞兔同籠”問題，但仍不會做。在找到正確解題方法的學生中，運用假設法的占一半以上，而解決變式題時運用假設法的學生卻減少了一半，這說明很多學生雖接觸過假設法，但卻不理解假設法的內涵。此外，解答變式題時更多的學生采用列舉法。相較于假設法這樣比較抽象的方法，學生有比較豐富的列舉經驗，因此更傾向于使用列舉法。遇到新問題時，先試一試，再調整是常見的思路，只要有序地思考，就一定能找到答案。

1.3? 內容螺旋遞進，確定重組思路

1.3.1? 降低起點，降低難度

綜合學情調研，教研團隊確定“雞兔同籠”問題的起始教學需要保證低起點、低難度。教材中只安排了兩個課時，但是從學情來看，兩個課時太倉促，因此教研團隊規劃了三個課時。第一課時從最容易掌握的列舉法入手，規定只能用列舉法解決問題，給予學生充分的感悟時間，為假設法的引入與理解奠定基礎;第二課時注重理解并嘗試運用假設法解決問題，同時滲透畫圖法與列表法;第三課時的教學目標則是靈活運用不同方法解決問題。

1.3.2? 尊重差異，因材施教

針對不同學生之間的差異，教師既要保證學生至少學會一種方法，又要給予不同層次的學生進一步發展的空間。如在列舉法的教學中，要讓能力較差的學生學會一一列舉，能力中等的學生嘗試折中列舉、跳躍列舉，能力較強的學生嘗試采用一步調整法直接得出答案（與假設法思路類似）。

2? ?“雞兔同籠”單元教學實踐

2.1? 第一課時，回歸初心，引入列舉法

有些學生首次遇到“雞兔同籠”問題，覺得運用列舉法是最容易的。第一課時以“非常規雞兔同籠問題”為載體，引入能被廣泛遷移的列舉法，引導學生學會有計劃地列舉，嘗試根據規律進行分析和調整，為下一課時假設法的學習積累活動經驗。

2.1.1? 由扶到放，教會列舉方法

雖然學生之前有相關的列舉經驗（如租船問題），但是“雞兔同籠”既要考慮頭數，又要考慮腳數，第一次接觸的學生往往無從下手?？紤]到學生的學習起點，本課采用由扶到放的思路。課程一開始，教師出示主題情境：小明用小棒搭三角形和正方形，一共搭了8個，共用了29根小棒，三角形和正方形各搭了幾個？由此引導學生解讀信息，并思考解決方法。有學生提到假設、列舉等方法，這時教師應適時強調：“是呀，要解決這個問題可以用很多不同的方法，這節課我們用列舉法解決問題?！苯又?，教師引導學生思考怎么列舉，并讓會列舉的學生教不會列舉的學生，采用從一頭有序列舉的方式，分別列出圖形個數（和是8），再檢驗小棒根數（看總數是不是29），通過引入列舉法為學生的思維發展奠定基礎。

2.1.2? 核心問題，引導發現規律

在列舉法中發現的規律可以為后面假設法的引入搭建橋梁，但是這樣的規律需要核心問題來引領，促使學生深度思考。針對本課的第一個學習材料（搭小棒問題），學生采用列舉法解決問題后，教師組織學生圍繞“找到一個正確答案后，還需要列舉下去嗎？為什么小棒根數每次少1？”這一核心問題進行思考。通過討論交流，學生發現三角形每次多1個，正方形每次少1個，小棒的總根數就會少1根。列到三角形5個，正方形3個時，小棒根數比29根要少，不符合要求，所以不用列舉下去了。每次相差1是因為搭一個三角形比搭一個正方形少用一根小棒。核心問題的引領，可以讓學生聚焦有序列舉中的規律，簡化列舉的過程，為后續根據規律直接列舉小棒總根數以及跳躍列舉和假設法的引入奠定基礎。

2.1.3? 靈活列舉，推動思維發展

有了以上環節的列舉經驗，有了規律作支撐，學生自然而然會想辦法簡化列舉的過程。第一課時主要有三個學習材料，前兩個材料涉及的數據較小，第三個材料（籠子里關著一些雞和兔。從上面數有16個頭，從下面數有50條腿。雞和兔各有幾只？）的數據較大，可以給予思維能力強的學生展示的平臺。折中列舉的呈現，讓學生明白可以從兩頭列舉，也可以從中間列舉，在此過程中需要考慮調整的方向，對學生的推理能力提出了挑戰。跳躍列舉的展示讓學生體會到列舉法也可以很簡單，關鍵是根據規律進行調整。從有序列舉到根據規律直接寫腿數，再到跳躍列舉，由扶到放，層層深入，假設法的算理呼之欲出。

2.2? 第二課時，拉長過程，滲透假設法

掌握列舉法讓學生獲得了學習的成就感，在此基礎上探究假設法，可以將學生的思維發展引向更高層次。雖然部分學生課前已接觸過假設法，但是真正理解假設法內涵的學生寥寥無幾。因此，假設法的學習需依托列舉的活動經驗以及畫圖的直觀支撐，循序漸進，逐步建構“雞兔同籠”問題的模型，使學生真正理解假設法。

2.2.1? 列舉引路，無縫對接

從本質上講，假設法是特殊的列舉法，借助列舉的經驗，可以更好地幫助學生內化假設法。課程一開始，教師引導學生思考：前一節課，我們是怎么解決問題的？誰能用其他方法解決這個問題？由此引導學生回顧列舉的過程，同時促使學生大膽探索新的方法。有了前一課時的列舉經驗，這樣的引導基于學生的學習基礎，更利于學生遷移運用。

2.2.2? 畫圖支撐，直觀理解

在學生嘗試用假設法解決問題后，教師引導學生動手畫圖解釋每一步的含義，在此基礎上呈現課件，幫助學生整理思路。圖與式的一一對應，可以幫助學生充分理解假設法?！爱媹D—析圖”的過程，在學生頭腦中形成“換1差2”的表象，為學生舉一反三、靈活運用假設法解決問題奠定基礎。

2.2.3? 不斷反思，立體建構

“雞兔同籠”問題的解決方法很多，但是教學重點不在多，而是應當注重不同方法之間的聯系，引導學生在反思中獲得更好的發展。

【教學片段】

師：列舉法、假設法、畫圖法有什么相同和不同之處？

生1：列舉法是從1只雞和15只兔開始想的，畫圖法是從16只全是雞開始想的，假設法也是從假設全是雞開始想的。

生2：我覺得畫圖法和假設法也能算列舉法，只不過是從16只雞、0只兔開始想的。

生3：我覺得三種方法差不多，都是先假設，再調整。

師：是的，這三種方法其實思路上是一樣的，都是按照“假設—對比—調整”的路徑展開。不同點在于逐一列舉讓我們發現了“雞兔同籠”問題中的規律;畫圖法讓我們明白了思考的過程和依據;假設法是特殊的列舉法，通過極端特例提升了解決問題的效率。

通過組織學生比較和反思，在關注三種方法的異同點的同時，追溯每種方法的思考起點，以立體化的模型建構起解決“雞兔同籠”問題的思想方法。

2.3? 第三課時，綜合運用，融會貫通

練習課是新授課的補充和升華。本單元的第一課時重在教學列舉法，第二課時重在教學假設法，第三課時重在進一步綜合理解不同方法，并引導學生根據不同情境自主選擇合適的方法解決問題，提升學生的思維能力。

練習課的功能之一是幫助學生鞏固基本知識和方法。通過前兩課時的學習，學生已經初步掌握了列舉法、假設法等方法，本課時第一層次是引導學生復習鞏固學過的方法。課程一開始，教師出示“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有10個頭，從下面數有36條腿，雞和兔各有幾只？學生自主選擇方法解決問題，同時展示不同方法，相互之間進行溝通交流。直觀圖是思維的支架，算式是思維的一種再現方式，而語言則是思維的外衣，用語言描述不同方法的過程，就是理解不同方法的過程，可以培養學生的思維品質。

對于學生來說，沒有最好的方法，只有最適合的方法。一方面，面對不同的問題應采用不同的方法，有的問題用假設法來解決更簡單，有的問題用列舉法來解決更容易找到規律。另一方面，思維能力弱的學生可能只會用列舉法，思維能力強的學生喜歡用假設法。教學中，教師要給予學生足夠的空間，允許學生選擇自己喜歡的方法解決問題，在此基礎上，引導學生根據不同的情境選擇合適的方法進行思考。

綜上所述，“雞兔同籠”作為一道有著悠久歷史的數學問題，也是不同版本的小學數學教材的保留內容，可見它在數學教學中的重要價值。教師在教學中可以利用這道題讓學生掌握多種解題技巧，同時激發學生進一步探究問題的積極性，從而提升學生解決數學問題的能力。

【參考文獻】

[1]牛獻禮.溝通聯系 突出思想——“雞兔同籠”問題的教學思考與實踐[J].小學教學研究，2018（3）.

【作者簡介】

盧兆靜（1992～），女，漢族，江蘇南京人，本科，小學一級教師。研究方向：小學數學教學。