高中數學教學過程中培養學生邏輯推理能力的策略探究

蘇碰美

摘 要：英國著名數學家、哲學家羅素曾說“數學是符號加邏輯”，邏輯推理能力不僅是數學學科的重要內容，而且是解決數學問題的基本技能。在教育部印發的《普通高中數學課程標準》中，將邏輯推理能力作為六大核心素養之一。在高中數學教學中，我們必須注重對學生邏輯推理能力的培養。本文闡述了在高中數學教學過程中培養學生邏輯推理能力的必要性，并在此基礎上提出了具體策略，包括：制訂計劃，融于教學過程之中；貫穿始終，落實到不同內容領域；重視基礎，加強基本概念的教學；設置問題，暴露推理的思維過程；表達準確，錘煉嚴謹的數學語言；言必有據，學會多角度認識問題等。旨在通過對學生邏輯推理能力的培養，推動高中數學教學質量的提升。

關鍵詞：高中數學；邏輯推理能力；符號

隨著以核心素養為導向的教學目標深入人心，部分教師也積極嘗試在高中數學教學中滲透邏輯推理能力的培養。但從現實情況來看，似乎并未取得明顯的成效。這主要是由于當前既缺少科學的理論體系，也沒有足夠的邏輯推理能力培養經驗，不能給高中數學教學提供有效的指導?？梢?，對邏輯能力培養的重要性及高中數學教學策略展開研究，就顯得十分迫切了。

一、高中數學教學過程中培養學生邏輯推理能力的必要性

（一）課程標準對教學的要求

《普通高中數學課程標準》明確指出，邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模、數據分析以及數學抽象是本學科的六大核心素養。所謂邏輯推理，即從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。高中數學所涉及的邏輯推理主要有兩類：一是從特殊到一般的推理，推理形式多為歸納、類比；二是從一般到特殊的推理，推理形式主要為演繹。課程標準是對課程計劃的具體化，是以學科綱要的形式編訂的，有關學科教學內容的指導性文件，更是教學活動開展的最根本依據。高中數學教學必須按照課程標準的要求，有目的、有計劃地培養學生的邏輯推理能力。只有這樣才能順利實現本學科的培養目標，使學生在掌握數學知識的基礎上，形成適應個人發展和社會發展的能力和素養[1]。

（二）個體成長必備的技能

兒童心理學家皮亞杰將個體認知發展，按照年齡劃分為四個階段：0—2歲為感知運動階段，個體只能借助身體感官來了解外部環境；2—7歲為前運算階段，個體初步具備了符號語言功能，但在思維上仍是以自我為中心；7—11歲為具體運算階段，個體逐漸掌握分類、排序、運算的能力；11歲之后進入形式運算階段，個體開始具備邏輯思維，能夠以命題的形式對現實問題進行歸納總結?？梢?，邏輯思維的形成與發展標志著個體從幼稚走向成熟，從刻板地遵守規則過渡到靈活地運用規則。高中生年齡大多在14—19歲，正是邏輯思維快速發展的黃金期。在高中數學教學中培養學生的邏輯推理能力，恰好符合他們的身心發展規律，對他們人生必備品格和關鍵能力的形成具有重要意義。

二、高中數學教學中培養邏輯推理能力的策略

（一）制訂計劃，融于教學過程之中

過去之所以高中生邏輯推理能力薄弱，很大程度上歸咎于教師沒有制訂明確的培養計劃。他們或是完全忽視邏輯能力的培養，或是在教學過程中偶有涉及卻未形成系統，因而教學效果不太理想。正所謂“十年樹木，百年樹人”，素養與能力的培養絕非一蹴而就，它需要一個日積跬步的過程。教師應結合教學內容，在設計教案、制作課件時，將邏輯推理能力的培養融入知識點講解中，這樣既達到了提高學生邏輯推理能力的目的，也有助于他們對當堂課重難點的理解。

比如在《函數的概念》一課的教學中，筆者在黑板上羅列了若干組函數，并帶領學生繪制出它們的函數圖像。很快有細心的學生發現，這些函數圖像均為左右對稱。此時，筆者再引出偶函數，要求學生與我一起歸納出偶函數的概念。經過一番討論，學生結合教材上的定義得出，偶函數就是在該函數的定義域內，任意一個都能得出。之后筆者還要求學生運用類比的形式，嘗試去界定奇函數的概念。通過這節課的練習，學生不僅掌握了奇函數、偶函數這兩個知識點，而且還在學習的過程中靈活運用了歸納、類比這兩種特殊到一般的推理形式，使他們邏輯推理能力得到了不同程度的發展[2]。

（二）貫穿始終，落實到不同內容領域

實際上，推理作為數學學科內容的一部分，在高中數學教材中有專門的章節——“推理與證明”，這無不反映出教材編委的專家們對邏輯推理能力的重視。很多一線教師也逐漸認識到邏輯推理能力培養對于高中數學教學的重要意義，尤其是更強調邏輯性的幾何。但筆者發現，教師對學生邏輯推理能力的培養局限于部分章節，比如在教授《推理與證明》這一章時以專題的形式開展培養，此后就很少提及。這就導致高中生雖然接受了所謂的“邏輯推理能力”專項培養，但實際上這項能力素養并不扎實，也很少有機會將其運用到解決其他數學問題的實踐中。針對這一問題，教師必須將邏輯推理能力的培養貫穿數學教學的始終，將邏輯推理能力思維落實到每一個章節、每一個知識點。只有這樣，才能確保學生逐漸形成相應的能力和素養。

比如在學習代數知識時，由于學生邏輯推理能力比較薄弱，以往只是運用演繹的形式對幾何問題進行推理，但代數問題的解決更加依賴公式、法則的運算。起初很多學生有些摸不著頭腦，不知該如何厘清代數問題的思路。鑒于此，筆者用不等式、函數來進行引導，借助這些明確的變量關系來啟發學生。學生通過觀察，并借助猜想，最終論證了這些公式法則。比如，在《數列》一章的教學中，教師引導學生觀察連續數字之間的規律，歸納出結論；此外，在概率與統計教學中，同樣可以滲透邏輯推理能力的培養?？偠灾?，邏輯推理能力培養絕不能停留在某個或某幾個章節中，而是要貫徹落實到每一個知識點的講解中，使學生在學習具體知識點的過程中逐漸內化形成邏輯推理能力。

（三）重視基礎，加強基本概念的教學

大量研究表明，基礎知識是影響邏輯推理能力發展的重要因素之一。盡管部分教師已經相當重視邏輯推理能力的培養，也積極地在教學中有意識地開展培養，但收效甚微，原因主要是高中數學涉及很多抽象的概念和知識點，學生掌握得并不扎實，邏輯推理能力培養的開展情況自然就受到影響。比如在《集合》一課的教學中，由于很多學生沒能厘清“子集”與“真子集”兩個概念的區別，導致后續在判斷兩個集合是交集、并集還是補集時得出了錯誤的結論。數學是講究思維嚴謹的學科，如果學生連本學科的基礎知識都未能扎實掌握，相關的概念和涉及的數學原理也都一知半解，那么就不能夠結合材料，體會數學題目中的思維過程，并在其中發展自己的邏輯推理能力。筆者建議，教師今后應更加注重基礎知識教學，確保學生掌握每一個章節的基本概念和基本原理，并在此基礎上運用分析、判斷、推理等一系列思維方式來解決具體的數學問題。

比如在《棱柱的體積》一章的教學中，筆者將邏輯推理能力的培養滲透到斜四棱柱體積計算問題中。首先，先向學生講解棱柱的概念，使他們對棱柱體積計算公式有一個初步的了解；其次，介紹四棱柱與斜四棱柱的異同，進一步明確斜四棱柱體積計算應注意的問題；最后，引導學生根據四棱柱體積計算公式，類比、推理出斜四棱柱體積計算的方法。經過討論和嘗試，學生很快有了明確的思路，最終得出正確的答案。在這個過程中，得益于學生對棱柱、四棱柱、斜四棱柱等知識點的扎實掌握，使他們能夠區分幾個概念的異同，運用邏輯推理能力從正四棱柱體積計算公式推導出斜四棱柱體積的計算方法?？梢?，在培養學生邏輯推理能力時，鞏固好他們的基礎知識是非常必要的前提[3]。

（四）設置問題，暴露推理的思維過程

古語有云：“學起于疑，疑源于思?！笨梢哉f問題是學生最好的老師。尤其隨著教學理念的革新，以教師為中心的課堂模式早已被摒棄，取而代之的是更凸顯學生主體地位的課堂模式。前者往往是照本宣科，直接將知識點灌輸給學生，學生無須思考，只要死記硬背就能在考試中取得不錯的成績。但是，由于整個學習過程中學生主觀能動性未被調動，包括邏輯推理能力在內的各項思維能力都沒能發展。后者則強調學生的主體性，引導、鼓勵他們積極主動地探究問題，使他們的思維能力得到鍛煉和發展。問題導向就是以學生為中心的課堂模式的特征之一，通過設置問題來激發學生的求知欲、探索欲，使他們從以往被動接受知識的情況轉變為主動思考問題、解決問題。需要注意的是，拋出問題后仍不能“放養”學生，讓他們閉門造車，而是要在一旁觀察、了解學生的具體想法并適時地提供指導。

比如在《概率與統計》一課的教學中，筆者就嘗試設置以下問題來引導學生發展邏輯推理能力：在一個不透明的盒子中裝有4個紅球和2個白球，此時從盒子中隨機連續地取出4個小球，其中有1個白球的概率是多少。起初有學生主張用窮舉法一一羅列，但以這種方法計算出的概率顯然是錯的。此時筆者又提出問題，仍然是不透明盒子中4個紅球與2個白球，隨機從中取出一個球并放回，連續抽取4次，其中有一個白球的概率是多少。在這個問題的啟發下，學生豁然開朗，于是改變策略運用組合的辦法來計算，最終得出了正確答案。在這節課中，筆者以兩種不同的抽取方法，引導學生思考小球放回和不放回在概率上的區別，他們也成功地運用邏輯推理能力找到解決問題的辦法。

（五）表達準確，錘煉研究的數學語言

數學語言是培養邏輯推理能力的重要工具，使用正確的數學語言是有效推理的重要前提。在高中數學教學中，教師應當要求學生正確使用數學語言，令他們形成嚴謹的邏輯思維。從現實情況來看，很多學生的數學語言使用不規范、不準確，在推理過程中就可能出現謬誤，而很多教師對此不以為意，結果自然是給學生邏輯推理能力的發展造成了嚴重的負面影響。因此，教師需要有意識地引導學生使用正確的數學語言來表達思維過程和書寫解題思路。

首先，教師要以身作則，在授課的過程中確保數學語言使用準確、書寫規范。教師作為學生的榜樣權威，他們的一言一行對學生有著潛移默化的影響，如果教師在數學語言上“不拘小節”，就有可能導致學生養成壞習慣，在邏輯推導中干擾、誤導判斷。其次，在課堂互動、日常作業和考試中，要注重對學生數學語言使用的嚴要求。一旦他們出現了使用不規范、不準確的情況，就要及時地提出，并要求他們改正。最后值得一提的是，教師還可以借助一些概念、規則來加強學生對數學語言的理解和運用。比如在一次作業批改中，筆者發現某學生在書寫函數單調性時，用U來連接多個單調區間，如此一來就把本來函數的局部性質擴大到一個區間集合，造成了謬誤。于是，筆者在評語中要求該生將U替換為逗號，并認真回顧函數單調性相關的知識點。經筆者指正后，該生數學語言的使用變得更加規范，這些都是邏輯推理能力環節非?？煽康囊罁?，對他能力素養的發展大有幫助。

（六）言必有據，學會多角度認識問題

一方面，數學是一門邏輯嚴密的學科，邏輯推理能力更是強調整個過程的嚴謹性，每一個步驟都是環環相扣，整個過程邏輯自洽。要做到這一點，就必須有健全的規則來約束。但是，很多學生在解決數學問題時，總是以自己捏造的、假想的規則為邏輯基點，之后層層推理。其過程看似嚴謹有序，實則早已違背了公式定理。在高中數學教學中要想培養學生的邏輯推理能力，還需要做到言必有據。每一個論點、論據的提出，都要經得起推敲，而不是信口開河，更忌諱憑空臆造。只有明確了這一點，學生才能對邏輯推理能力有一個正確的認知。

另一方面，任何一項思維能力的發展，都需要個體讓自己的思維發散，從不同的角度來審視問題。比如運用類比的思路，從某個數學現象、數學原理中，推導出所需要的結論，以這種舉一反三的方式來輔助邏輯推理能力；又或者基于已經掌握的知識，去演繹推導出關于新知識的一些結論。比如在學習“三角函數”這部分知識時，筆者提問是否為周期函數。有學生嘗試從函數的定義域內選取若干個值，代入周期函數定義公式進行驗證。但這種方法不僅十分煩瑣，而且也不能確定該函數是否為周期函數。此時，筆者給出前提，所有的三角函數均為周期函數。如此一來，學生就可以運用演繹推理的思維，先論證為三角函數的一種，遂得出為周期函數。經過這次培養，學生意識到在解決數學問題時，應當以更發散的思維，靈活運用歸納、類比、演繹等多種邏輯推理形式，從已經掌握的知識中推導出所需的結論，使問題迎刃而解。

結束語

邏輯推理能力不僅是《普通高中數學課程標準》中提到的學科六大核心素養之一，也是認知發展階段論認為的高中生思維形成與發展的重要一環。在高中數學教學中，培養學生的邏輯推理能力是非常必要的。但在過去很長一段時間里，師生不重視以及缺乏科學有效的教學策略，導致學生邏輯推理能力十分薄弱。本文針對這一問題展開研究，并最終結合高中數學教學實際情況提出如下建議：第一，要明確邏輯推理能力培養計劃，并將其融入教學過程；第二，要將邏輯推理能力培養貫穿始終，而不是局限于某幾個章節；第三，要重視基礎知識教學，這是培養邏輯推理能力的前提；第四，還要問題引導、規范數學語言，讓學生形成邏輯推理能力所必需的良好習慣；第五，還必須遵從數學定理，同時要學會發散思維，多角度審視問題。

參考文獻

[1]池毓海.邏輯推理在高中數學教學中的培養[J].文理導航，2023（2）：70-72.

[2]楊晶鳳.邏輯推理能力在高中數學中的培養策略與教學策略分析[J].數學學習與研究，2022（6）：20-22.

[3]朱菊花.語言理解·邏輯推理·問題解決：例談高中數學能力培養的三個基本點[J].數學教學通訊，2018（15）：26-27.

本文系2022年度福建省南安市教育科學“十四五”規劃研究課題立項課題“深度學習，基于‘跨學科素養的教學設計研究”（課題批準號：NG1452—090）的研究成果。