引入質心概念幫助學生準確理解高中力學中的質點

吳克軍

在高中物理教學中，經常會遇到這樣一些問題：

1.當學生學習力學到一定程度的時候會問：高中物理課本講，牛頓力學的適用對象是質點。質點概念是一種理想化的模型，是忽略了物體的形狀和體積的。但是真實生活中，物體都是有形狀和體積的。那么，高中力學規律解決的問題，不就跟真實的生活中有一定的差異？特別是用它來解決體積比較大的物體時，結果跟真實情況不就有更大的差異？

2.學到平拋運動時，很多同學會問：平拋運動公式告訴我們，物體的運動軌跡是拋物線。相應的運動公式也都是按拋物線給出的。但是我們生活中看到的物體在平拋運動時都是在旋轉的??！物體上各個點的實際軌跡像蜜蜂的行進線路一樣旋進??！那么，平拋運動的公式求出結果跟真實生活中物體的運動情況豈不是也有很大的差異？

3.學到動量守恒，在做到有關彈簧物塊在光滑水平面上運動的題目時，學生也會對物體的具體的運動情境想象不清楚，會問老師，兩個物塊究竟怎么運動的??？

對于這些問題，高中課本和各種資料都沒有給出明確的闡述。

筆者結合多年輔導學生物理競賽的經驗，找到了一種方法可以一攬子解決所有這些問題。那就是，給高中學生稍微補充一下質心概念，并把它跟質點概念結合，讓學生懂得高中物理中的質點概念并非只是一個理想化模型，而是有真實含義的，那就是物體的質心。高中力學規律求出的質點的數據并非是近似，而是物體上某一點（質心）的準確運動情況。

若能幫學生理解到高中力學的理想化模型質點其實就是質心，那就可以很容易理解質點概念在現實生活中得準確含義了，也就可以把抽象的質點模型準確地具體到現實生活中了，上面的平拋運動的軌跡問題和動量問題也就很容易解決了。

下面我來說說質心的概念。所謂“質心”就是物體質量的中心。質心概念有點像高中所學過的重心概念，但又不同于高中的重心。重心跟當地的重力加速度是有關系的，而質心跟重力加速的是沒有關系的。形狀規則質量又均勻分布的物體的質心準確地就在物體的幾何中心。例如均勻的球體、均勻的正方體和均勻的長方體，它們的質心都在他們的正中心。而形狀規則質量又均勻分布的物體的重心嚴格地講并不在物體的幾何中心。而在物體的幾何中心稍微偏下一點點。

質心的計算公式是：

然后我再說說他們在高中力學各知識點中的運用：

1.牛頓運動定律。高中課本講牛頓運動定律適用條件是質點，具體到現實生活中對體積大不能忽略體積的物體其實就是質心。所以，我們用牛頓運動定律求出的就是質心的準確運動情況。對于平動的物體，物體上的其它各點的運動情況其實都跟質心的運動情況一樣，也就意味著其他各點運動的準確情況都可以知道了。如果物體是轉動的，那么他們的轉動就是相對質心的轉動。我們再結合一個轉動公式也可以求出各個點的準確運動情況了。

2.拋體運動。我們平常說的拋體運動的軌跡是拋物線，相應的公式用拋物線公式，其實都是求出的物體的質心的運動情況。我們拋物體時，最初拋的力并不都穿過質心，所以拋出的力相對于質心有一個力矩，導致了物體相對于質心有旋轉。所以我們實際拋出的物體，一方面質心按照拋物線規律運動，另一方面，物體上各部分又繞著質心在勻角速度旋轉。所以，我們用拋物線公式求出了質心的運動情況。再求各個點繞著質心的圓周運動的情況，就可以準確地知道其它各個點的運動情況了。

3.萬有引力。萬有引力的所有公式也是針對物體系的質心的。譬如利用萬有引力研究地月系在太陽系中的運動時，其實只是地球和月亮的質心繞著太陽轉。地球和月亮又繞著他們的質心旋轉，構成一個雙星系統。

雙星多星問題其實是他們幾個星共同繞著他們的質心勻角速度轉動。轉動中心就是他們的質心，各部分都繞著質心在做勻角速度轉動。

4.機械能問題。我們用機械能公式求物體的運動時，其實也是求出的質心的運動情況。如果想知道其他部分的運動情況，再結合那部分跟質心之間的位置關系，就可以求出那部分的運動情況。

5.動量問題。動量定理也是對質心成立的。動量守恒的條件是系統所受的合外力為零，系統所受的合外力為零，那么系統的質心就保持靜止狀態或者是勻速直線運動狀態，所以動量守恒其實就是系統的質心保持靜止或者是勻速直線運動。

例5、三星問題：三顆星體ABC分別位于等邊三角形的三個頂點上，在相互之間的萬有引力作用下，繞某一共同點O在三角形所在的平面內做圓周運動。忽略其他星體對它們的影響。A星體的質量為2m，B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求C星體的軌道半徑RC。

解：多星系統的轉動中心就是他們的質心。BC兩個星質量相等，所以BC的質心在BC連線的中點，等效質量為2m。故BC跟A構成三個星的質心O在BC中垂線AD的中點

例6：光滑水平面上的彈簧物塊模型：光滑水平面上面靜止著兩個等價物質量都是物塊A和B，用輕彈簧連接。給A物塊一個向右的初速度v，試描述之后物塊A和B的運動情況。

分析：看到這道題時，很多同學能夠用動量守恒和機械能守恒求兩個物體在彈簧自然長度時的速度，但是對物體的具體運動情景就想不清楚了。

如果能用質心概念來理解這個問題，兩個物體的運動情景就很簡單了。

當兩個物體隨著彈簧的一張一合在水平面上運動時，系統的質心實際上向右一直做勻速直線運動。質心勻速運動的速度大小就是A、B兩物體共速時候的速度v共=v/2。所以我們可以先求出質心的運動速度v共。就可以求出各個時刻質心的位置。兩個物塊相對于質心實際作簡諧運動，再用簡諧運動的公式還可以求出物體那一時刻相對質心的位置。把兩個公式結合在一起，還能求出了物體A、B某時刻t的位置。

答：之后A、B系統的質心向右做勻速運動，速度為v/2。同時A、B相對于質心先靠攏，后又遠離，作簡諧運動。